Sujet Réunion 2023 : sujet de maths (jour 2) et corrigé

Sommaire

De plus, Retrouvez ici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2023 de La Réunion, tombé le 29 mars 2023, et son corrigé détaillé rédigé question par question sur une page dédiée. On y étudie d’abord la satisfaction des clients d’un marchand de matelas à ressorts ou en mousse : arbre pondéré, probabilité inversée, loi binomiale et seuil sur \(0{,}82^n\). Vient ensuite une suite homographique \(u_{n+1}=\frac{6u_n+2}{u_n+5}\), minorée par récurrence, rendue géométrique par un changement de suite et explorée avec une fonction Python de seuil. En outre, le troisième exercice construit dans l’espace un triangle isocèle et une pyramide dont on calcule l’aire de base et le volume. Ensuite, un QCM de cinq questions sur l’exponentielle, la convexité, une tangente et une équation en \(\ln(x)\) termine l’épreuve.

Par ailleurs, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2023 à La Réunion (jour 2).

De plus, pour réviser le bac maths 2027, retrouvez sur une seule page l’ensemble des sujets corrigés des dernières sessions.

Sujet Réunion 2023 : organisation de l’épreuve

Avant tout, précisons que ce sujet Réunion 2023 reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 à La Réunion (jour 2) dans sa version intégrale. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, le raisonnement par récurrence et l’algorithmique en Python. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 2
La Réunion — 29 mars 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Un commerçant vend deux types de matelas : matelas RESSORTS et matelas MOUSSE.
On suppose que chaque client achète un seul matelas.
On dispose des informations suivantes :

20 % des clients achètent un matelas RESSORTS.
Parmi eux, 90 % sont satisfaits de leur achat.
82 % des clients sont satisfaits de leur achat.

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

On choisit au hasard un client et on note les évènements :

\(R\) : « le client achète un matelas RESSORTS »,
\(S\) : « le client est satisfait de son achat ».

On note \(x=P_{\overline{R}}(S)\), où \(P_{\overline{R}}(S)\) désigne la probabilité de \(S\) sachant que \(R\) n’est pas réalisé.

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre décrivant la situation.

2. Démontrer que \(x=0{,}8\).

3. On choisit un client satisfait de son achat.
Quelle est la probabilité qu’il ait acheté un matelas RESSORTS ?
On arrondira le résultat à \(10^{-2}\).

Partie B

1. On choisit 5 clients au hasard.
On considère la variable aléatoire \(X\) qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces 5 clients.

a. On admet que \(X\) suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.

b. Déterminer la probabilité qu’au plus trois clients soient satisfaits de leur achat.
On arrondira le résultat à \(10^{-3}\).

2. Soit \(n\) un entier naturel non nul.
On choisit à présent \(n\) clients au hasard. Ce choix peut être assimilé à un tirage au sort avec remise.

a. On note \(p_n\) la probabilité que les \(n\) clients soient tous satisfaits de leur achat.
Démontrer que \(p_n=0{,}82^n\).

b. Déterminer les entiers naturels \(n\) tels que \(p_n\lt 0{,}01\).
Interpréter dans le contexte de l’exercice.

Exercice 2 (5 points)

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=8\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1}=\dfrac{6u_n+2}{u_n+5}.\]

1. Calculer \(u_1\).

2. Soit \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \([0~;~+\infty[\) par :

\[f(x)=\dfrac{6x+2}{x+5}.\]

Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_{n+1}=f(u_n)\).

a. Démontrer que la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’intervalle \([0~;~+\infty[\).
En déduire que pour tout réel \(x\gt 2\), on a \(f(x)\gt 2\).

b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_n\gt 2\).

3. On admet que, pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[u_{n+1}-u_n=\dfrac{(2-u_n)(u_n+1)}{u_n+5}.\]

a. Démontrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.

b. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

4. On définit la suite \((v_n)\) pour tout entier naturel par :

\[v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+1}.\]

a. Calculer \(v_0\).

b. Démontrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac{4}{7}\).

c. Déterminer, en justifiant, la limite de \((v_n)\).
En déduire la limite de \((u_n)\).

