Voici le corrigé du bac S de maths 2009 en France métropolitaine, épreuve de juin 2009. Le sujet compte quatre exercices, le dernier existant en deux versions selon l’enseignement suivi. L’exercice 1 porte sur les suites : une suite arithmético-géométrique étudiée à l’aide d’une suite géométrique auxiliaire, puis une conjecture démontrée par récurrence. L’exercice 2 étudie la fonction \(f(x)=\ln(1+x\mathrm{e}^{-x})\) : limite, dérivée, variations, puis deux majorations d’une aire par le calcul intégral, dont une intégration par parties. L’exercice 3 mêle la formule de Pascal et un tirage de jetons : indépendance d’événements, loi et espérance d’une variable aléatoire. L’exercice 4 obligatoire traite de nombres complexes et de points du cercle unité ; la version de spécialité fait travailler les équations diophantiennes, les congruences et la divisibilité par 7, avec 2009 en fil rouge.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Suites, raisonnement par récurrence.
Partie 1. La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0=1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+4\). On pose \(v_n=u_n-6\).
1. a) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique.
Pour tout entier naturel \(n\) :
\[v_{n+1}=u_{n+1}-6=\dfrac{1}{3}u_n+4-6=\dfrac{1}{3}u_n-2=\dfrac{1}{3}(u_n-6)=\dfrac{1}{3}v_n.\]
La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison \(q=\dfrac{1}{3}\), de premier terme \(v_0=u_0-6=1-6=-5\).
1. b) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
D’après le cours sur les suites géométriques, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(v_n=v_0\times q^n=-5\times (\dfrac{1}{3})^n\). Comme \(u_n=v_n+6\), on obtient :
\[u_n=6-5\times (\dfrac{1}{3})^n.\]
1. c) Étudier la convergence de \((u_n)\).
Comme \(-1\lt \dfrac{1}{3}\lt 1\), on a \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(\dfrac{1}{3})^n=0\), donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}-5\times (\dfrac{1}{3})^n=0\). Par somme, la suite \((u_n)\) converge et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=6\).
Partie 2. La suite \((w_n)\) est définie par \(w_0=1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \((n+1)w_{n+1}=(n+2)w_n+1\). L’énoncé donne les premiers termes, jusqu’à \(w_9=19\).
2. a) Calculer \(w_{10}\).
On applique la relation de récurrence avec \(n=9\) : \(10\,w_{10}=11\,w_9+1=11\times 19+1=210\), d’où \(w_{10}=21\).
2. b) Conjecturer l’expression de \(w_n\), la démontrer, puis calculer \(w_{2009}\).
Les termes \(1,\ 3,\ 5,\ \dots,\ 19,\ 21\) augmentent de 2 à chaque rang : on conjecture que \((w_n)\) est arithmétique de raison 2 et de premier terme 1, c’est-à-dire que \(w_n=2n+1\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Démontrons par récurrence la propriété \(\mathcal{P}_n\) : « \(w_n=2n+1\) ».
- Initialisation : \(w_0=1\) et \(2\times 0+1=1\), donc \(\mathcal{P}_0\) est vraie.
- Hérédité : soit \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(\mathcal{P}_n\) soit vraie. Alors
\[(n+1)w_{n+1}=(n+2)(2n+1)+1=2n^2+5n+3=(n+1)(2n+3).\]
Comme \(n+1\neq 0\), on peut diviser : \(w_{n+1}=2n+3=2(n+1)+1\). Donc \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie. - Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(w_n=2n+1\).
En particulier, \(w_{2009}=2\times 2009+1=4019\).
Exercice 2 :
Fonction logarithme, calcul intégral, majoration d’une aire.
On étudie sur \([0\,;+\infty[\) la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\ln(1+x\mathrm{e}^{-x})\), de courbe \(\mathcal{C}\).
Partie I
1. Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).
On sait que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty\) (croissance comparée). Par passage à l’inverse, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\mathrm{e}^{-x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\mathrm{e}^x}=0\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(1+x\mathrm{e}^{-x})=1\).
La fonction \(\ln\) étant continue en 1, par composition \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ln 1=0\). \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\) : l’axe des abscisses est asymptote à \(\mathcal{C}\) en \(+\infty\).
