Bac 2026 Polynésie : sujet de maths (jour 1) et corrigé

Sommaire

Par ailleurs, Voici le sujet du jour 1 du bac de spécialité mathématiques 2026 en Polynésie, posé le 16 juin 2026, avec l’énoncé complet et un corrigé détaillé de chaque question. Le premier exercice suit le stock de planches d’une école de surf : arbre pondéré entre mousse et résine, planches recyclées ou consolidées, puis un jeu de remise où l’on tire deux boules dans une urne et où il faut choisir le nombre de boules rouges. De plus, le deuxième est un vrai-faux en cinq affirmations : limite, convexité, intégration par parties, équation différentielle et fonction Python qui calcule une factorielle. En outre, le troisième étudie la suite définie par un logarithme, avec une récurrence et le théorème des valeurs intermédiaires. Ensuite, le dernier, en géométrie dans l’espace, mène à la distance d’un point à un plan et au volume d’un tétraèdre.

Par ailleurs, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2026 en Polynésie (jour 1).

De plus, vous préparez le bac de maths 2027 ? En outre, Notre page dédiée regroupe tous les sujets officiels de spécialité et leurs corrigés.

Bac 2026 Polynésie : ce que contient le sujet

D’abord, ce bac 2026 Polynésie vous permet de retrouver l’épreuve de spécialité mathématiques 2026 en Polynésie (jour 1), avec toutes ses questions. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. De plus, on y mobilise surtout les probabilités conditionnelles, les limites, la convexité et l’intégration par parties. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2026
Mathématiques — Jour 1
Polynésie — 16 juin 2026
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Une école de surf travaille avec des planches en mousse pour les cours débutants, et d’autres en résine pour les cours de perfectionnement. Les planches en mousse représentent 80 % du stock de l’école.

La gérante observe qu’après chaque saison,

75 % des planches en mousse sont en bon état et réutilisables la saison suivante. Les autres sont recyclées (et donc non réutilisables) ;
60 % des planches en résine sont en bon état, les autres sont soit consolidées, soit recyclées.

Après une saison, on choisit une planche au hasard et on s’intéresse aux évènements suivants :

\(M\) : « La planche est en mousse » ;
\(B\) : « La planche est en bon état » ;
\(R\) : « La planche sera recyclée » ;
\(C\) : « La planche sera consolidée ».

Partie A

1. Recopier et compléter sur la copie l’arbre pondéré ci-dessous avec les données de l’énoncé.

Il sera complété au fur et à mesure de l’exercice.

2. On sait que \(P(\overline{M} \cap R) = 0{,}05\).

a. Interpréter cette égalité dans le contexte de l’exercice.

b. On a choisi une planche en résine. Démontrer que la probabilité que cette planche soit consolidée pour la saison suivante est \(0{,}15\).

3. La gérante affirme qu’après une saison, au moins \(\dfrac{3}{4}\) des planches sont en bon état. A-t-elle raison ?

Partie B

La gérante du club de surf envisage de proposer à certains clients une remise pour la saison suivante.

Pour cela, elle imagine le jeu suivant qui sera proposé à chaque client :

Une urne contient 5 boules noires et un nombre \(n\) de boules rouges.

Les boules sont indiscernables au toucher.

Le client tire simultanément deux boules dans l’urne.

Si les deux boules sont de même couleur, le client gagne une remise, sinon, il perd le jeu et n’obtient pas de remise.

1. Justifier que la probabilité \(p\) de gagner une remise est :

\[p = \dfrac{\dbinom{5}{2} + \dbinom{n}{2}}{\dbinom{n+5}{2}}.\]

2. En déduire que la probabilité \(p\) peut s’écrire :

\[p = \dfrac{20 + n(n-1)}{(n+5)(n+4)}.\]

3. La gérante souhaite s’assurer que la probabilité de gagner est inférieure à \(\dfrac{1}{2}\).

Déterminer pour cela l’ensemble des valeurs possibles du nombre \(n\) de boules rouges qu’elle peut mettre dans l’urne.

Exercice 2 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.

1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}\).

Affirmation 1 : La limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\) est \(+\infty\).

2. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = x\text{e}^x\).

Affirmation 2 : La fonction \(g\) est convexe sur l’intervalle \([-2\ ;\ +\infty[\).

3. Affirmation 3 : Une intégration par parties permet d’obtenir :

\[\displaystyle\int_{0}^{\pi} x\sin x\,\text{d}x = -\pi.\]

4. On considère l’équation différentielle \((E)\) : \(y^{\prime} = 2y – 5\) et la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = -\dfrac{3}{2}\text{e}^{2x} + \dfrac{5}{2}\).

Affirmation 4 : La fonction \(h\) est la solution de \((E)\) qui vaut 1 en 0.

5. On considère la fonction mystere définie ci-dessous en Python :

def mystere(n):
    f = 1
    for k in range(1, n+1):
        f = f * k
    return f

Affirmation 5 : Le nombre renvoyé lors de l’exécution de mystere(5) est 120.

