∑Synthèses de cours de maths
Chapitres de Terminale
  1. Suites : récurrence et limites
  2. Limites de fonctions et asymptotes
  3. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
  4. Dérivation : composées et convexité
  5. Fonction logarithme népérien
  6. Primitives et équations différentielles
  7. Calcul intégral
  8. Vecteurs, droites et plans de l'espace
  9. Produit scalaire dans l'espace et équations de plans
  10. Dénombrement
  11. Épreuves de Bernoulli et loi binomiale
  12. Sommes de variables aléatoires et loi des grands nombres

Terminale — chapitre 1 sur 12

Suites : récurrence et limites

La récurrence démontre une propriété pour tout entier ; les théorèmes de comparaison et de convergence monotone donnent les limites.

Principe de récurrence

Soit $P(n)$ une propriété. Si $P(n_0)$ est vraie (initialisation) et si, pour tout $n\ge n_0$, $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ (hérédité), alors $P(n)$ est vraie pour tout $n\ge n_0$.

Définition — limites

$\lim u_n = \ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les $u_n$ à partir d'un certain rang. $\lim u_n = +\infty$ si tout intervalle $]A\,;+\infty[$ contient tous les $u_n$ à partir d'un certain rang. Une suite convergente a une unique limite.

Propriété — limites usuelles

$\lim n^k = +\infty$ ($k>0$), $\lim\dfrac1{n^k} = 0$, $\lim\sqrt n = +\infty$. Pour $q^n$ : $\lim q^n = +\infty$ si $q>1$ ; $= 0$ si $-1

Propriété — opérations

Somme, produit, quotient de limites : règles usuelles avec formes indéterminées $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\dfrac\infty\infty$, $\dfrac00$. On lève l'indétermination en factorisant par le terme dominant.

Théorème — comparaison
  • Si $u_n\le v_n$ à partir d'un rang et $\lim u_n = +\infty$, alors $\lim v_n = +\infty$.
  • Gendarmes : si $u_n\le w_n\le v_n$ et $\lim u_n = \lim v_n = \ell$, alors $\lim w_n = \ell$.
Théorème — convergence monotone

Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$.

Méthode — suite arithmético-géométrique $u_{n+1} = au_n+b$

On cherche le point fixe $\ell = a\ell+b$, puis $v_n = u_n-\ell$ est géométrique de raison $a$ : $u_n = \ell+(u_0-\ell)a^n$.

Questions fréquentes sur ce chapitre

Comment rédiger un raisonnement par récurrence ?

Initialisation : on vérifie $P(n_0)$. Hérédité : on suppose $P(n)$ vraie pour un entier $n$ et on montre $P(n+1)$. Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n\ge n_0$.

Comment montrer qu'une suite converge ?

Souvent avec le théorème de convergence monotone (croissante et majorée), le théorème des gendarmes, ou en calculant directement la limite d'une forme explicite.

Quelles sont les limites de $q^n$ ?

Si $q>1$, $q^n\to+\infty$ ; si $-1

Que dit le théorème des gendarmes ?

Si $u_n\le v_n\le w_n$ à partir d'un certain rang et si $u_n$ et $w_n$ tendent vers la même limite $\ell$, alors $v_n\to\ell$.
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