2. Calculer \(f^{\prime}(x)\) et montrer qu’elle est du signe de \(1-x\).
Posons \(u(x)=1+x\mathrm{e}^{-x}\). Pour \(x\geq\, 0\), \(x\mathrm{e}^{-x}\geq\, 0\) donc \(u(x)\geq\, 1\gt 0\). La fonction \(u\) est dérivable et strictement positive sur \([0\,;+\infty[\), donc \(f=\ln\circ u\) y est dérivable et \(f^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}}{u}\).
Par la dérivée d’un produit : \(u^{\prime}(x)=1\times \mathrm{e}^{-x}+x\times (-\mathrm{e}^{-x})=(1-x)\mathrm{e}^{-x}\). Donc
\[f^{\prime}(x)=\dfrac{(1-x)\mathrm{e}^{-x}}{1+x\mathrm{e}^{-x}}.\]
Comme \(\mathrm{e}^{-x}\gt 0\) et \(1+x\mathrm{e}^{-x}\gt 0\), \(f^{\prime}(x)\) est du signe de \(1-x\).
3. Étudier les variations de \(f\).
\(f^{\prime}(x)\gt 0\) sur \([0\,;1[\), \(f^{\prime}(1)=0\) et \(f^{\prime}(x)\lt 0\) sur \(]1\,;+\infty[\). Avec \(f(0)=\ln 1=0\) et \(f(1)=\ln(1+\mathrm{e}^{-1})\approx 0{,}313\) :
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime}(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| variations de \(f\) | \(0\) | croissante | \(\ln(1+\mathrm{e}^{-1})\) | décroissante | \(0\) |
\(f\) est strictement croissante sur \([0\,;1]\) et strictement décroissante sur \([1\,;+\infty[\) ; elle admet en 1 son maximum \(f(1)=\ln(1+\mathrm{e}^{-1})\).
Partie II Pour \(\lambda\gt 0\), on pose \(A(\lambda)=\displaystyle\int_0^{\lambda}f(x)\,\mathrm{d}x\).
1. a) Interpréter graphiquement \(A(\lambda)\).
La fonction \(f\) est continue et positive sur \([0\,;+\infty[\) (car \(1+x\mathrm{e}^{-x}\geq\, 1\)). Donc \(A(\lambda)\) est l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe \(\mathcal{C}\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=\lambda\).
1. b) Montrer que \(A(\lambda)\leq\, \lambda f(1)\).
D’après I.3, \(f\) admet un maximum en 1 : pour tout \(x\geq\, 0\), \(f(x)\leq\, f(1)\). Par croissance de l’intégrale (avec \(0\lt\lambda\)) :
\[A(\lambda)=\int_0^{\lambda}f(x)\,\mathrm{d}x\leq\,\int_0^{\lambda}f(1)\,\mathrm{d}x=\lambda f(1).\]
Géométriquement, le domaine est contenu dans le rectangle de base \(\lambda\) et de hauteur \(f(1)\). \(A(\lambda)\leq\,\lambda f(1)\).
2. a) Calculer \(\displaystyle\int_0^{\lambda}x\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\).
On intègre par parties en posant \(v(x)=x\), \(v^{\prime}(x)=1\) et \(w^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x}\), \(w(x)=-\mathrm{e}^{-x}\) ; ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur \([0\,;\lambda]\).
\[\int_0^{\lambda}x\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x=\Big[-x\mathrm{e}^{-x}\Big]_0^{\lambda}+\int_0^{\lambda}\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x=-\lambda\mathrm{e}^{-\lambda}+\Big[-\mathrm{e}^{-x}\Big]_0^{\lambda}=-\lambda\mathrm{e}^{-\lambda}-\mathrm{e}^{-\lambda}+1.\]
\(\displaystyle\int_0^{\lambda}x\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x=1-(\lambda+1)\mathrm{e}^{-\lambda}\).
2. b) En utilisant l’inégalité \(\ln(1+t)\leq\, t\) pour \(t\geq\, 0\) (admise dans l’énoncé), en déduire une autre majoration de \(A(\lambda)\).
