Corrigé du bac S de maths 2013 en France (enseignement obligatoire)

Corrigé bac 2013 : la correction en un coup d’œil

Avant tout, ce corrigé bac 2013 reprend le bac S de mathématiques 2013 en France (enseignement obligatoire) et détaille la démarche attendue à chaque question. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants. Côté programme, il faut notamment maîtriser les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, la fonction logarithme népérien et les limites. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 60 minutes par exercice, relecture comprise. Par conséquent, la correction sert autant à contrôler un résultat qu’à apprendre la rédaction attendue le jour de l’examen.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Probabilités conditionnelles et loi binomiale – 5 points

Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres venant de trois horticulteurs : 35 % du premier (\(H_1\)), 25 % du deuxième (\(H_2\)) et le reste du troisième (\(H_3\)). La livraison de \(H_1\) comporte 80 % de conifères, celle de \(H_2\) 50 % et celle de \(H_3\) seulement 30 %. On choisit un arbre au hasard ; \(C\) désigne l’événement « l’arbre est un conifère » et \(F\) l’événement « l’arbre est un feuillu » (\(F=\overline{C}\)).

1. a. On demande l’arbre pondéré de la situation.

Le troisième horticulteur fournit \(1-0{,}35-0{,}25=0{,}40\) des arbres. Sur chaque branche secondaire on indique la probabilité conditionnelle correspondante.

En multipliant les probabilités le long de chaque chemin, on obtient les six probabilités d’intersection :

Chemin	Probabilité
\(H_1\cap C\)	\(0{,}35\times 0{,}8=0{,}28\)
\(H_1\cap F\)	\(0{,}35\times 0{,}2=0{,}07\)
\(H_2\cap C\)	\(0{,}25\times 0{,}5=0{,}125\)
\(H_2\cap F\)	\(0{,}25\times 0{,}5=0{,}125\)
\(H_3\cap C\)	\(0{,}40\times 0{,}3=0{,}12\)
\(H_3\cap F\)	\(0{,}40\times 0{,}7=0{,}28\)

1. b. On demande la probabilité que l’arbre soit un conifère acheté chez le troisième horticulteur.

\[P(H_3\cap C)=P(H_3)\times P_{H_3}(C)=0{,}40\times 0{,}3=0{,}12.\]

\(P(H_3\cap C)=0{,}12\).

Exercice 1 du corrigé bac 2013 : questions 1 à 2

1. c. On demande de justifier que \(P(C)=0{,}525\).

Les événements \(H_1\), \(H_2\), \(H_3\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

\[P(C)=P(H_1\cap C)+P(H_2\cap C)+P(H_3\cap C)=0{,}28+0{,}125+0{,}12=0{,}525.\]

\(P(C)=0{,}525\).

1. d. L’arbre choisi est un conifère ; on demande la probabilité qu’il vienne du premier horticulteur.

\[P_C(H_1)=\frac{P(H_1\cap C)}{P(C)}=\frac{0{,}28}{0{,}525}=\frac{8}{15}\approx 0{,}533.\]

\(P_C(H_1)=\frac{8}{15}\approx 0{,}533\).

2. On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock, assez important pour assimiler ce choix à dix tirages avec remise. On note \(X\) le nombre de conifères de l’échantillon.

2. a. On demande la loi de \(X\).

On répète 10 fois, de manière identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli dont le succès « l’arbre est un conifère » a pour probabilité \(p=P(C)=0{,}525\). \(X\) compte le nombre de succès : \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(10\,;0{,}525)\).

Remarque : le corrigé d’origine donnait comme paramètre \(0{,}533\), qui est \(P_C(H_1)\) et non la probabilité de tirer un conifère ; le bon paramètre est \(0{,}525\).

2. b. On demande la probabilité que l’échantillon compte exactement 5 conifères.

\[P(X=5)=\binom\,{10}{5}\times 0{,}525^5\times 0{,}475^5=252\times 0{,}525^5\times 0{,}475^5\approx 0{,}243.\]

\(P(X=5)\approx 0{,}243\) (à \(10^{-3}\) près).

2. c. On demande la probabilité que l’échantillon contienne au moins deux feuillus.

