Bac maths 2024 Polynésie sept. : sujet et corrigé

Voici le sujet du bac de spécialité mathématiques 2024 en Polynésie, session de septembre (sujet 1 du 5 septembre 2024), reproduit en entier et suivi d’un corrigé détaillé de chaque question. Le premier exercice se passe dans une concession automobile qui vend des voitures électriques et hybrides : arbre pondéré, probabilité conditionnelle puis loi binomiale pour estimer le coût moyen des bornes de recharge offertes. Le deuxième est un vrai-faux sur six affirmations : variations de \(\text{e}^x+x\), limite avec un logarithme, primitive, équation différentielle et intégration par parties. Le troisième compte les boules d’une pyramide à base carrée avec une fonction Python et une récurrence sur la somme des carrés. Le dernier étudie dans un cube la nature du quadrilatère CKEL selon un paramètre \(m\) : parallélogramme, rectangle, losange et produit scalaire.

Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2024
Mathématiques — Sujet 1
Polynésie — 5 septembre 2024
Durée de l’épreuve : 4 heures

Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée

Exercice 1 (5 points)

Une concession automobile vend deux sortes de véhicules :

60 % sont des véhicules tout-électrique ;
40 % sont des véhicules hybrides rechargeables.

75 % des acheteurs de véhicules tout-électrique et 52 % des acheteurs de véhicules hybrides ont la possibilité matérielle d’installer une borne de recharge à domicile.

On choisit un acheteur au hasard et on considère les évènements suivants :

\(E\) : « l’acheteur choisit un véhicule tout-électrique » ;
\(B\) : « l’acheteur a la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile ».

Dans l’ensemble de l’exercice, les probabilités seront arrondies au millième si nécessaire.

1. Calculer la probabilité que l’acheteur choisisse un véhicule tout-électrique et qu’il ait la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile.

On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.

2. Démontrer que \(P(B) = 0{,}658\).

3. Un acheteur a la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile. Quelle est la probabilité qu’il choisisse un véhicule tout-électrique ?

4. On choisit un échantillon de 20 acheteurs. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre total d’acheteurs pouvant installer une borne de recharge à leur domicile parmi l’échantillon de 20 acheteurs.

a. Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par \(X\).

b. Calculer \(P(X = 8)\).

c. Calculer la probabilité qu’au moins 10 acheteurs puissent installer une borne de recharge.

d. Calculer l’espérance de \(X\).

e. La directrice de la concession décide d’offrir l’installation de la borne de recharge aux acheteurs ayant la possibilité d’en installer une à leur domicile. Cette installation coûte 1 200 €.

En moyenne, quelle somme doit-elle prévoir d’engager pour cette offre lors de la vente de 20 véhicules ?

Exercice 2 (6 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x) = \text{e}^x + x.\]

Affirmation A : La fonction \(f\) admet pour tableau de variations le tableau ci-dessous :

Affirmation B : L’équation \(f(x) = -2\) admet deux solutions dans \(\mathbb{R}\).

2. Affirmation C :

\[\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x) – x^2 + 2}{3x^2} = -\dfrac{1}{3}.\]

3. On considère la fonction \(k\) définie et continue sur \(\mathbb{R}\) par

\[k(x) = 1 + 2\text{e}^{-x^2 + 1}.\]

Affirmation D : Il existe une primitive de la fonction \(k\) décroissante sur \(\mathbb{R}\).

4. On considère l’équation différentielle

\[(E) : \quad 3y^{\prime} + y = 1.\]

Affirmation E : La fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[g(x) = 4\text{e}^{-\frac{1}{3} x} + 1\]

est solution de l’équation différentielle \((E)\) avec \(g(0) = 5\).

5. Affirmation F : Une intégration par parties permet d’obtenir :

\[\displaystyle\int_0^1 x\,\text{e}^{-x}\,\text{d}x = 1 – 2\text{e}^{-1}.\]

Exercice 3 (4 points)

On considère une pyramide à base carrée formée de boules identiques empilées les unes sur les autres :

le 1^er étage, situé au niveau le plus haut, est composé de 1 boule ;
le 2^e étage, niveau juste en dessous, est composé de 4 boules ;
le 3^e étage possède 9 boules ;
…
le \(n\)-ième étage possède \(n^2\) boules.

