Bac maths 2023 La Réunion J2 : sujet et corrigé

Retrouvez ici le sujet 2 du bac de spécialité mathématiques 2023 de La Réunion, tombé le 29 mars 2023, et son corrigé détaillé rédigé question par question plus bas sur la page. On y étudie d’abord la satisfaction des clients d’un marchand de matelas à ressorts ou en mousse : arbre pondéré, probabilité inversée, loi binomiale et seuil sur \(0{,}82^n\). Vient ensuite une suite homographique \(u_{n+1}=\frac{6u_n+2}{u_n+5}\), minorée par récurrence, rendue géométrique par un changement de suite et explorée avec une fonction Python de seuil. Le troisième exercice construit dans l’espace un triangle isocèle et une pyramide dont on calcule l’aire de base et le volume. Un QCM de cinq questions sur l’exponentielle, la convexité, une tangente et une équation en \(\ln(x)\) termine l’épreuve.

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2023
Mathématiques — Sujet 2
La Réunion — 29 mars 2023
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Un commerçant vend deux types de matelas : matelas RESSORTS et matelas MOUSSE.
On suppose que chaque client achète un seul matelas.
On dispose des informations suivantes :

20 % des clients achètent un matelas RESSORTS.
Parmi eux, 90 % sont satisfaits de leur achat.
82 % des clients sont satisfaits de leur achat.

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

On choisit au hasard un client et on note les évènements :

\(R\) : « le client achète un matelas RESSORTS »,
\(S\) : « le client est satisfait de son achat ».

On note \(x=P_{\overline{R}}(S)\), où \(P_{\overline{R}}(S)\) désigne la probabilité de \(S\) sachant que \(R\) n’est pas réalisé.

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre décrivant la situation.

2. Démontrer que \(x=0{,}8\).

3. On choisit un client satisfait de son achat.
Quelle est la probabilité qu’il ait acheté un matelas RESSORTS ?
On arrondira le résultat à \(10^{-2}\).

Partie B

1. On choisit 5 clients au hasard.
On considère la variable aléatoire \(X\) qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces 5 clients.

a. On admet que \(X\) suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.

b. Déterminer la probabilité qu’au plus trois clients soient satisfaits de leur achat.
On arrondira le résultat à \(10^{-3}\).

2. Soit \(n\) un entier naturel non nul.
On choisit à présent \(n\) clients au hasard. Ce choix peut être assimilé à un tirage au sort avec remise.

a. On note \(p_n\) la probabilité que les \(n\) clients soient tous satisfaits de leur achat.
Démontrer que \(p_n=0{,}82^n\).

b. Déterminer les entiers naturels \(n\) tels que \(p_n\lt 0{,}01\).
Interpréter dans le contexte de l’exercice.

Exercice 2 (5 points)

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=8\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1}=\dfrac{6u_n+2}{u_n+5}.\]

1. Calculer \(u_1\).

2. Soit \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \([0~;~+\infty[\) par :

\[f(x)=\dfrac{6x+2}{x+5}.\]

Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_{n+1}=f(u_n)\).

a. Démontrer que la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’intervalle \([0~;~+\infty[\).
En déduire que pour tout réel \(x\gt 2\), on a \(f(x)\gt 2\).

b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_n\gt 2\).

3. On admet que, pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[u_{n+1}-u_n=\dfrac{(2-u_n)(u_n+1)}{u_n+5}.\]

a. Démontrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.

b. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

4. On définit la suite \((v_n)\) pour tout entier naturel par :

\[v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+1}.\]

a. Calculer \(v_0\).

b. Démontrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac{4}{7}\).

c. Déterminer, en justifiant, la limite de \((v_n)\).
En déduire la limite de \((u_n)\).

5. On considère la fonction Python seuil ci-contre, où A est un nombre réel strictement plus grand que 2.

def seuil (A) :
    n = 0
    u = 8
    while u > A :
        u = (6*u + 2)/(u + 5)
        n = n + 1
    return n

Donner, sans justification, la valeur renvoyée par la commande seuil (2.001) puis interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

Exercice 3 (5 points)

On se place dans l’espace rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k})\).

On considère le point A(1 ; 1 ; 0) et le vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}\).

On considère le plan \(\mathcal{P}\) d’équation : \(x+4y+2z+1=0\).

