Bac 2024 Polynésie : sujet de maths (jour 1) et corrigé

Sommaire

Ensuite, Voici le sujet 1 du bac de spécialité mathématiques 2024 en Polynésie, posé le 19 juin 2024, accompagné d’un corrigé détaillé de chaque question. Le premier exercice est un vrai-faux de géométrie dans l’espace : vecteur normal au plan (OAC), intersection de deux droites, droite parallèle à un plan et plan médiateur d’un segment. Le deuxième modélise le refroidissement d’une pièce en plastique à sa sortie du moule par l’équation différentielle \(y^{\prime} + 0{,}02y = m\), puis calcule le temps d’attente avant démoulage et une température moyenne par une intégrale. Par ailleurs, le troisième étudie un jeu de trois pièces relancées une fois, avec loi binomiale, arbre pondéré et probabilité conditionnelle. Le dernier conjecture avec Python puis démontre par récurrence la convergence de la suite \(u_{n+1} = \dfrac{4}{5 – u_n}\).

Le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2024 en Polynésie (jour 1).

Pour réviser le bac maths 2027, retrouvez sur une seule page l’ensemble des sujets corrigés des dernières sessions.

Bac 2024 Polynésie : le sujet en un coup d’œil

Tout d’abord, ce bac 2024 Polynésie correspond à l’épreuve de spécialité mathématiques 2024 en Polynésie (jour 1), reproduit ici avec son énoncé complet. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 4, 5, 5 et 6 points. De plus, on y mobilise surtout la géométrie dans l’espace, les équations différentielles, le calcul intégral et la loi binomiale. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Ainsi, vous pouvez vous entraîner en temps limité avant de consulter la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2024
Mathématiques — Sujet 1
Polynésie — 19 juin 2024
Durée de l’épreuve : 4 heures

Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée

Exercice 1 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.

Les quatre affirmations se placent dans la situation suivante :

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k})\), on considère les points :

\(\text{A}(2~;~1~;~-1)\), \(\text{B}(-1~;~2~;~1)\) et \(\text{C}(5~;~0~;~-3)\).

On note \(\mathcal{P}\) le plan d’équation cartésienne :

\[x + 5y – 2z + 3 = 0.\]

On note \(\mathcal{D}\) la droite de représentation paramétrique :

\[\{\begin{array}{l}x = -t + 3\\ y = t + 2\\ z = 2t + 1\end{array}., \quad t \in \mathbb{R}.\]

Affirmation 1 :
Le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\) est normal au plan (OAC).

En outre, Affirmation 2 :
Les droites \(\mathcal{D}\) et (AB) sont sécantes au point C.

Affirmation 3 :
La droite \(\mathcal{D}\) est parallèle au plan \(\mathcal{P}\).

Affirmation 4 :
Le plan médiateur du segment [BC], noté \(Q\), a pour équation cartésienne :

\[3x – y – 2z – 7 = 0.\]

On rappelle que le plan médiateur d’un segment est le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.

Exercice 2 (5 points)

Une entreprise fabrique des objets en plastique en injectant dans un moule de la matière fondue à 210 °C. On cherche à modéliser le refroidissement du matériau à l’aide d’une fonction \(f\) donnant la température du matériau injecté en fonction du temps \(t\).

Le temps est exprimé en seconde et la température est exprimée en degré Celsius.

On admet que la fonction \(f\) cherchée est solution d’une équation différentielle de la forme suivante où \(m\) est une constante réelle que l’on cherche à déterminer :

\[(E) : \quad y^{\prime} + 0{,}02y = m\]

Partie A

1. Justifier l’affichage suivant d’un logiciel de calcul formel :

Entrée :	RésoudreEquationDifférentielle \((y^{\prime} + 0{,}02y = m)\)
Sortie :	\(\boxed{\to}\ y = k * \text{exp}(-0.02 * t) + 50 * m\)

2. La température de l’atelier est de 30 °C. On admet que la température \(f(t)\) tend vers 30 °C lorsque \(t\) tend vers l’infini.
Démontrer que \(m = 0{,}6\).

3. Déterminer l’expression de la fonction \(f\) cherchée en tenant compte de la condition initiale \(f(0) = 210\).

Partie B

On admet ici que la température (exprimée en degré Celsius) du matériau injecté en fonction du temps (exprimé en seconde) est donnée par la fonction dont l’expression et une représentation graphique sont données ci-dessous :

\[f(t) = 180\text{e}^{-0{,}02t} + 30.\]

1. L’objet peut être démoulé lorsque sa température devient inférieure à 50 °C.

a. Par lecture graphique, donner une valeur approchée du nombre \(T\) de secondes à attendre avant de démouler l’objet.

b. Déterminer par le calcul la valeur exacte de ce temps \(T\).