Pour tout entier \(n \geq\, 1\), on note \(u_n\) le nombre de boules qui composent le \(n\)-ième étage en partant du haut de la pyramide. Ainsi, \(u_n = n^2\).

1. Calculer le nombre total de boules d’une pyramide de 4 étages.

2. On considère la suite \((S_n)\) définie pour tout entier \(n \geq\, 1\) par

\[S_n = u_1 + u_2 + \ldots + u_n.\]

a. Calculer \(S_5\) et interpréter ce résultat.

b. On considère la fonction pyramide ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python.

Recopier et compléter sur la copie le cadre ci-dessous de sorte que, pour tout entier naturel non nul \(n\), l’instruction pyramide(n) renvoie le nombre de boules composant une pyramide de \(n\) étages.

def pyramide(n) :
    S = 0
    for i in range(1, n+1) :
        S = ...
    return ...

c. Vérifier que pour tout entier naturel \(n\) :

\[\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \dfrac{(n+1)(n+2)[2(n+1)+1]}{6}\]

d. Démontrer par récurrence que pour tout entier \(n \geq\, 1\) :

\[S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\]

3. Un marchand souhaite disposer des oranges en pyramide à base carrée. Il possède 200 oranges. Combien d’oranges utilise-t-il pour construire la plus grande pyramide possible ?

Exercice 4 (5 points)

On considère un cube ABCDEFGH et l’espace est rapporté au repère orthonormal \((\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AD}},~\vec{\text{AE}})\).

Pour tout réel \(m\) appartenant à l’intervalle \([0~;~1]\), on considère les points \(K\) et \(L\) de coordonnées :

\[K(m~;~0~;~0) \quad \text{et} \quad L(1-m~;~1~;~1).\]

1. Donner les coordonnées des points E et C dans ce repère.

2. Dans cette question, \(m = 0\). Ainsi, le point \(\text{L}(1~;~1~;~1)\) est confondu avec le point G, le point \(\text{K}(0~;~0~;~0)\) est confondu avec le point A et le plan (LEK) est donc le plan (GEA).

a. Justifier que le vecteur \(\vec{\text{DB}}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\) est normal au plan (GEA).

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (GEA).

On s’intéresse désormais à la nature de C\(K\)E\(L\) en fonction du paramètre \(m\).

3. Dans cette question, \(m\) est un réel quelconque de l’intervalle \([0~;~1]\).

a. Démontrer que C\(K\)E\(L\) est un parallélogramme.

b. Justifier que \(\vec{K\text{C}} \cdot \vec{K\text{E}} = m(m-1)\).

c. Démontrer que C\(K\)E\(L\) est un rectangle si, et seulement si, \(m = 0\) ou \(m = 1\).

4. Dans cette question, \(m = \dfrac{1}{2}\). Ainsi, L a pour coordonnées \((\dfrac{1}{2}~;~1~;~1)\) et K a pour coordonnées \((\dfrac{1}{2}~;~0~;~0)\).

a. Démontrer que le parallélogramme CKEL est alors un losange.

b. À l’aide de la question 3. b., déterminer une valeur approchée au degré près de la mesure de l’angle \(\widehat{\text{CKE}}\).

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

On traduit d’abord l’énoncé en probabilités. On a \(P(E)=0{,}6\) et \(P(\overline{E})=0{,}4\). Parmi les acheteurs d’un véhicule tout-électrique, 75 % peuvent installer une borne : \(P_E(B)=0{,}75\), donc \(P_E(\overline{B})=0{,}25\). Parmi les acheteurs d’un hybride, 52 % le peuvent : \(P_{\overline{E}}(B)=0{,}52\), donc \(P_{\overline{E}}(\overline{B})=0{,}48\).