« Au moins 2 feuillus » équivaut à « au plus 8 conifères », soit \(X\leq\, 8\). On passe par l’événement contraire :

\[P(X\leq\, 8)=1-P(X=9)-P(X=10)=1-10\times 0{,}525^9\times 0{,}475-0{,}525^{10}.\]

Avec \(P(X=9)\approx 0{,}01439\) et \(P(X=10)\approx 0{,}00159\), on obtient \(P(X\leq\, 8)\approx 0{,}984\).

Exercice 2 :

Fonction logarithme, algorithme et intégrale – 7 points

Dans un repère orthonormé, on considère la courbe \(\mathcal{C}\) d’une fonction \(f\) définie et dérivable sur \(]0\,;+\infty[\), les points \(A(1\,;0)\), \(B(1\,;2)\) et \(C(0\,;2)\). La courbe passe par \(B\) et la droite \((BC)\) est tangente à \(\mathcal{C}\) en \(B\). On sait qu’il existe deux réels positifs \(a\) et \(b\) tels que \(f(x)=\frac{a+b\ln x}{x}\) pour tout \(x\gt 0\).

1. a. On demande \(f(1)\) et \(f^{\prime}(1)\) par lecture graphique.

\(B(1\,;2)\) est sur la courbe, donc \(f(1)=2\). La tangente en \(B\) est la droite \((BC)\), horizontale (d’équation \(y=2\)), donc son coefficient directeur est nul : \(f^{\prime}(1)=0\).

1. b. On demande l’expression de \(f^{\prime}(x)\) en fonction de \(a\) et \(b\).

On dérive le quotient \(\frac{u}{v}\) avec \(u(x)=a+b\ln x\), \(u^{\prime}(x)=\frac{b}{x}\), \(v(x)=x\), \(v^{\prime}(x)=1\) :

\[f^{\prime}(x)=\frac{\frac{b}{x}\times x-(a+b\ln x)\times 1}{x^2}=\frac{(b-a)-b\ln x}{x^2}.\]

1. c. On demande d’en déduire \(a\) et \(b\).

\(f(1)=\frac{a+b\ln 1}{1}=a\), donc \(a=2\). \(f^{\prime}(1)=\frac{(b-a)-b\ln 1}{1}=b-a\), donc \(b-a=0\) et \(b=2\).

Ainsi \(a=b=2\) et \(f(x)=\dfrac{2+2\ln x}{x}\).

Exercice 2 : questions 2 à 3

2. a. On demande de justifier que \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(-\ln x\).

D’après 1. b. avec \(a=b=2\) : \(f^{\prime}(x)=\frac{0-2\ln x}{x^2}=\frac{-2\ln x}{x^2}\). Comme \(\frac{2}{x^2}\gt 0\) pour tout \(x\gt 0\), \(f^{\prime}(x)\) a le même signe que \(-\ln x\).

2. b. On demande les limites de \(f\) en \(0\) et en \(+\infty\), et leur interprétation.

En \(0\) : \(\lim\limits_{x\to 0}\ln x=-\infty\), donc \(\lim\limits_{x\to 0}(2+2\ln x)=-\infty\) ; et \(\lim\limits_{x\to 0^+}x=0^+\). Par quotient, \(\lim\limits_{x\to 0}f(x)=-\infty\) : l’axe des ordonnées (droite \(x=0\)) est asymptote verticale à \(\mathcal{C}\).

En \(+\infty\) : on écrit \(f(x)=\frac{2}{x}+2\times \frac{\ln x}{x}\). Or \(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{2}{x}=0\) et, par croissances comparées, \(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\). Donc \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\) : l’axe des abscisses (droite \(y=0\)) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}\) en \(+\infty\).

2. c. On demande le tableau de variations de \(f\).

Sur \(]0\,;1[\), \(\ln x\lt 0\) donc \(f^{\prime}(x)\gt 0\) ; \(f^{\prime}(1)=0\) ; sur \(]1\,;+\infty[\), \(\ln x\gt 0\) donc \(f^{\prime}(x)\lt 0\).

\(x\)	\(0\)		\(1\)		\(+\infty\)
\(f^{\prime}(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(f(x)\)	\(-\infty\)	croissante	\(2\)	décroissante	\(0\)

\(f\) est strictement croissante sur \(]0\,;1]\) et strictement décroissante sur \([1\,;+\infty[\), avec un maximum \(f(1)=2\).