Pour tout \(x\geq\, 0\), \(t=x\mathrm{e}^{-x}\geq\, 0\), donc \(f(x)=\ln(1+x\mathrm{e}^{-x})\leq\, x\mathrm{e}^{-x}\). Les deux fonctions sont continues sur \([0\,;\lambda]\) ; par croissance de l’intégrale :
\[A(\lambda)\leq\,\int_0^{\lambda}x\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x=1-(\lambda+1)\mathrm{e}^{-\lambda}.\]
3. Pour \(\lambda=5\), quelle majoration est la meilleure ?
- Première majoration : \(5f(1)=5\ln(1+\mathrm{e}^{-1})\approx 1{,}57\).
- Seconde majoration : \(1-6\mathrm{e}^{-5}\approx 0{,}96\).
La seconde est plus petite, donc plus précise : \(A(5)\leq\, 0{,}96\). On remarque d’ailleurs que \(1-(\lambda+1)\mathrm{e}^{-\lambda}\lt 1\) pour tout \(\lambda\), alors que \(\lambda f(1)\) tend vers \(+\infty\) : la seconde méthode l’emporte d’autant plus que \(\lambda\) est grand.
Exercice 3 :
Combinaisons, probabilités, loi d’une variable aléatoire.
Partie I Montrer que, pour des entiers \(n\) et \(p\) tels que \(1\leq\, p\leq\, n-1\), \(\dbinom{n-1}{p-1}+\dbinom{n-1}{p}=\dbinom{n}{p}\) (formule de Pascal).
On écrit les deux coefficients avec les factorielles, puis on réduit au dénominateur commun \(p!\,(n-p)!\), sachant que \(p!=p\times (p-1)!\) et \((n-p)!=(n-p)\times (n-1-p)!\) :
\[\dbinom{n-1}{p-1}+\dbinom{n-1}{p}=\dfrac{(n-1)!}{(p-1)!\,(n-p)!}+\dfrac{(n-1)!}{p!\,(n-1-p)!}=\dfrac{p\,(n-1)!}{p!\,(n-p)!}+\dfrac{(n-p)\,(n-1)!}{p!\,(n-p)!}.\]
\[\text{Donc}\quad\dbinom{n-1}{p-1}+\dbinom{n-1}{p}=\dfrac{(n-1)!\,(p+n-p)}{p!\,(n-p)!}=\dfrac{n\,(n-1)!}{p!\,(n-p)!}=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}=\dbinom{n}{p}.\]
Partie II Une urne contient 10 jetons indiscernables au toucher : 7 blancs numérotés de 1 à 7 et 3 noirs numérotés de 1 à 3. On tire simultanément 2 jetons.
1. a) Probabilité de l’événement \(A\) : « les deux jetons sont blancs ».
Les tirages sont équiprobables ; il y a \(\dbinom{10}{2}=45\) tirages possibles, dont \(\dbinom{7}{2}=21\) ne comportent que des jetons blancs. Donc
\[p(A)=\dfrac{21}{45}=\dfrac{7}{15}.\]
1. b) Probabilité de l’événement \(B\) : « les deux jetons portent un numéro impair ».
Les jetons impairs sont les blancs 1, 3, 5, 7 et les noirs 1, 3 : il y en a 6. Donc \(p(B)=\dfrac{\binom\,{6}{2}}{45}=\dfrac{15}{45}=\dfrac{1}{3}\).
1. c) Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ?
\(A\cap B\) : « deux jetons blancs impairs » ; il y a 4 jetons blancs impairs, donc \(p(A\cap B)=\dfrac{\binom\,{4}{2}}{45}=\dfrac{6}{45}=\dfrac{2}{15}\).
Or \(p(A)\times p(B)=\dfrac{7}{15}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{45}\neq\dfrac{6}{45}\). Les événements \(A\) et \(B\) ne sont pas indépendants.
2. a) Loi de la variable \(X\) égale au nombre de jetons blancs tirés.
\(X\) prend les valeurs 0, 1 ou 2. On choisit \(k\) jetons parmi les 7 blancs et \(2-k\) parmi les 3 noirs :
\[p(X=0)=\dfrac{\binom\,{7}{0}\binom\,{3}{2}}{45}=\dfrac{3}{45}=\dfrac{1}{15},\qquad p(X=1)=\dfrac{\binom\,{7}{1}\binom\,{3}{1}}{45}=\dfrac{21}{45}=\dfrac{7}{15},\qquad p(X=2)=\dfrac{\binom\,{7}{2}\binom\,{3}{0}}{45}=\dfrac{21}{45}=\dfrac{7}{15}.\]
| \(k\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(p(X=k)\) | \(\dfrac{1}{15}\) | \(\dfrac{7}{15}\) | \(\dfrac{7}{15}\) |
Vérification : \(\dfrac{1+7+7}{15}=1\).