Exercice 3 (5 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur \([0\ ;\ +\infty[\) par :

\[f(x) = \ln(3x^2 + 1)\]

On admet que la fonction \(f\) est croissante sur \([0\ ;\ +\infty[\).

Partie A

On considère la suite \((u_n)\) définie par :

\[u_0 = 2 \quad \text{et pour tout entier } n \geq\, 0,\quad u_{n+1} = \ln (3u_n^2 + 1).\]

1. Calculer \(u_1\).

2. La suite \((u_n)\) est représentée ci-dessous. Émettre des conjectures sur le sens de variation et la convergence de la suite \((u_n)\).

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) :

\[2 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 4.\]

4. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

Partie B

On note \(\ell\) la limite de la suite \((u_n)\).

Le but de cette partie est de trouver une valeur approchée de la limite \(\ell\).

On considère la fonction \(g\) définie et dérivable sur \([0\ ;\ +\infty[\) par :

\[g(x) = \ln(3x^2+1) – x.\]

1. On note \(g^{\prime}\) la fonction dérivée de la fonction \(g\).

Démontrer que pour tout réel \(x \in [0\ ;\ +\infty[\),

\[g^{\prime}(x) = \dfrac{-3x^2 + 6x – 1}{3x^2 + 1}.\]

2. Démontrer que la fonction \(g\) est strictement décroissante sur \([2\ ;\ 4]\).

3. Démontrer que l’équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \([2\ ;\ 4]\) et en donner une valeur approchée à \(10^{-2}\) près.

4. Justifier que \(\ell = \alpha\).

Exercice 4 (5 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé \((\text{O}\ ;\ \vec{\imath},\ \vec{\jmath})\).

On considère les points \(\text{A}(1\ ;\ 2\ ;\ -1)\), \(\text{B}(0\ ;\ 3\ ;\ 2)\), \(\text{C}(-2\ ;\ 4\ ;\ 0)\) et \(\text{D}(8\ ;\ 2\ ;\ -11)\).

1. a. Démontrer que les points A, B et C définissent un plan.

b. Démontrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}5\\8\\-1\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (ABC).

c. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est \(5x + 8y – z – 22 = 0\).

d. Vérifier que le point D n’appartient pas au plan (ABC).

2. a. On considère la droite \(\Delta\), orthogonale au plan (ABC) et passant par D.

Justifier qu’une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) est :

\[\{\begin{array}{l}x = 8 + 5t\\y = 2 + 8t\\z = -11 – t\end{array}., \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}.\]

b. On appelle E le point d’intersection de la droite \(\Delta\) et du plan (ABC).

Démontrer que le point E a pour coordonnées \((\dfrac{11}{2}\ ;\ -2\ ;\ -\dfrac{21}{2})\).

c. En déduire la valeur exacte de la longueur DE, distance du point D au plan (ABC).

3. On note H le point de coordonnées \((-\dfrac{2}{3}\ ;\ \dfrac{10}{3}\ ;\ \dfrac{4}{3})\).

On admet qu’une représentation paramétrique de la droite (BC) est :

\[\{\begin{array}{l}x = -2k\\y = 3 + k\\z = 2 – 2k\end{array}., \quad \text{avec } k \in \mathbb{R}.\]

Avec un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats suivants :

Exercice 4 du bac 2026 Polynésie (suite)

Entrée 1 : (-2/3-1)*(-2)+(10/3-2)*1+(4/3-(-1))*(-2)
Sortie 1 : \(\to 0\)

Entrée 2 : RésoudreSystème(-2k=-2/3, 3+k=10/3, 2-2k=4/3)
Sortie 2 : \(\to k = 1/3\)

Entrée 3 : RacineCarrée((-2/3-1)^2+(10/3-2)^2+(4/3+1)^2)
Sortie 3 : \(\to\) RacineCarrée(10)

Entrée 4 : RacineCarrée((-2-0)^2+(4-3)^2+(0-2)^2)
Sortie 4 : \(\to 3\)

a. En utilisant les deux premiers résultats obtenus avec la feuille de calculs ci-dessus, justifier que le point H est le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC).

b. En exploitant les autres résultats obtenus avec la feuille de calculs ci-dessus, déterminer le volume du tétraèdre ABCD.

On rappelle que le volume \(\mathcal{V}\) d’un tétraèdre est donné par \(\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times \mathcal{B}\times h\), où \(\mathcal{B}\) est l’aire d’une base du tétraèdre et \(h\) la hauteur relative à cette base.

Bien travailler ce bac 2026 Polynésie

Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment les probabilités conditionnelles ou les limites, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. En complément, l’article probabilités conditionnelles de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Les erreurs fréquentes à éviter

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Pour une limite, signalez explicitement la forme indéterminée puis la méthode choisie (factorisation, croissances comparées, composition).
La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde, pas sur celui de la dérivée : c’est une confusion très courante.

Bac 2026 Polynésie : questions fréquentes

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, les probabilités conditionnelles, les limites et la convexité, mais aussi l’intégration par parties.

Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2026 en Polynésie (jour 1)

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