3. a. On demande de montrer que l’équation \(f(x)=1\) a une unique solution \(\alpha\) dans \(]0\,;1]\).

Sur \(]0\,;1]\), \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante ; elle prend ses valeurs dans \(]-\infty\,;2]\), intervalle qui contient \(1\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l’équation \(f(x)=1\) admet une unique solution \(\alpha\in\,]0\,;1]\) (et même \(\alpha\lt 1\) puisque \(f(1)=2\neq 1\)).

Exercice 2 du corrigé bac 2013 : questions 3 à 4

3. b. On admet que l’équation \(f(x)=1\) a une unique solution \(\beta\) dans \([1\,;+\infty[\). On demande l’entier \(n\) tel que \(n\leq\,\beta\lt n+1\).

(Justification rapide : sur \([1\,;+\infty[\), \(f\) est continue et strictement décroissante de \(2\) vers \(0\), et \(1\in\,]0\,;2]\).) À la calculatrice :

\[f(5)=\frac{2+2\ln 5}{5}\approx 1{,}044\gt 1\qquad f(6)=\frac{2+2\ln 6}{6}\approx 0{,}931\lt 1.\]

Comme \(f\) est décroissante sur \([5\,;6]\), \(5\lt\beta\lt 6\) : \(n=5\).

4. On considère l’algorithme suivant :

Variables : a, b, m réels
Initialisation : a prend la valeur 0
                 b prend la valeur 1
Traitement : Tant que b - a > 0,1
                m prend la valeur (a + b)/2
                Si f(m) < 1 alors a prend la valeur m
                Sinon b prend la valeur m
                Fin Si
             Fin Tant que
Sortie : Afficher a
         Afficher b

4. a. On demande de faire tourner l’algorithme (valeurs arrondies à \(10^{-3}\) près si besoin pour \(f(m)\)).

Chaque colonne indique l’étape, la valeur de \(m\) calculée, le signe de la comparaison et les valeurs de \(a\), \(b\) et \(b-a\) à la fin de l’étape.

Étape	1	2	3	4
\(m\)	\(0{,}5\)	\(0{,}25\)	\(0{,}375\)	\(0{,}4375\)
\(f(m)\)	\(\approx 1{,}227\gt 1\)	\(\approx -3{,}090\lt 1\)	\(\approx 0{,}102\lt 1\)	\(\approx 0{,}792\lt 1\)
\(a\)	\(0\)	\(0{,}25\)	\(0{,}375\)	\(0{,}4375\)
\(b\)	\(0{,}5\)	\(0{,}5\)	\(0{,}5\)	\(0{,}5\)
\(b-a\)	\(0{,}5\)	\(0{,}25\)	\(0{,}125\)	\(0{,}0625\)

Au départ \(a=0\), \(b=1\), \(b-a=1\). Après l’étape 4, \(b-a=0{,}0625\leq\, 0{,}1\) : la boucle s’arrête et l’algorithme affiche \(a=0{,}4375\) et \(b=0{,}5\).

Exercice 2 : question 4

Remarque : le corrigé d’origine ajoutait une cinquième colonne avec \(m=0{,}46875\) ; cette valeur n’est jamais calculée, car la condition \(b-a\gt 0{,}1\) n’est plus vérifiée après la quatrième étape.

4. b. On demande ce que représentent les valeurs affichées.

À chaque étape, on garde \(f(a)\lt 1\leq\, f(b)\) (au départ \(f(0)\) n’est pas défini, mais \(f\) tend vers \(-\infty\) en \(0\)) ; comme \(f\) est croissante sur \(]0\,;1]\), on a toujours \(a\leq\,\alpha\leq\, b\). L’algorithme affiche donc un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude inférieure ou égale à \(0{,}1\) : \(0{,}4375\leq\,\alpha\leq\, 0{,}5\).

4. c. On demande de modifier l’algorithme pour obtenir un encadrement de \(\beta\) d’amplitude \(0{,}1\).