2. b) Espérance de \(X\).
\[E(X)=0\times \dfrac{1}{15}+1\times \dfrac{7}{15}+2\times \dfrac{7}{15}=\dfrac{21}{15}=\dfrac{7}{5}.\]
\(E(X)=\dfrac{7}{5}=1{,}4\) : en moyenne, on tire 1,4 jeton blanc.
Exercice 4 :
Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité : nombres complexes.
Dans le plan complexe de repère orthonormé \((O\,;\vec{u},\vec{v})\), à tout point \(M\) d’affixe \(z\neq 0\) on associe le point \(M_1\) d’affixe \(\dfrac{1}{z}\) et le point \(M^{\prime}\), milieu de \([MM_1]\), d’affixe \(z^{\prime}\). On note \(B\) et \(C\) les points d’affixes \(2\mathrm{i}\) et \(-2\mathrm{i}\), et \(A\) le point d’affixe \(\sqrt{3}+\mathrm{i}\) placé sur la figure.
1. a) Montrer que \(OM\times OM_1=1\) et que \((\vec{u},\vec{OM_1})=-(\vec{u},\vec{OM})\).
\(OM=|z|\) et \(OM_1=|\dfrac{1}{z}|=\dfrac{1}{|z|}\), donc \(OM\times OM_1=1\).
De plus \((\vec{u},\vec{OM})=\arg z\ [2\pi]\) et \((\vec{u},\vec{OM_1})=\arg\dfrac{1}{z}=-\arg z\ [2\pi]\), donc \((\vec{u},\vec{OM_1})=-(\vec{u},\vec{OM})\ [2\pi]\).
1. b) Construire le point \(A_1\).
\(OA=|\sqrt{3}+\mathrm{i}|=2\), donc \(OA_1=\dfrac{1}{2}\) ; et \(A_1\) est sur la demi-droite symétrique de \([OA)\) par rapport à l’axe des réels. Par le calcul : \(\dfrac{1}{\sqrt{3}+\mathrm{i}}=\dfrac{\sqrt{3}-\mathrm{i}}{4}\). Voir la figure ci-dessous.
2. a) Exprimer \(z^{\prime}\) en fonction de \(z\).
\(M^{\prime}\) est le milieu de \([MM_1]\), donc
\[z^{\prime}=\dfrac{z_M+z_{M_1}}{2}=\dfrac{1}{2}(z+\dfrac{1}{z}).\]
2. b) Calculer les affixes de \(B^{\prime}\) et \(C^{\prime}\).
Comme \(\dfrac{1}{2\mathrm{i}}=-\dfrac{\mathrm{i}}{2}\) :
\[z_{B^{\prime}}=\dfrac{1}{2}(2\mathrm{i}-\dfrac{\mathrm{i}}{2})=\dfrac{3}{4}\mathrm{i}\qquad\text{et}\qquad z_{C^{\prime}}=\dfrac{1}{2}(-2\mathrm{i}+\dfrac{\mathrm{i}}{2})=-\dfrac{3}{4}\mathrm{i}.\]
2. c) Placer \(A^{\prime}\), \(B^{\prime}\) et \(C^{\prime}\).
Pour \(A\) : \(z_{A^{\prime}}=\dfrac{1}{2}(\sqrt{3}+\mathrm{i}+\dfrac{\sqrt{3}-\mathrm{i}}{4})=\dfrac{5\sqrt{3}}{8}+\dfrac{3}{8}\mathrm{i}\approx 1{,}08+0{,}38\,\mathrm{i}\) : c’est le milieu de \([AA_1]\).
3. Déterminer l’ensemble des points \(M\) tels que \(M^{\prime}=M\).
Pour \(z\neq 0\) :
\[M^{\prime}=M\iff z=\dfrac{1}{2}(z+\dfrac{1}{z})\iff 2z=z+\dfrac{1}{z}\iff z=\dfrac{1}{z}\iff z^2=1\iff z=1\ \text{ou}\ z=-1.\]
En notant \(K\) et \(L\) les points d’affixes \(-1\) et \(1\), l’ensemble cherché est formé des deux points \(K\) et \(L\).