1. On note \((d)\) la droite passant par A et dirigée par le vecteur \(\vec{u}\).
Déterminer une représentation paramétrique de \((d)\).

2. Justifier que la droite \((d)\) et le plan \(\mathcal{P}\) sont sécants en un point B dont les coordonnées sont (1 ; -1 ; 1).

3. On considère le point C(1 ; −1 ; −1).

a. Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan.

b. Montrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (ABC).

c. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

4. a. Justifier que le triangle ABC est isocèle en A.

b. Soit H le milieu du segment [BC].
Calculer la longueur AH puis l’aire du triangle ABC.

5. Soit D le point de coordonnées (0 ; −1 ; 1).

a. Montrer que la droite (BD) est une hauteur de la pyramide ABCD.

b. Déduire des questions précédentes le volume de la pyramide ABCD.

On rappelle que le volume \(V\) d’une pyramide est donné par :

\[V=\dfrac{1}{3}\mathcal{B}\times h,\]

où \(\mathcal{B}\) est l’aire d’une base et \(h\) la hauteur correspondante.

Exercice 4 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n’enlève de point.

1. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2x\text{e}^x\).
Le nombre de solutions sur \(\mathbb{R}\) de l’équation \(f(x)=-\dfrac{73}{100}\) est égal à :

a.	b.	c.	d.
0	1	2	une infinité.

2. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[g(x)=\dfrac{x+1}{\text{e}^x}.\]

La limite de la fonction \(g\) en \(-\infty\) est égale à :

a.	b.	c.	d.
\(-\infty\)	\(+\infty\)	\(0\)	elle n’existe pas.

3. On considère la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[h(x)=(4x-16)\text{e}^{2x}.\]

On note \(\mathcal{C}_h\) la courbe représentative de \(h\) dans un repère orthogonal.
On peut affirmer que :

a.	b.	c.	d.
\(h\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).	\(\mathcal{C}_h\) possède un point d’inflexion en \(x=3\).	\(h\) est concave sur \(\mathbb{R}\).	\(\mathcal{C}_h\) possède un point d’inflexion en \(x=3{,}5\).

4. On considère la fonction \(k\) définie sur l’intervalle \(]0~;~+\infty[\) par :

\[k(x)=3\ln(x)-x.\]

On note \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de la fonction \(k\) dans un repère orthonormé.
On note \(T\) la tangente à la courbe \(\mathcal{C}\) au point d’abscisse \(x=\text{e}\).
Une équation de \(T\) est :

a.	b.	c.	d.
\(y=(3-\text{e})x\)	\(y=(\dfrac{3-\text{e}}{\text{e}})x\)	\(y=(\dfrac{3}{\text{e}}-1)x+1\)	\(y=(\text{e}-1)x+1\)

5. On considère l’équation \([\ln(x)]^2+10\ln(x)+21=0\), avec \(x\in\,]0~;~+\infty[\).
Le nombre de solutions de cette équation est égal à :

a.	b.	c.	d.
0	1	2	une infinité.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. L’énoncé donne \(P(R)=0{,}2\) et \(P_R(S)=0{,}9\). Sur chaque nœud, la somme des poids des branches vaut 1, ce qui complète l’arbre :

Branche	Probabilité
racine → \(R\)	\(0{,}2\)
racine → \(\overline{R}\)	\(0{,}8\)
\(R\) → \(S\)	\(0{,}9\)
\(R\) → \(\overline{S}\)	\(0{,}1\)
\(\overline{R}\) → \(S\)	\(x\)
\(\overline{R}\) → \(\overline{S}\)	\(1-x\)

2. Les évènements \(R\) et \(\overline{R}\) forment une partition de l’univers. La formule des probabilités totales donne :

\[P(S)=P(R)\times P_R(S)+P(\overline{R})\times P_{\overline{R}}(S)=0{,}2\times 0{,}9+0{,}8x=0{,}18+0{,}8x.\]

Or \(P(S)=0{,}82\), donc \(0{,}18+0{,}8x=0{,}82\), soit \(0{,}8x=0{,}64\) et \(x=\dfrac{0{,}64}{0{,}8}=0{,}8\).

3. On cherche \(P_S(R)\) :

\[P_S(R)=\dfrac{P(R\cap S)}{P(S)}=\dfrac{0{,}2\times 0{,}9}{0{,}82}=\dfrac{0{,}18}{0{,}82}=\dfrac{9}{41}\approx 0{,}22.\]

Un client satisfait a acheté un matelas RESSORTS avec une probabilité d’environ 0,22.