L’arbre pondéré correspondant part de la racine avec deux branches : \(E\) (0,6) et \(\overline{E}\) (0,4). Après \(E\), deux branches : \(B\) (0,75) et \(\overline{B}\) (0,25). Après \(\overline{E}\), deux branches : \(B\) (0,52) et \(\overline{B}\) (0,48).

1. On cherche \(P(E\cap B)\). On multiplie les probabilités le long du chemin \(E\) puis \(B\) :

\[P(E\cap B)=P(E)\times P_E(B)=0{,}6\times 0{,}75=0{,}45.\]

La probabilité que l’acheteur choisisse un véhicule tout-électrique et puisse installer une borne est 0,45.

2. Les évènements \(E\) et \(\overline{E}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

\[P(B)=P(E\cap B)+P(\overline{E}\cap B)=0{,}45+P(\overline{E})\times P_{\overline{E}}(B)=0{,}45+0{,}4\times 0{,}52.\]

Or \(0{,}4\times 0{,}52=0{,}208\), donc \(P(B)=0{,}45+0{,}208\), c’est-à-dire \(P(B)=0{,}658\).

3. On sait que l’acheteur peut installer une borne : on cherche la probabilité conditionnelle \(P_B(E)\).

\[P_B(E)=\dfrac{P(E\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}45}{0{,}658}\approx 0{,}684.\]

Sachant qu’il peut installer une borne, l’acheteur a choisi un véhicule tout-électrique avec une probabilité d’environ 0,684.

4. a. Pour chacun des 20 acheteurs, on observe une épreuve de Bernoulli dont le succès est « l’acheteur peut installer une borne », de probabilité \(p=P(B)=0{,}658\). Le prélèvement étant assimilé à un tirage avec remise, ces 20 épreuves sont identiques et indépendantes. \(X\) compte le nombre de succès, donc \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=20\) et \(p=0{,}658\).

b. Avec la formule de la loi binomiale :

\[P(X=8)=\binom\,{20}{8}\times 0{,}658^{8}\times 0{,}342^{12}\approx 0{,}011.\]

Donc \(P(X=8)\approx 0{,}011\).

c. « Au moins 10 acheteurs » correspond à l’évènement \(X\geq\, 10\). On passe par l’évènement contraire \(X\leq\, 9\), que la calculatrice donne directement (fonction de répartition de la loi binomiale) :

\[P(X\geq\, 10)=1-P(X\leq\, 9)\approx 1-0{,}0452\approx 0{,}955.\]

La probabilité qu’au moins 10 acheteurs puissent installer une borne est environ 0,955.

d. Pour une loi binomiale, l’espérance vaut \(np\) :

\[E(X)=20\times 0{,}658=13{,}16.\]

Donc \(E(X)=13{,}16\).

e. L’espérance \(E(X)=13{,}16\) est le nombre moyen d’acheteurs, sur 20 ventes, qui peuvent installer une borne et donc bénéficier de l’offre. Chaque installation coûte 1 200 €, donc le coût moyen est :

\[13{,}16\times 1\,200=15\,792.\]

En moyenne, la directrice doit prévoir 15 792 € pour 20 véhicules vendus.

Exercice 2 :

1. Affirmation A : vraie.

Limites. En \(-\infty\) : \(\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^x=0\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty\), donc par somme \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\). En \(+\infty\) : \(\text{e}^x\) et \(x\) tendent tous deux vers \(+\infty\), donc \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

Variations. \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f^{\prime}(x)=\text{e}^x+1\). Comme \(\text{e}^x\gt 0\) pour tout réel \(x\), on a \(f^{\prime}(x)\gt 1\gt 0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

Le tableau proposé (croissance de \(-\infty\) à \(+\infty\)) est donc exact.

Affirmation B : fausse.

La fonction \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), avec des limites \(-\infty\) et \(+\infty\) aux bornes. Comme \(-2\) est compris entre ces deux limites, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection) assure que l’équation \(f(x)=-2\) admet une unique solution dans \(\mathbb{R}\), et non deux.

