Matrices : exercices de maths en terminale spécialité corrigés.

Les matrices et les opérations à travers des exercices de maths en terminale spécialité corrigés. En complément, vous pouvez résoudre les exercices corrigés en terminale en PDF.

Exercice 1 – Puissance de matrices
Soit la matrice $A\,(\,\begin{matrix}\,1\,\,-1\,\\\,2\,3\,\end{matrix}\,\,)$ .

Calculer $A^2=A\times A.$

Exercice 2 – Somme et produit de matrices
Soient les matrices suivantes :

$A\,(\,\begin{matrix}\,1\,\,-1\,\\\,2\,3\,\end{matrix}\,\,)$ et $B\,(\,\begin{matrix}\,-4\,\,8\,\\\,2\,0\,\end{matrix}\,\,)$

1. Calculer la somme des matrices $A+B.$

2. Calculer le produit de matrices $AB.$

Exercice 3 – Calcul d’un produit
Soient les matrices suivantes :

$A\,(\,\begin{matrix}\,3\,\,0\,\\\,5\,0\,\end{matrix}\,\,)$ et $B\,(\,\begin{matrix}\,0\,\,0\,\\\,-2\,1\,\end{matrix}\,\,)$

Calculer le produit $AB.$

Exercice 4 :

1. Résoudre les systèmes suivants.

Nous allons voir comment déterminer les solutions de ces systèmes par calcul matriciel.
A. Représentation du système :
1. Déterminer deux matrices $M\,xy$ et B de dimension $2\,\times \,1$ telles que $(S_1)$ équivaut à $M_{x,y}\,=\,B$ .
2. Donner deux matrices A et X, de dimensions respectives $2\times \,2$ et $2\,\times \,1$ , telles que $M_{x,y}\,=\,AX$ .
3. En déduire que résoudre le système $(S_1)$ revient à résoudre l’équation AX= B, d’inconnue X.

B. Inverse de matrice et résolution matricielle
1. Dans l’équation 2x= 5, pourquoi multiplier les deux membres par $2^{-1}$ permet d’isoler $x$ ?
La matrice identité est :

On cherche à déterminer s’il existe une matrice :

telle que $AA^{-1}=I_2$ .

2. Montrer que trouver $A^{-1}$ revient à résoudre les systèmes :

3. Résoudre ces systèmes et en déduire A-1 (mettre les coefficients sous forme de fraction).
4. Exprimer les coefficients de $A^{-1}$ en fonction de ceux de A.
En déduire une formule afin de déterminer la matrice inverse d’une matrice.
5. Multiplier à gauche les deux membres de AX = B par $A^{-1}$ .

Retrouve-t-on les solutions de $(S_1)$ ?
6. De même, mettre le système $(S_2)$ sous la forme matricielle $CX=\,D$ .

Peut-on trouver $C^{-1}$ ? Pourquoi ?

Exercice 5 :

Soient les matrices suivantes :

Calculer AB.

Exercice 6 :

Soient les matrices A et B suivantes :

Calculer le produit AB.

Exercice 7 :

Soit $A=\,\begin{pmatrix}\,2\,\,3\\\,-1\,\,5\,\end{pmatrix}$ .

Montrer que A est inversible et déterminer $A^{-1}$ .

Exercice 8 :

Soient les matrices suivantes :

Montrer que B est l’inverse de A et en déduire les solutions de l’équation XA = C.

Exercice 9 :

1.Mettre le système :

$\{\begin{matrix}\,x+y+z=2\\\,2z-y=0\,\\\,3x+2z+4y=7\,\end{matrix}.$

sous forme d’équation matricielle en justifiant.

2. En déduire les solutions du système.

Exercice 10 :

1.Mettre le système :

$\{\begin{matrix}\,x-y+z=3\\\,x-z+y=-1\,\\\,y-x+z=5\,\end{matrix}.$

sous forme d’équation matricielle en justifiant.

2. En déduire les solutions du système.

Exercice 11 :

On considère une suite $(U_n\,)$ de matrices de dimension $2\,\times \,1$ telle que :

$U_{n+1}=AU_n+B$
avec

1.Déterminer une matrice X telle que AX + B = X.
2. Soit la suite $(V_n\,)$ définie par $V_n\,=\,U_n-\,X$ pour tout entier n.
Montrer que $V_{n+l}\,=AV_n$ pour tout entier n.
En déduire l’expression de $V_n$ , puis de $U_n$ en fonction de n et A.

Exercice 12 :

On considère, dans un plan muni d’un repère $(O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j})$ , le point $A(\sqrt{3};7)$ .
1. Soit $\vec{u}\begin{pmatrix}\,4\\\,-5\,\end{pmatrix}$ , déterminer les coordonnées de B, l’image de A par la translation de vecteur $\vec{u}$ .
2. Donner les coordonnées de C, l’image de A par la rotation de centre O et d’angle $\frac{\pi}{4}$ .

Exercice 13 :

On considère, dans un plan muni d’un repère $(O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j})$ le point $A\begin{pmatrix}\,1\\\,\frac{1}{3}\,\end{pmatrix}$ .
1. Soit $\vec{u}\begin{pmatrix}\,-5\\\,4\,\end{pmatrix}$ , déterminer les coordonnées de B l’image de A par la translation de vecteur $\vec{u}$ .
2. Donner les coordonnées de C l’image de A par la rotation de centre O et d’angle $\frac{2\pi}{3}$ .

Exercice 14 :

On considère une suite $(U_n\,)$ de matrices de dimension $2\,\times \,1$ telle que :

$U_{n+1}=AU_n+B$
avec

1.Déterminer une matrice X telle que AX + B = X.
2. Soit la suite $(V_n\,)$ définie par $V_n\,=\,U_n-\,X$ pour tout entier n.
Montrer que $V_{n+l}\,=AV_n$ pour tout entier n.
3.En déduire l’expression de $V_n$ , puis de $U_n$ en fonction de n et A.

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