Partie B

1. a. On répète 5 fois, de manière indépendante, l’épreuve « le client est-il satisfait ? », dont le succès a pour probabilité 0,82. \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=5\) et \(p=0{,}82\).

b. Plutôt que d’additionner quatre termes, on passe par l’évènement contraire :

\[P(X\leq\, 3)=1-P(X=4)-P(X=5)=1-\binom\,{5}{4}\times 0{,}82^{4}\times 0{,}18-0{,}82^{5}.\]

\[P(X\leq\, 3)\approx 1-0{,}4069-0{,}3707\approx 0{,}222.\]

La probabilité qu’au plus trois clients soient satisfaits est environ 0,222.

2. a. Les \(n\) choix sont assimilés à des tirages avec remise, donc indépendants, et chaque client est satisfait avec la probabilité 0,82. Le nombre de clients satisfaits suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et 0,82, et « tous sont satisfaits » correspond à \(n\) succès :

\[p_n=\binom\,{n}{n}\times 0{,}82^{n}\times 0{,}18^{0}=0{,}82^{n}.\]

On obtient bien \(p_n=0{,}82^n\).

b. On résout, en appliquant la fonction \(\ln\) strictement croissante :

\[0{,}82^n\lt 0{,}01\iff n\ln(0{,}82)\lt\ln(0{,}01)\iff n\gt\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}82)},\]

le sens de l’inégalité changeant car \(\ln(0{,}82)\lt 0\). Or \(\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}82)}\approx 23{,}2\). (Contrôle : \(0{,}82^{23}\approx 0{,}0104\) et \(0{,}82^{24}\approx 0{,}0085\).)

Les entiers cherchés sont tous les entiers \(n\geq\, 24\). Interprétation : dès que l’on interroge au moins 24 clients, la probabilité qu’ils soient tous satisfaits de leur matelas tombe en dessous de 1 %.

Exercice 2 :

1. \(u_1=\dfrac{6\times 8+2}{8+5}=\dfrac{50}{13}\), donc \(u_1=\dfrac{50}{13}\approx 3{,}85\).

2. a. \(f\) est un quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur \(x+5\) ne s’annule pas sur \([0~;~+\infty[\). Avec la formule \((\dfrac{u}{v})^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}\) :

\[f^{\prime}(x)=\dfrac{6(x+5)-1\times (6x+2)}{(x+5)^2}=\dfrac{28}{(x+5)^2}.\]

Pour tout \(x\geq\, 0\), \(f^{\prime}(x)\gt 0\) : \(f\) est strictement croissante sur \([0~;~+\infty[\).

On calcule \(f(2)=\dfrac{12+2}{2+5}=\dfrac{14}{7}=2\). Si \(x\gt 2\), la stricte croissance de \(f\) donne \(f(x)\gt f(2)\), c’est-à-dire \(f(x)\gt 2\).

b. Notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(u_n\gt 2\) ».

Initialisation. \(u_0=8\gt 2\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Supposons \(u_n\gt 2\) pour un entier naturel \(n\) donné. D’après la question précédente appliquée à \(x=u_n\), \(f(u_n)\gt 2\), c’est-à-dire \(u_{n+1}\gt 2\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. Par récurrence, \(u_n\gt 2\) pour tout entier naturel \(n\).

3. a. Pour tout \(n\), \(u_n\gt 2\), donc \(2-u_n\lt 0\), \(u_n+1\gt 0\) et \(u_n+5\gt 0\). Le quotient \(\dfrac{(2-u_n)(u_n+1)}{u_n+5}\) est donc strictement négatif : \(u_{n+1}-u_n\lt 0\). La suite \((u_n)\) est (strictement) décroissante.

b. La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par 2. D’après le théorème de convergence monotone, \((u_n)\) est convergente (vers une limite supérieure ou égale à 2).