On part de l’intervalle \([5\,;6]\) trouvé au 3. b. Sur cet intervalle \(f\) est décroissante : si \(f(m)\gt 1\), alors \(\beta\) est à droite de \(m\), il faut donc remplacer \(a\) par \(m\) ; sinon on remplace \(b\) par \(m\).

Initialisation : a prend la valeur 5
                 b prend la valeur 6
Traitement : Tant que b - a > 0,1
                m prend la valeur (a + b)/2
                Si f(m) > 1 alors a prend la valeur m
                Sinon b prend la valeur m
                Fin Si
             Fin Tant que
Sortie : Afficher a
         Afficher b

Exercice 2 du corrigé bac 2013 : question 5

5. a. On demande de démontrer que la courbe \(\mathcal{C}\) partage le rectangle \(OABC\) en deux domaines d’aires égales. On note \(E\) le point d’intersection de \(\mathcal{C}\) avec l’axe des abscisses.

\(f(x)=0\iff 2+2\ln x=0\iff\ln x=-1\iff x=\mathrm{e}^{-1}\). Donc \(E(\mathrm{e}^{-1}\,;0)\).

Sur \([\mathrm{e}^{-1}\,;1]\), \(f\) est croissante de \(0\) à \(2\), donc \(0\leq\, f(x)\leq\, 2\) : la portion de courbe de \(E\) à \(B\) reste dans le rectangle. Elle découpe celui-ci en deux domaines : le « triangle curviligne » \(EAB\), limité par la courbe, l’axe des abscisses et la droite \(x=1\), et le reste du rectangle.

Le rectangle \(OABC\) a pour aire \(1\times 2=2\) unités d’aire. Comme \(f\geq\, 0\) sur \([\mathrm{e}^{-1}\,;1]\), l’aire du domaine \(EAB\) vaut \(\displaystyle\int_{\mathrm{e}^{-1}}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x\). Il suffit donc de montrer que

\[\int_{\mathrm{e}^{-1}}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x=1,\]

l’autre domaine ayant alors pour aire \(2-1=1\), elle aussi.

5. b. On demande de calculer cette intégrale.

On écrit \(f(x)=\frac{2}{x}+2\times \frac{1}{x}\times \ln x\). Une primitive de \(\frac{2}{x}\) est \(2\ln x\) ; \(\frac{1}{x}\ln x\) est de la forme \(u^{\prime}u\) avec \(u=\ln\), donc une primitive de \(2\times \frac{1}{x}\ln x\) est \((\ln x)^2\). Une primitive de \(f\) sur \(]0\,;+\infty[\) est donc \(F(x)=2\ln x+(\ln x)^2\).

\[\int_{\mathrm{e}^{-1}}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x=F(1)-F(\mathrm{e}^{-1})=(0+0)-(2\times (-1)+(-1)^2)=0-(-1)=1.\]

L’aire du domaine \(EAB\) vaut 1 unité d’aire, soit la moitié de l’aire du rectangle : la courbe partage bien le rectangle \(OABC\) en deux domaines de même aire.

Exercice 3 :

Vrai ou faux : complexes et géométrie dans l’espace – 4 points

Pour chaque proposition, on indique si elle est vraie ou fausse, avec une justification.

Proposition 1. Dans le plan complexe, l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que \(|z-\mathrm{i}|=|z+1|\) est une droite.

Soit \(A\) le point d’affixe \(\mathrm{i}\) et \(B\) le point d’affixe \(-1\). Alors \(|z-\mathrm{i}|=AM\) et \(|z+1|=|z-(-1)|=BM\). La condition s’écrit \(AM=BM\) : \(M\) est équidistant de \(A\) et \(B\), c’est-à-dire que \(M\) appartient à la médiatrice du segment \([AB]\), qui est une droite (ici la droite d’équation \(y=-x\)). Proposition 1 vraie.

Proposition 2. Le nombre \((1+\mathrm{i}\sqrt{3})^4\) est un nombre réel.

\(|1+\mathrm{i}\sqrt{3}|=\sqrt{1+3}=2\), donc \(1+\mathrm{i}\sqrt{3}=2(\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2})=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}\). Alors :

\[(1+\mathrm{i}\sqrt{3})^4=16\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{4\pi}{3}}=16(-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2})=-8-8\sqrt{3}\,\mathrm{i}.\]

Sa partie imaginaire \(-8\sqrt{3}\) n’est pas nulle (un argument \(\frac{4\pi}{3}\) n’est pas un multiple de \(\pi\)) : ce nombre n’est pas réel. Proposition 2 fausse.