2. À l’aide d’une intégrale, calculer la valeur moyenne de la température sur les 100 premières secondes.

Exercice 3 (5 points)

Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles

Partie A

On lance trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. On note \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de fois, sur les trois lancers, où la pièce est retombée du côté « Face ».

1. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par \(X\).

2. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de \(X\)

\(k\)	0	1	2	3
\(P(X = k)\)

Partie B

Voici les règles d’un jeu où le but est d’obtenir trois pièces du côté « Face » en un ou deux essais :

On lance trois pièces équilibrées :
- Si les trois pièces sont tombées du côté « Face », la partie est gagnée ;
- Sinon, les pièces tombées du côté « Face » sont conservées et on relance celles tombées du côté « Pile ».
La partie est gagnée si on obtient trois pièces du côté « Face », sinon elle est perdue.

On considère les évènements suivants :

\(G\) : « la partie est gagnée ».
Et pour tout entier \(k\) compris entre 0 et 3, les évènements :
\(A_k\) : « \(k\) pièces sont tombées du côté « Face » au premier lancer ».

1. Démontrer que \(P_{A_1}(G) = \dfrac{1}{4}\).

2. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :

3. Démontrer que la probabilité \(p\) de gagner à ce jeu est \(p = \dfrac{27}{64}\)

4. La partie a été gagnée. Quelle est la probabilité qu’exactement une pièce soit tombée du côté « Face » à la première tentative ?

5. Combien de fois faut-il jouer à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse \(0{,}95\) ?

Exercice 4 (6 points)

L’objectif de cet exercice est de conjecturer en partie A puis de démontrer en partie B le comportement d’une suite.

Les deux parties peuvent cependant être traitées de manière indépendante.

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 3\) et pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :

\[u_{n+1} = \dfrac{4}{5 – u_n}.\]

Partie A

1. Recopier et compléter la fonction Python suivante suite(n) qui prend comme paramètre le rang \(n\) et renvoie la valeur du terme \(u_n\).

def suite(n):
    u = ...
    for i in range(n) :
        ...
    return u

2. L’exécution de suite(2) renvoie 1.3333333333333333.
Effectuer un calcul pour vérifier et expliquer cet affichage.

3. À l’aide des affichages ci-dessous, émettre une conjecture sur le sens de variation et une conjecture sur la convergence de la suite \((u_n)\).

>> suite(2)
1.3333333333333333
>> suite(5)
1.0058479532163742
>> suite(10)
1.0000057220349845
>> suite(20)
1.000000000005457

Partie B

On considère la fonction \(f\) définie et dérivable sur l’intervalle \(]-\infty~;~5[\) par :

\[f(x) = \dfrac{4}{5 – x}.\]

Ainsi, la suite \((u_n)\) est définie par \(u_0 = 3\) et pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. Montrer que la fonction \(f\) est croissante sur l’intervalle \(]-\infty~;~5[\).

2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) on a :

\[1 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n \leq\, 4.\]

3. a. Soit \(x\) un réel de l’intervalle \(]-\infty~;~5[\).
Prouver l’équivalence suivante :

\[f(x) = x \iff x^2 – 5x + 4 = 0.\]

b. Résoudre \(f(x) = x\) dans l’intervalle \(]-\infty~;~5[\).

4. Démontrer que la suite \((u_n)\) est convergente.
Déterminer sa limite.

5. Le comportement de la suite serait-il identique en choisissant comme terme initial \(u_0 = 4\) au lieu de \(u_0 = 3\) ?

Bac 2024 Polynésie : conseils de révision

D’abord, imprimez le sujet ou gardez-le à l’écran et traitez les exercices dans l’ordre qui vous convient, en temps limité. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment la géométrie dans l’espace ou les équations différentielles, puis reprenez le cours correspondant. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur géométrie dans l’espace.

Points de vigilance

En géométrie dans l’espace, ne confondez pas le vecteur normal d’un plan et le vecteur directeur d’une droite.
Pour une équation différentielle, n’oubliez pas la solution particulière avant d’écrire la forme générale, puis utilisez la condition initiale pour fixer la constante.
Une intégrale ne mesure une aire que si la fonction est positive sur l’intervalle : vérifiez le signe avant de conclure en unités d’aire.

Bac 2024 Polynésie : questions fréquentes

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, la géométrie dans l’espace, les équations différentielles et le calcul intégral, mais aussi la loi binomiale.

Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2024 en Polynésie (jour 1)

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