2. Affirmation C : vraie.

La limite du quotient se présente sous une forme indéterminée « \(\dfrac{\infty}{\infty}\) ». On factorise par \(x^2\) au numérateur : pour \(x\gt 0\),

\[\dfrac{\ln(x)-x^2+2}{3x^2}=\dfrac{x^2(\dfrac{\ln(x)}{x^2}-1+\dfrac{2}{x^2})}{3x^2}=\dfrac{1}{3}(\dfrac{\ln(x)}{x^2}-1+\dfrac{2}{x^2}).\]

On écrit \(\dfrac{\ln(x)}{x^2}=\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac{1}{x}\). Par croissance comparée \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0\), donc par produit \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^2}=0\). De plus \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2}{x^2}=0\).

La parenthèse tend donc vers \(0-1+0=-1\), et la limite cherchée vaut \(\dfrac{1}{3}\times (-1)=-\dfrac{1}{3}\).

3. Affirmation D : fausse.

Si \(K\) est une primitive de \(k\) sur \(\mathbb{R}\), alors \(K^{\prime}=k\). Or, pour tout réel \(x\), \(\text{e}^{-x^2+1}\gt 0\) (une exponentielle est toujours strictement positive), donc \(k(x)=1+2\text{e}^{-x^2+1}\gt 1\gt 0\).

Toute primitive de \(k\) a une dérivée strictement positive : elle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Aucune primitive de \(k\) ne peut donc être décroissante.

4. Affirmation E : vraie.

Condition initiale : \(g(0)=4\text{e}^{0}+1=4+1=5\).

Équation différentielle : \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, la dérivée de \(\text{e}^{ax}\) étant \(a\,\text{e}^{ax}\), \(g^{\prime}(x)=4\times (-\dfrac{1}{3})\text{e}^{-\frac{1}{3}x}=-\dfrac{4}{3}\text{e}^{-\frac{1}{3}x}\). Alors, pour tout réel \(x\) :

\[3g^{\prime}(x)+g(x)=-4\text{e}^{-\frac{1}{3}x}+4\text{e}^{-\frac{1}{3}x}+1=1.\]

La fonction \(g\) vérifie bien \((E)\) et \(g(0)=5\).

5. Affirmation F : vraie.

On pose \(u(x)=x\) et \(v^{\prime}(x)=\text{e}^{-x}\), d’où \(u^{\prime}(x)=1\) et \(v(x)=-\text{e}^{-x}\). Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables à dérivées continues sur \([0~;~1]\). La formule d’intégration par parties donne :

\[\int_0^1 x\,\text{e}^{-x}\,\text{d}x=\Big[-x\,\text{e}^{-x}\Big]_0^1-\int_0^1(-\text{e}^{-x})\text{d}x=\Big[-x\,\text{e}^{-x}\Big]_0^1+\int_0^1\text{e}^{-x}\,\text{d}x.\]

D’une part \(\Big[-x\,\text{e}^{-x}\Big]_0^1=-\text{e}^{-1}-0=-\text{e}^{-1}\). D’autre part \(\displaystyle\int_0^1\text{e}^{-x}\,\text{d}x=\Big[-\text{e}^{-x}\Big]_0^1=-\text{e}^{-1}+1\).

Au total : \(\displaystyle\int_0^1 x\,\text{e}^{-x}\,\text{d}x=-\text{e}^{-1}+1-\text{e}^{-1}=1-2\text{e}^{-1}\), qui vaut environ 0,264.

Exercice 3 :

1. Une pyramide de 4 étages contient les boules des étages 1 à 4 :

\[u_1+u_2+u_3+u_4=1+4+9+16=30.\]

Une pyramide de 4 étages compte 30 boules.

2. a. On ajoute le 5^e étage au total précédent :

\[S_5=(u_1+u_2+u_3+u_4)+u_5=30+5^2=30+25=55.\]

\(S_5=55\) : une pyramide à base carrée de 5 étages est formée de 55 boules.

b. La variable S sert d’accumulateur : à chaque passage dans la boucle, i prend successivement les valeurs 1, 2, …, n et on ajoute le nombre de boules de l’étage i, soit \(i^2\). À la fin, on renvoie S.

def pyramide(n) :
    S = 0
    for i in range(1, n+1) :
        S = S + i**2
    return S

Par exemple, pyramide(5) renvoie 55.

c. On développe chacun des deux membres pour montrer qu’ils sont égaux.