4. Montrer que si \(M\) appartient au cercle de centre \(O\) et de rayon 1, alors \(M^{\prime}\) appartient au segment \([KL]\).
Un tel point a une affixe de la forme \(z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\) avec \(\theta\in\mathbb{R}\). Alors \(\dfrac{1}{z}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}\) et
\[z^{\prime}=\dfrac{1}{2}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta})=\cos\theta.\]
Ainsi \(z^{\prime}\) est un réel compris entre \(-1\) et \(1\) : \(M^{\prime}\) appartient au segment \([KL]\).
Exercice 4 (spécialité) :
Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité : arithmétique.
1. a) Résoudre dans \(\mathbb{Z}^2\) l’équation \((E)\ :\ 8x-5y=3\).
Le couple \((1\,;1)\) est une solution particulière, car \(8-5=3\). Par soustraction, \((E)\) équivaut à \(8(x-1)=5(y-1)\).
- Si \((x\,;y)\) est solution, 5 divise \(8(x-1)\) ; or 5 et 8 sont premiers entre eux, donc d’après le théorème de Gauss, 5 divise \(x-1\) : il existe \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(x=1+5k\). En reportant : \(40k=5(y-1)\), soit \(y=1+8k\).
- Réciproquement, pour tout \(k\in\mathbb{Z}\), \(8(1+5k)-5(1+8k)=8+40k-5-40k=3\).
Les solutions de \((E)\) sont les couples \((1+5k\,;1+8k)\) avec \(k\in\mathbb{Z}\).
1. b) Soit \(m\) un entier tel qu’il existe \(p\) et \(q\) entiers avec \(m=8p+1\) et \(m=5q+4\). Montrer que \(m\equiv 9\ [40]\).
On a \(8p-5q=(m-1)-(m-4)=3\) : le couple \((p\,;q)\) est solution de \((E)\). Il existe donc \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(p=1+5k\), et alors \(m=8(1+5k)+1=40k+9\). Donc \(m\equiv 9\ [40]\).
1. c) Déterminer le plus petit de ces entiers \(m\) supérieur ou égal à 2000.
On cherche le plus petit \(40k+9\geq\, 2000\) : \(40k\geq\, 1991\), soit \(k\geq\, 50\). Pour \(k=50\) : \(m=2009\), avec \(2009=8\times 251+1=5\times 401+4\), donc \(p=251\) et \(q=401\).
2. a) Montrer que, pour tout entier naturel \(k\), \(2^{3k}\equiv 1\ [7]\).
\(2^3=8\equiv 1\ [7]\), donc \(2^{3k}=(2^3)^k\equiv 1^k\equiv 1\ [7]\).
2. b) Quel est le reste de la division euclidienne de \(2^{2009}\) par 7 ?
\(2009=3\times 669+2\), donc \(2^{2009}=(2^3)^{669}\times 2^2\equiv 1\times 4\equiv 4\ [7]\). Comme \(0\leq\, 4\lt 7\), le reste est 4.
3. On considère les nombres \(N=a\times 10^3+b\), où \(a\) est un chiffre de 1 à 9 et \(b\) un chiffre de 0 à 9 (nombres de la forme \(a00b\)).
3. a) Montrer que \(10^3\equiv -1\ [7]\).
\(10\equiv 3\ [7]\), donc \(10^2\equiv 9\equiv 2\ [7]\) et \(10^3\equiv 2\times 3=6\equiv -1\ [7]\).
3. b) Déterminer les nombres \(N\) divisibles par 7.
\(N\equiv a\times (-1)+b\ [7]\), donc \(N\) est divisible par 7 si et seulement si \(b-a\equiv 0\ [7]\), c’est-à-dire \(b\equiv a\ [7]\). Avec \(0\leq\, b\leq\, 9\) :
| \(a\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(b\) | 1 ou 8 | 2 ou 9 | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 ou 7 | 1 ou 8 | 2 ou 9 |
Les nombres cherchés sont : 1001, 1008, 2002, 2009, 3003, 4004, 5005, 6006, 7000, 7007, 8001, 8008, 9002 et 9009. On retrouve en particulier que 2009 est divisible par 7 (\(2009=7\times 287\)).
