Matrices : exercices en terminale spécialité de maths corrigés en PDF.

Mis à jour le 27 mars 2025

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✏️Exercices
Terminale • Lycée
Matrices
⏱️ Temps de travail : 20-45 min
🎯 Niveau : Lycée
📱 Format : Gratuit
📄 PDF : Disponible
 Les matrices et les opérations à travers des exercices de maths en terminale spécialité corrigés. En complément, vous pouvez résoudre les exercices corrigés en terminale en PDF.

Exercice 1 – Puissance de matrices
Soit la matrice A\,(\,\begin{matrix}\,1\,\,-1\,\\\,2\,3\,\end{matrix}\,\,).

Calculer A^2=A\times   A.

Exercice 2 – Somme et produit de matrices
Soient les matrices suivantes :

A\,(\,\begin{matrix}\,1\,\,-1\,\\\,2\,3\,\end{matrix}\,\,) et B\,(\,\begin{matrix}\,-4\,\,8\,\\\,2\,0\,\end{matrix}\,\,)

1. Calculer la somme des matrices A+B.

2. Calculer le produit de matrices AB.

Exercice 3 – Calcul d’un produit
Soient les matrices suivantes :

A\,(\,\begin{matrix}\,3\,\,0\,\\\,5\,0\,\end{matrix}\,\,) et B\,(\,\begin{matrix}\,0\,\,0\,\\\,-2\,1\,\end{matrix}\,\,)

Calculer le produit AB.

Exercice 4 :

1. Résoudre les systèmes suivants.

Nous allons voir comment déterminer les solutions de ces systèmes par calcul matriciel.
A. Représentation du système :
1. Déterminer deux matrices M\,xy et B de dimension 2\,\times  \,1 telles que (S_1) équivaut à M_{x,y}\,=\,B.
2. Donner deux matrices A et X, de dimensions respectives 2\times  \,2 et 2\,\times  \,1, telles que M_{x,y}\,=\,AX.
3. En déduire que résoudre le système (S_1) revient à résoudre l’équation AX= B, d’inconnue X.

B. Inverse de matrice et résolution matricielle
1. Dans l’équation 2x= 5, pourquoi multiplier les deux membres par 2^{-1} permet d’isoler x?
La matrice identité est :

exercices sur les matrices

On cherche à déterminer s’il existe une matrice :

exercices sur les matrices

telle que AA^{-1}=I_2.

2. Montrer que trouver A^{-1} revient à résoudre les systèmes :

exercices sur les matrices

3. Résoudre ces systèmes et en déduire A-1 (mettre les coefficients sous forme de fraction).
4. Exprimer les coefficients de A^{-1} en fonction de ceux de A.
En déduire une formule afin de déterminer la matrice inverse d’une matrice.
5. Multiplier à gauche les deux membres de AX = B par A^{-1}.

Retrouve-t-on les solutions de (S_1)  ?
6. De même, mettre le système (S_2) sous la forme matricielle CX=\,D.

Peut-on trouver C^{-1} ? Pourquoi ?

Exercice 5 :

Soient les matrices suivantes :

exercices sur les matrices

Calculer AB.

Exercice 6 :

Soient les matrices A et B suivantes :

exercices sur les matrices

Calculer le produit AB.

Exercice 7 :

Soit A=\,\begin{pmatrix}\,2\,\,3\\\,-1\,\,5\,\end{pmatrix}.

Montrer que A est inversible et déterminer A^{-1}.

Exercice 8 :

Soient les matrices suivantes :

exercices sur les matrices

Montrer que B est l’inverse de A et en déduire les solutions de l’équation XA = C.

Exercice 9 :

1.Mettre le système :

\{\begin{matrix}\,x+y+z=2\\\,2z-y=0\,\\\,3x+2z+4y=7\,\end{matrix}.

sous forme d’équation matricielle en justifiant.

2. En déduire les solutions du système.

Exercice 10 :

1.Mettre le système :

\{\begin{matrix}\,x-y+z=3\\\,x-z+y=-1\,\\\,y-x+z=5\,\end{matrix}.

sous forme d’équation matricielle en justifiant.

2. En déduire les solutions du système.

Exercice 11 :

On considère une suite (U_n\,) de matrices de dimension 2\,\times  \,1 telle que :

U_{n+1}=AU_n+B
avec

exercices sur les matrices

1.Déterminer une matrice X telle que AX + B = X.
2. Soit la suite (V_n\,) définie par V_n\,=\,U_n-\,X pour tout entier n.
Montrer que V_{n+l}\,=AV_n pour tout entier n.
En déduire l’expression de V_n, puis de U_n en fonction de n et A.

Exercice 12 :

On considère, dans un plan muni d’un repère (O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j}), le point A(\sqrt{3};7).
1. Soit \vec{u}\begin{pmatrix}\,4\\\,-5\,\end{pmatrix}, déterminer les coordonnées de B, l’image de A par la translation de vecteur \vec{u}.
2. Donner les coordonnées de C, l’image de A par la rotation de centre O et d’angle \frac{\pi}{4}.

exercices sur les matrices

Exercice 13 :

On  considère, dans un plan muni d’un repère (O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j}) le point A\begin{pmatrix}\,1\\\,\frac{1}{3}\,\end{pmatrix} .
1. Soit \vec{u}\begin{pmatrix}\,-5\\\,4\,\end{pmatrix}, déterminer les coordonnées de B l’image de A par la translation de vecteur \vec{u}.
2. Donner les coordonnées de C l’image de A par la rotation de centre O et d’angle \frac{2\pi}{3}.

Exercice 14 :

On considère une suite (U_n\,) de matrices de dimension 2\,\times  \,1 telle que :

U_{n+1}=AU_n+B
avec

exercices sur les matrices

1.Déterminer une matrice X telle que AX + B = X.
2. Soit la suite (V_n\,) définie par V_n\,=\,U_n-\,X pour tout entier n.
Montrer que V_{n+l}\,=AV_n pour tout entier n.
3.En déduire l’expression de V_n, puis de U_n en fonction de n et A.

Corrigé des exercices de maths.

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