Membre de gauche : on met tout sur le dénominateur 6 et on factorise par \(n+1\).

\[\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\dfrac{(n+1)\big[n(2n+1)+6(n+1)\big]}{6}=\dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}.\]

Membre de droite : \(2(n+1)+1=2n+3\), et \((n+2)(2n+3)=2n^2+3n+4n+6=2n^2+7n+6\), donc

\[\dfrac{(n+1)(n+2)[2(n+1)+1]}{6}=\dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}.\]

Les deux membres sont égaux pour tout entier naturel \(n\) : l’égalité est vérifiée.

d. Pour tout entier \(n\geq\, 1\), on note \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(S_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) ».

Initialisation. Pour \(n=1\) : \(S_1=u_1=1\) et \(\dfrac{1\times 2\times 3}{6}=1\). \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\geq\, 1\) un entier tel que \(\mathcal{P}(n)\) soit vraie. On a \(S_{n+1}=S_n+u_{n+1}=S_n+(n+1)^2\). Avec l’hypothèse de récurrence :

\[S_{n+1}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2.\]

D’après la question 2. c., cette quantité vaut \(\dfrac{(n+1)(n+2)[2(n+1)+1]}{6}\), c’est-à-dire \(\dfrac{(n+1)\big((n+1)+1\big)\big(2(n+1)+1\big)}{6}\) : c’est exactement \(\mathcal{P}(n+1)\).

Conclusion. La propriété est vraie au rang 1 et elle est héréditaire, donc par le principe de récurrence, pour tout entier \(n\geq\, 1\), \(S_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).

3. Une pyramide de \(n\) étages demande \(S_n\) oranges, et la suite \((S_n)\) est strictement croissante (on ajoute \(n^2\gt 0\) à chaque étage). On cherche donc le plus grand entier \(n\) tel que \(S_n\leq\, 200\).

\[S_7=\dfrac{7\times 8\times 15}{6}=140 \qquad S_8=\dfrac{8\times 9\times 17}{6}=204.\]

Comme \(S_7=140\leq\, 200\) et \(S_8=204\gt 200\), la plus grande pyramide possible a 7 étages : le marchand utilise 140 oranges (il lui en reste 60).

Exercice 4 :

1. Dans le repère \((\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AD}},~\vec{\text{AE}})\), on a \(\vec{\text{AE}}=0\,\vec{\text{AB}}+0\,\vec{\text{AD}}+1\,\vec{\text{AE}}\), donc \(\text{E}(0~;~0~;~1)\). ABCD étant un carré, \(\vec{\text{AC}}=\vec{\text{AB}}+\vec{\text{AD}}\), donc \(\text{C}(1~;~1~;~0)\).

2. a. Un vecteur est normal à un plan s’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Avec \(\text{A}(0~;~0~;~0)\), \(\text{E}(0~;~0~;~1)\) et \(\text{G}(1~;~1~;~1)\), on obtient \(\vec{\text{AE}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{AG}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\), qui ne sont pas colinéaires (la première coordonnée de \(\vec{\text{AE}}\) est nulle, pas celle de \(\vec{\text{AG}}\)).

Le repère étant orthonormé, on calcule les produits scalaires avec \(\vec{\text{DB}}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\) :

\[\vec{\text{DB}}\cdot\vec{\text{AE}}=1\times 0+(-1)\times 0+0\times 1=0 \qquad \vec{\text{DB}}\cdot\vec{\text{AG}}=1\times 1+(-1)\times 1+0\times 1=0.\]

\(\vec{\text{DB}}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (GEA) : il est normal au plan (GEA).

b. Puisque \(\vec{\text{DB}}(1~;~-1~;~0)\) est normal au plan (GEA), celui-ci a une équation de la forme \(x-y+d=0\). Le point A(0 ; 0 ; 0) appartient au plan, donc \(0-0+d=0\), soit \(d=0\).

