Corrigé Polynésie 2024 : sujet de maths (septembre) et corrigé

Sommaire

En outre, Voici le sujet du bac de spécialité mathématiques 2024 en Polynésie, session de septembre (sujet 1 du 5 septembre 2024), reproduit en entier et suivi d’un corrigé détaillé de chaque question. Le premier exercice se passe dans une concession automobile qui vend des voitures électriques et hybrides : arbre pondéré, probabilité conditionnelle puis loi binomiale pour estimer le coût moyen des bornes de recharge offertes. Ensuite, le deuxième est un vrai-faux sur six affirmations : variations de \(\text{e}^x+x\), limite avec un logarithme, primitive, équation différentielle et intégration par parties. Par ailleurs, le troisième compte les boules d’une pyramide à base carrée avec une fonction Python et une récurrence sur la somme des carrés. Le dernier étudie dans un cube la nature du quadrilatère CKEL selon un paramètre \(m\) : parallélogramme, rectangle, losange et produit scalaire.

De plus, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2024 en Polynésie (septembre).

En outre, Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

Corrigé Polynésie 2024 : ce que contient le sujet

Tout d’abord, ce corrigé Polynésie 2024 correspond à l’épreuve de spécialité mathématiques 2024 en Polynésie (septembre), reproduit ici avec son énoncé complet. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 5, 6, 4 et 5 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, la fonction exponentielle et les limites. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Ainsi, vous pouvez vous entraîner en temps limité avant de consulter la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2024
Mathématiques — Sujet 1
Polynésie — 5 septembre 2024
Durée de l’épreuve : 4 heures

Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée

Exercice 1 (5 points)

Une concession automobile vend deux sortes de véhicules :

60 % sont des véhicules tout-électrique ;
40 % sont des véhicules hybrides rechargeables.

75 % des acheteurs de véhicules tout-électrique et 52 % des acheteurs de véhicules hybrides ont la possibilité matérielle d’installer une borne de recharge à domicile.

On choisit un acheteur au hasard et on considère les évènements suivants :

\(E\) : « l’acheteur choisit un véhicule tout-électrique » ;
\(B\) : « l’acheteur a la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile ».

Dans l’ensemble de l’exercice, les probabilités seront arrondies au millième si nécessaire.

1. Calculer la probabilité que l’acheteur choisisse un véhicule tout-électrique et qu’il ait la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile.

On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.

2. Démontrer que \(P(B) = 0{,}658\).

3. Un acheteur a la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile. Quelle est la probabilité qu’il choisisse un véhicule tout-électrique ?

4. On choisit un échantillon de 20 acheteurs. Par ailleurs, on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre total d’acheteurs pouvant installer une borne de recharge à leur domicile parmi l’échantillon de 20 acheteurs.

a. Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par \(X\).

b. Calculer \(P(X = 8)\).

c. Calculer la probabilité qu’au moins 10 acheteurs puissent installer une borne de recharge.

d. Calculer l’espérance de \(X\).

e. La directrice de la concession décide d’offrir l’installation de la borne de recharge aux acheteurs ayant la possibilité d’en installer une à leur domicile. Cette installation coûte 1 200 €.

En moyenne, quelle somme doit-elle prévoir d’engager pour cette offre lors de la vente de 20 véhicules ?

Exercice 2 (6 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x) = \text{e}^x + x.\]

Affirmation A : La fonction \(f\) admet pour tableau de variations le tableau ci-dessous :

Affirmation B : L’équation \(f(x) = -2\) admet deux solutions dans \(\mathbb{R}\).

2. Affirmation C :

\[\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x) – x^2 + 2}{3x^2} = -\dfrac{1}{3}.\]

3. On considère la fonction \(k\) définie et continue sur \(\mathbb{R}\) par

\[k(x) = 1 + 2\text{e}^{-x^2 + 1}.\]

Affirmation D : Il existe une primitive de la fonction \(k\) décroissante sur \(\mathbb{R}\).

4. On considère l’équation différentielle

\[(E) : \quad 3y^{\prime} + y = 1.\]

Affirmation E : La fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[g(x) = 4\text{e}^{-\frac{1}{3} x} + 1\]

est solution de l’équation différentielle \((E)\) avec \(g(0) = 5\).