4. a. \(v_0=\dfrac{8-2}{8+1}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}\).

b. On exprime numérateur et dénominateur de \(v_{n+1}\) en fonction de \(u_n\) :

\[u_{n+1}-2=\dfrac{6u_n+2-2(u_n+5)}{u_n+5}=\dfrac{4u_n-8}{u_n+5}=\dfrac{4(u_n-2)}{u_n+5},\]

\[u_{n+1}+1=\dfrac{6u_n+2+u_n+5}{u_n+5}=\dfrac{7u_n+7}{u_n+5}=\dfrac{7(u_n+1)}{u_n+5}.\]

En faisant le quotient (les dénominateurs \(u_n+5\) se simplifient) :

\[v_{n+1}=\dfrac{4(u_n-2)}{7(u_n+1)}=\dfrac{4}{7}v_n.\]

\((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{4}{7}\) et de premier terme \(v_0=\dfrac{2}{3}\).

c. Pour tout \(n\), \(v_n=\dfrac{2}{3}\times (\dfrac{4}{7})^n\). Comme \(-1\lt\dfrac{4}{7}\lt 1\), \(\lim\limits_{n\to+\infty}(\dfrac{4}{7})^n=0\), donc \(\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=0\).

Pour revenir à \(u_n\), on inverse la relation : \(v_n(u_n+1)=u_n-2\iff u_n(1-v_n)=2+v_n\). Comme \(v_n\lt 1\) (le numérateur \(u_n-2\) est plus petit que le dénominateur \(u_n+1\), qui est positif), on peut diviser :

\[u_n=\dfrac{2+v_n}{1-v_n}.\]

Par opérations sur les limites, \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\dfrac{2+0}{1-0}\), soit \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2\).

5. La fonction calcule les termes successifs de la suite tant qu’ils dépassent A, en comptant les étapes dans n. On trouve \(u_{13}\approx 2{,}0014\), encore supérieur à 2,001, et \(u_{14}\approx 2{,}000\,79\), qui ne l’est plus. La commande seuil (2.001) renvoie 14 : \(u_{14}\) est le premier terme de la suite inférieur ou égal à 2,001, autrement dit c’est à partir du rang 14 que \(u_n\) est à moins de 0,001 de sa limite 2 (la suite étant décroissante, tous les termes suivants le sont aussi).

Exercice 3 :

1. La droite \((d)\) passe par A(1 ; 1 ; 0) et est dirigée par \(\vec{u}(0~;~2~;~-1)\) :

\[(d) : \{\begin{array}{l c l} x = 1\\ y = 1+2t\\ z = -t \end{array}.\quad (t\in\mathbb{R}).\]

2. Un vecteur normal à \(\mathcal{P}\) est \(\vec{n_{\mathcal{P}}}(1~;~4~;~2)\). Or \(\vec{u}\cdot\vec{n_{\mathcal{P}}}=0+8-2=6\neq 0\) : la droite n’est pas parallèle au plan, donc elle le coupe en un unique point.

On cherche ce point en reportant la représentation paramétrique dans l’équation du plan :

\[1+4(1+2t)+2(-t)+1=0\iff 6+6t=0\iff t=-1.\]

Avec \(t=-1\) : \(x=1\), \(y=1-2=-1\), \(z=1\). \((d)\) et \(\mathcal{P}\) sont sécants au point B(1 ; −1 ; 1).

3. a. \(\vec{\text{AB}}(0~;~-2~;~1)\) et \(\vec{\text{AC}}(0~;~-2~;~-1)\). Si ces vecteurs étaient colinéaires, les deuxièmes coordonnées imposeraient \(\vec{\text{AC}}=\vec{\text{AB}}\), ce qui est faux pour les troisièmes coordonnées. Ils ne sont donc pas colinéaires : A, B et C ne sont pas alignés et définissent un plan.

b. \(\vec{n}\cdot\vec{\text{AB}}=1\times 0+0\times (-2)+0\times 1=0\) et \(\vec{n}\cdot\vec{\text{AC}}=1\times 0+0\times (-2)+0\times (-1)=0\). Le vecteur \(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : il est normal au plan (ABC).

c. Le plan (ABC) a une équation de la forme \(1\times x+0\times y+0\times z+d=0\), soit \(x+d=0\). Comme A(1 ; 1 ; 0) lui appartient, \(d=-1\). Une équation de (ABC) est \(x-1=0\) (c’est-à-dire \(x=1\)).