Proposition 3. \(ABCDEFGH\) est un cube. Les droites \((EC)\) et \((BG)\) sont orthogonales.

On se place dans le repère orthonormé \((A\,;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE})\) : \(B(1\,;0\,;0)\), \(C(1\,;1\,;0)\), \(E(0\,;0\,;1)\), \(G(1\,;1\,;1)\). Donc \(\vec{EC}(1\,;1\,;-1)\) et \(\vec{BG}(0\,;1\,;1)\), puis

\[\vec{EC}\cdot\vec{BG}=1\times 0+1\times 1+(-1)\times 1=0.\]

Les vecteurs directeurs sont orthogonaux, donc les droites sont orthogonales. Proposition 3 vraie.

Proposition 4. Dans un repère orthonormé de l’espace, \(\mathcal{P}\) est un plan de vecteur normal \(\vec{n}(1\,;1\,;3)\) et \(S\) le point \((1\,;-2\,;-2)\). La droite passant par \(S\) et perpendiculaire à \(\mathcal{P}\) admet pour représentation paramétrique \(x=2+t\), \(y=-1+t\), \(z=1+3t\), \(t\in\mathbb{R}\).

Une droite perpendiculaire à \(\mathcal{P}\) est dirigée par un vecteur normal à \(\mathcal{P}\). La représentation proposée a pour vecteur directeur \((1\,;1\,;3)=\vec{n}\) : la direction convient. Pour \(t=-1\), on obtient \(x=1\), \(y=-2\), \(z=1-3=-2\) : c’est le point \(S\), qui appartient donc à la droite. Proposition 4 vraie.

Exercice 4 :

Suites, récurrence et limite d’une somme – 5 points, candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\frac{2}{3}u_n+\frac{1}{3}n+1\).

1. a. On demande \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) et \(u_4\) (valeurs exactes).

\(u_1=\frac{2}{3}\times 2+0+1=\frac{7}{3}\) ; \(u_2=\frac{2}{3}\times \frac{7}{3}+\frac{1}{3}+1=\frac{14}{9}+\frac{12}{9}=\frac{26}{9}\) ;

\(u_3=\frac{2}{3}\times \frac{26}{9}+\frac{2}{3}+1=\frac{52}{27}+\frac{45}{27}=\frac{97}{27}\) ; \(u_4=\frac{2}{3}\times \frac{97}{27}+1+1=\frac{194}{81}+\frac{162}{81}=\frac{356}{81}\).

\(u_1=\frac{7}{3}\), \(u_2=\frac{26}{9}\), \(u_3=\frac{97}{27}\), \(u_4=\frac{356}{81}\).

1. b. On demande une conjecture sur le sens de variation.

\(u_0=2\approx 2\), \(u_1\approx 2{,}33\), \(u_2\approx 2{,}89\), \(u_3\approx 3{,}59\), \(u_4\approx 4{,}40\) : la suite semble croissante.

2. a. On demande de démontrer par récurrence que \(u_n\leq\, n+3\) pour tout entier naturel \(n\).

Initialisation. \(u_0=2\leq\, 0+3\) : la propriété est vraie au rang 0.

Hérédité. Supposons \(u_n\leq\, n+3\) pour un entier \(n\) fixé. En multipliant par \(\frac{2}{3}\gt 0\) puis en ajoutant \(\frac{1}{3}n+1\) :

\[u_{n+1}=\frac{2}{3}u_n+\frac{1}{3}n+1\leq\,\frac{2}{3}(n+3)+\frac{1}{3}n+1=\frac{2}{3}n+2+\frac{1}{3}n+1=n+3.\]

Or \(n+3\leq\, n+4=(n+1)+3\), donc \(u_{n+1}\leq\,(n+1)+3\) : la propriété est vraie au rang \(n+1\).