5. Affirmation F : Une intégration par parties permet d’obtenir :

\[\displaystyle\int_0^1 x\,\text{e}^{-x}\,\text{d}x = 1 – 2\text{e}^{-1}.\]

Exercice 3 (4 points)

On considère une pyramide à base carrée formée de boules identiques empilées les unes sur les autres :

le 1^er étage, situé au niveau le plus haut, est composé de 1 boule ;
le 2^e étage, niveau juste en dessous, est composé de 4 boules ;
le 3^e étage possède 9 boules ;
…
le \(n\)-ième étage possède \(n^2\) boules.

Pour tout entier \(n \geq\, 1\), on note \(u_n\) le nombre de boules qui composent le \(n\)-ième étage en partant du haut de la pyramide. Ainsi, \(u_n = n^2\).

1. Calculer le nombre total de boules d’une pyramide de 4 étages.

2. On considère la suite \((S_n)\) définie pour tout entier \(n \geq\, 1\) par

\[S_n = u_1 + u_2 + \ldots + u_n.\]

a. Calculer \(S_5\) et interpréter ce résultat.

b. On considère la fonction pyramide ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python.

Recopier et compléter sur la copie le cadre ci-dessous de sorte que, pour tout entier naturel non nul \(n\), l’instruction pyramide(n) renvoie le nombre de boules composant une pyramide de \(n\) étages.

def pyramide(n) :
    S = 0
    for i in range(1, n+1) :
        S = ...
    return ...

c. Vérifier que pour tout entier naturel \(n\) :

\[\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \dfrac{(n+1)(n+2)[2(n+1)+1]}{6}\]

d. Démontrer par récurrence que pour tout entier \(n \geq\, 1\) :

\[S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\]

3. Un marchand souhaite disposer des oranges en pyramide à base carrée. Il possède 200 oranges. Combien d’oranges utilise-t-il pour construire la plus grande pyramide possible ?

Exercice 4 (5 points)

On considère un cube ABCDEFGH et l’espace est rapporté au repère orthonormal \((\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AD}},~\vec{\text{AE}})\).

Pour tout réel \(m\) appartenant à l’intervalle \([0~;~1]\), on considère les points \(K\) et \(L\) de coordonnées :

\[K(m~;~0~;~0) \quad \text{et} \quad L(1-m~;~1~;~1).\]

1. Donner les coordonnées des points E et C dans ce repère.

2. Dans cette question, \(m = 0\). Ainsi, le point \(\text{L}(1~;~1~;~1)\) est confondu avec le point G, le point \(\text{K}(0~;~0~;~0)\) est confondu avec le point A et le plan (LEK) est donc le plan (GEA).

a. Justifier que le vecteur \(\vec{\text{DB}}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\) est normal au plan (GEA).

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (GEA).

On s’intéresse désormais à la nature de C\(K\)E\(L\) en fonction du paramètre \(m\).

3. Dans cette question, \(m\) est un réel quelconque de l’intervalle \([0~;~1]\).

a. Démontrer que C\(K\)E\(L\) est un parallélogramme.

b. Justifier que \(\vec{K\text{C}} \cdot \vec{K\text{E}} = m(m-1)\).

c. Démontrer que C\(K\)E\(L\) est un rectangle si, et seulement si, \(m = 0\) ou \(m = 1\).

4. Dans cette question, \(m = \dfrac{1}{2}\). Ainsi, L a pour coordonnées \((\dfrac{1}{2}~;~1~;~1)\) et K a pour coordonnées \((\dfrac{1}{2}~;~0~;~0)\).

a. Démontrer que le parallélogramme CKEL est alors un losange.

b. À l’aide de la question 3. b., déterminer une valeur approchée au degré près de la mesure de l’angle \(\widehat{\text{CKE}}\).

Bien travailler ce corrigé Polynésie 2024

Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment les probabilités conditionnelles ou la loi binomiale, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. En complément, l’article probabilités conditionnelles de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Les erreurs fréquentes à éviter

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.

Questions fréquentes sur ce corrigé Polynésie 2024

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et la fonction exponentielle, mais aussi les limites.

Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2024 en Polynésie (septembre)

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