4. a. \(\text{AB}=\sqrt{0^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{5}\) et \(\text{AC}=\sqrt{0^2+(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{5}\). Comme AB = AC, le triangle ABC est isocèle en A.

b. H, milieu de [BC], a pour coordonnées \((\dfrac{1+1}{2}~;~\dfrac{-1-1}{2}~;~\dfrac{1-1}{2})\), soit H(1 ; −1 ; 0). Alors \(\vec{\text{AH}}(0~;~-2~;~0)\) et AH = 2.

Dans le triangle isocèle ABC, la médiane (AH) issue du sommet principal est aussi la hauteur relative à [BC]. Avec \(\vec{\text{BC}}(0~;~0~;~-2)\), on a BC = 2, d’où :

\[\mathcal{A}_{\text{ABC}}=\dfrac{\text{BC}\times \text{AH}}{2}=\dfrac{2\times 2}{2}=2.\]

L’aire du triangle ABC vaut 2 unités d’aire.

5. a. \(\vec{\text{BD}}(0-1~;~-1-(-1)~;~1-1)=(-1~;~0~;~0)=-\vec{n}\). Le vecteur \(\vec{\text{BD}}\) est colinéaire au vecteur normal \(\vec{n}\) du plan (ABC), donc la droite (BD) est orthogonale au plan (ABC). Comme elle passe par D et coupe ce plan en B, (BD) est la hauteur de la pyramide ABCD issue de D, relative à la base ABC.

b. La hauteur correspondante est \(h=\text{BD}=\sqrt{(-1)^2+0^2+0^2}=1\) et l’aire de la base ABC vaut 2. Donc :

\[V=\dfrac{1}{3}\times 2\times 1=\dfrac{2}{3}.\]

Le volume de la pyramide ABCD est \(\dfrac{2}{3}\) unité de volume.

Exercice 4 :

1. Réponse c. On a \(f^{\prime}(x)=2\text{e}^x+2x\text{e}^x=2(1+x)\text{e}^x\), du signe de \(1+x\) : \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty~;~-1]\) et strictement croissante sur \([-1~;~+\infty[\). Son minimum vaut \(f(-1)=-\dfrac{2}{\text{e}}\approx-0{,}736\). Par croissance comparée, \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0\), et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\). Comme \(-\dfrac{2}{\text{e}}\lt-0{,}73\lt 0\), le théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue strictement monotone) fournit exactement une solution sur chacun des deux intervalles : 2 solutions.

2. Réponse a. On écrit \(g(x)=(x+1)\text{e}^{-x}\). Quand \(x\to-\infty\), \(x+1\to-\infty\) et \(\text{e}^{-x}\to+\infty\), donc par produit \(\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=-\infty\).

3. Réponse b. \(h^{\prime}(x)=4\text{e}^{2x}+2(4x-16)\text{e}^{2x}=(8x-28)\text{e}^{2x}\), puis \(h^{\prime\prime}(x)=8\text{e}^{2x}+2(8x-28)\text{e}^{2x}=(16x-48)\text{e}^{2x}=16(x-3)\text{e}^{2x}\). La dérivée seconde s’annule en changeant de signe en \(x=3\) (négative avant, positive après) : \(\mathcal{C}_h\) a un point d’inflexion en \(x=3\), et \(h\) n’est ni convexe ni concave sur tout \(\mathbb{R}\).

4. Réponse b. \(k(\text{e})=3\ln(\text{e})-\text{e}=3-\text{e}\) et \(k^{\prime}(x)=\dfrac{3}{x}-1\), donc \(k^{\prime}(\text{e})=\dfrac{3}{\text{e}}-1=\dfrac{3-\text{e}}{\text{e}}\). La tangente a pour équation \(y=\dfrac{3-\text{e}}{\text{e}}(x-\text{e})+3-\text{e}=\dfrac{3-\text{e}}{\text{e}}x-(3-\text{e})+3-\text{e}\), soit \(y=(\dfrac{3-\text{e}}{\text{e}})x\).

5. Réponse c. On pose \(X=\ln(x)\) : l’équation devient \(X^2+10X+21=0\), de discriminant \(\Delta=100-84=16\gt 0\), donc de racines \(X=\dfrac{-10-4}{2}=-7\) et \(X=\dfrac{-10+4}{2}=-3\). Chacune donne une valeur de \(x\) : \(x=\text{e}^{-7}\) et \(x=\text{e}^{-3}\), qui sont bien dans \(]0~;~+\infty[\). L’équation a 2 solutions.

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