Une équation cartésienne du plan (GEA) est \(x-y=0\). (Contrôle : E(0 ; 0 ; 1) et G(1 ; 1 ; 1) vérifient bien \(x=y\).)

3. a. On compare les vecteurs \(\vec{K\text{E}}\) et \(\vec{\text{C}L}\) :

\[\vec{K\text{E}}\begin{pmatrix}0-m\\0-0\\1-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-m\\0\\1\end{pmatrix} \qquad \vec{\text{C}L}\begin{pmatrix}(1-m)-1\\1-1\\1-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-m\\0\\1\end{pmatrix}.\]

On a \(\vec{K\text{E}}=\vec{\text{C}L}\), donc C\(K\)E\(L\) est un parallélogramme (pour tout \(m\) de \([0~;~1]\)).

b. On a \(\vec{K\text{C}}\begin{pmatrix}1-m\\1\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec{K\text{E}}\begin{pmatrix}-m\\0\\1\end{pmatrix}\). Dans un repère orthonormé :

\[\vec{K\text{C}}\cdot\vec{K\text{E}}=(1-m)\times (-m)+1\times 0+0\times 1=-m+m^2=m(m-1).\]

Donc \(\vec{K\text{C}}\cdot\vec{K\text{E}}=m(m-1)\).

c. Un parallélogramme est un rectangle si et seulement s’il possède un angle droit. Comme C\(K\)E\(L\) est un parallélogramme, il suffit d’étudier l’angle en \(K\) (ses côtés issus de \(K\) sont \([K\text{C}]\) et \([K\text{E}]\), de longueurs non nulles car \(K\) est distinct de C et de E). Ainsi :

C\(K\)E\(L\) est un rectangle \(\iff \vec{K\text{C}}\cdot\vec{K\text{E}}=0 \iff m(m-1)=0\).

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(m(m-1)=0 \iff m=0\) ou \(m=1\). Donc C\(K\)E\(L\) est un rectangle si, et seulement si, \(m=0\) ou \(m=1\).

4. a. Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange. Les diagonales de CKEL sont \([\text{KL}]\) et \([\text{EC}]\).

\[\vec{\text{KL}}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\\1-0\\1-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} \qquad \vec{\text{EC}}\begin{pmatrix}1-0\\1-0\\0-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\]

\[\vec{\text{KL}}\cdot\vec{\text{EC}}=0\times 1+1\times 1+1\times (-1)=0.\]

Les diagonales sont perpendiculaires, donc le parallélogramme CKEL est un losange. (On peut aussi constater que \(\text{KC}=\text{KE}\), comme on le voit ci-dessous.)

b. D’après 3. b. avec \(m=\dfrac{1}{2}\) : \(\vec{\text{KC}}\cdot\vec{\text{KE}}=\dfrac{1}{2}\times (-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{1}{4}\).

Les longueurs : \(\vec{\text{KC}}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\1\\0\end{pmatrix}\) donne \(\text{KC}^2=\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{5}{4}\), et \(\vec{\text{KE}}\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\\0\\1\end{pmatrix}\) donne \(\text{KE}^2=\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{5}{4}\). Donc \(\text{KC}=\text{KE}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\).

On utilise l’autre expression du produit scalaire, \(\vec{\text{KC}}\cdot\vec{\text{KE}}=\text{KC}\times \text{KE}\times \cos\widehat{\text{CKE}}\) :

\[-\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}\cos\widehat{\text{CKE}} \quad\text{donc}\quad \cos\widehat{\text{CKE}}=-\dfrac{1}{5}.\]

La calculatrice donne \(\widehat{\text{CKE}}\approx 101{,}5^\circ\), soit \(\widehat{\text{CKE}}\approx 102^\circ\) au degré près. L’angle est obtus, ce qui est cohérent avec un produit scalaire négatif.

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