5. On considère la fonction Python seuil ci-contre, où A est un nombre réel strictement plus grand que 2.

def seuil (A) :
    n = 0
    u = 8
    while u > A :
        u = (6*u + 2)/(u + 5)
        n = n + 1
    return n

Donner, sans justification, la valeur renvoyée par la commande seuil (2.001) puis interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

Exercice 3 (5 points)

On se place dans l’espace rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k})\).

De plus, on considère le point A(1 ; 1 ; 0) et le vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}\).

On considère le plan \(\mathcal{P}\) d’équation : \(x+4y+2z+1=0\).

1. On note \((d)\) la droite passant par A et dirigée par le vecteur \(\vec{u}\).
Déterminer une représentation paramétrique de \((d)\).

2. Justifier que la droite \((d)\) et le plan \(\mathcal{P}\) sont sécants en un point B dont les coordonnées sont (1 ; -1 ; 1).

3. On considère le point C(1 ; −1 ; −1).

a. Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan.

b. Montrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (ABC).

c. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

4. a. Justifier que le triangle ABC est isocèle en A.

b. Soit H le milieu du segment [BC].
Calculer la longueur AH puis l’aire du triangle ABC.

5. Soit D le point de coordonnées (0 ; −1 ; 1).

a. Montrer que la droite (BD) est une hauteur de la pyramide ABCD.

b. Déduire des questions précédentes le volume de la pyramide ABCD.

On rappelle que le volume \(V\) d’une pyramide est donné par :

\[V=\dfrac{1}{3}\mathcal{B}\times h,\]

où \(\mathcal{B}\) est l’aire d’une base et \(h\) la hauteur correspondante.

Exercice 4 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n’enlève de point.

1. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2x\text{e}^x\).
Le nombre de solutions sur \(\mathbb{R}\) de l’équation \(f(x)=-\dfrac{73}{100}\) est égal à :

a.	b.	c.	d.
0	1	2	une infinité.

2. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[g(x)=\dfrac{x+1}{\text{e}^x}.\]

La limite de la fonction \(g\) en \(-\infty\) est égale à :

a.	b.	c.	d.
\(-\infty\)	\(+\infty\)	\(0\)	elle n’existe pas.

3. On considère la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[h(x)=(4x-16)\text{e}^{2x}.\]

On note \(\mathcal{C}_h\) la courbe représentative de \(h\) dans un repère orthogonal.
On peut affirmer que :

a.	b.	c.	d.
\(h\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).	\(\mathcal{C}_h\) possède un point d’inflexion en \(x=3\).	\(h\) est concave sur \(\mathbb{R}\).	\(\mathcal{C}_h\) possède un point d’inflexion en \(x=3{,}5\).

Exercice 4 du sujet Réunion 2023 : questions 4 à 5

4. On considère la fonction \(k\) définie sur l’intervalle \(]0~;~+\infty[\) par :

\[k(x)=3\ln(x)-x.\]

On note \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de la fonction \(k\) dans un repère orthonormé.
On note \(T\) la tangente à la courbe \(\mathcal{C}\) au point d’abscisse \(x=\text{e}\).
Une équation de \(T\) est :

a.	b.	c.	d.
\(y=(3-\text{e})x\)	\(y=(\dfrac{3-\text{e}}{\text{e}})x\)	\(y=(\dfrac{3}{\text{e}}-1)x+1\)	\(y=(\text{e}-1)x+1\)

5. On considère l’équation \([\ln(x)]^2+10\ln(x)+21=0\), avec \(x\in\,]0~;~+\infty[\).
Le nombre de solutions de cette équation est égal à :

a.	b.	c.	d.
0	1	2	une infinité.

Comment réviser avec ce sujet Réunion 2023

Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Une fois votre copie terminée, comparez-la avec le corrigé détaillé en vous concentrant sur les justifications. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur les probabilités conditionnelles ou la loi binomiale. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. En complément, l’article probabilités conditionnelles de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Les pièges classiques

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Dans une récurrence, écrivez clairement l’hypothèse au rang n avant l’hérédité ; une initialisation oubliée coûte des points faciles.

Sujet Réunion 2023 : vos questions

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et le raisonnement par récurrence, mais aussi l’algorithmique en Python.

Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2023 à La Réunion (jour 2)

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