Conclusion. Par récurrence, \(u_n\leq\, n+3\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

2. b. On demande de démontrer que \(u_{n+1}-u_n=\frac{1}{3}(n+3-u_n)\).

\[u_{n+1}-u_n=\frac{2}{3}u_n+\frac{1}{3}n+1-u_n=-\frac{1}{3}u_n+\frac{1}{3}n+\frac{3}{3}=\frac{1}{3}(n+3-u_n).\]

2. c. On demande d’en déduire une validation de la conjecture.

D’après 2. a., \(n+3-u_n\geq\, 0\) pour tout \(n\) ; d’après 2. b., \(u_{n+1}-u_n=\frac{1}{3}(n+3-u_n)\geq\, 0\). La suite \((u_n)\) est croissante, ce qui confirme la conjecture.

Exercice 4 : questions 3 à 4

3. On pose \(v_n=u_n-n\) pour tout entier naturel \(n\).

3. a. On demande de démontrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac{2}{3}\).

\[v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)=\frac{2}{3}u_n+\frac{1}{3}n+1-n-1=\frac{2}{3}u_n-\frac{2}{3}n=\frac{2}{3}(u_n-n)=\frac{2}{3}v_n.\]

\((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac{2}{3}\), de premier terme \(v_0=u_0-0=2\).

3. b. On demande d’en déduire que \(u_n=2(\frac{2}{3})^n+n\).

Pour tout \(n\), \(v_n=v_0\times (\frac{2}{3})^n=2(\frac{2}{3})^n\), et \(u_n=v_n+n\), donc \(u_n=2(\frac{2}{3})^n+n\).

3. c. On demande la limite de \((u_n)\).

Comme \(-1\lt\frac{2}{3}\lt 1\), \(\lim\limits_{n\to+\infty}(\frac{2}{3})^n=0\) ; et \(\lim\limits_{n\to+\infty}n=+\infty\). Par somme, \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty\).

4. Pour tout entier naturel non nul \(n\), on pose \(S_n=\sum\limits_{k=0}^{n}u_k=u_0+u_1+\cdots+u_n\) et \(T_n=\frac{S_n}{n^2}\).

4. a. On demande l’expression de \(S_n\) en fonction de \(n\).

\[S_n=\sum_{k=0}^{n}(2(\frac{2}{3})^k+k)=2\sum_{k=0}^{n}(\frac{2}{3})^k+\sum_{k=0}^{n}k.\]

La première somme est celle des \(n+1\) premiers termes d’une suite géométrique de raison \(\frac{2}{3}\neq 1\) et de premier terme 1 ; la seconde est la somme des entiers de 0 à \(n\) :

\[S_n=2\times \frac{1-(\frac{2}{3})^{n+1}}{1-\frac{2}{3}}+\frac{n(n+1)}{2}=6(1-(\frac{2}{3})^{n+1})+\frac{n(n+1)}{2}.\]

Vérification pour \(n=1\) : \(S_1=u_0+u_1=2+\frac{7}{3}=\frac{13}{3}\) et \(6(1-\frac{4}{9})+1=\frac{10}{3}+1=\frac{13}{3}\).

4. b. On demande la limite de \((T_n)\).

\[T_n=\frac{6(1-(\frac{2}{3})^{n+1})}{n^2}+\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac{6(1-(\frac{2}{3})^{n+1})}{n^2}+\frac{1}{2}(1+\frac{1}{n}).\]

Comme \(\lim(\frac{2}{3})^{n+1}=0\), le numérateur du premier terme tend vers 6, et \(\lim n^2=+\infty\) : le premier terme tend vers 0. Le second tend vers \(\frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{2}\). Donc \(\lim\limits_{n\to+\infty}T_n=\frac{1}{2}\).

Corrigé bac 2013 : conseils de révision

Tout d’abord, travaillez l’énoncé du sujet en temps limité, sans ouvrir la correction. Ensuite, relisez la correction question par question et soulignez les arguments qui manquaient dans votre copie. Par ailleurs, faites la liste des points de cours à revoir ; ici, ce sera souvent les probabilités conditionnelles et la loi binomiale. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à probabilités conditionnelles propose un rappel complet.

Points de vigilance

• En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
• Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
• Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.

Corrigé bac 2013 : vos questions

Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et la fonction logarithme népérien, mais aussi les limites.

Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.