Produit scalaire : le produit scalaire : cours de maths en terminale

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Produit scalaire : cette propriété : cours de maths en terminale en PDF.

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L’essentiel : Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls vaut $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times \|\vec{v}\|\times \cos\theta$, où $\theta$ est leur angle ; en repère orthonormé du plan, il vaut $xx’+yy’$. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Il est symétrique et bilinéaire.

I. Différentes expressions du produit scalaire :

1. Vecteurs colinéaires :

Définition :

soient $\vec{u} – produit scalaire$ et $\vec{v} – produit scalaire$ deux vecteurs colinéaires non nuls, tels que

$\vec{u}=\vec{OA} – produit scalaire$ et $\vec{v}=\vec{OB}$ .

De même, • Si $\vec{u} – produit scalaire$ et $\vec{v}$ sont de même sens : $\vec{u}.\vec{v}=OA\times OB – produit scalaire$ .

• Si $\vec{u} – produit scalaire$ et $\vec{u} – produit scalaire$ sont de sens contraires : $\vec{u}.\vec{v}=OA\times OB – produit scalaire$ .

• Si $\vec{u}=\vec{0} – produit scalaire$ ou $\vec{v}=\vec{0}$ alors $\vec{u}.\vec{v}=0 – produit scalaire$ .

Puis, • $\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||$ est le carré scalaire du vecteur $\vec{u} – produit scalaire$

2. Vecteurs quelconques :

Propriété 1 :

Soient $\vec{u} – produit scalaire$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls tels que

$\vec{u}=\vec{OA} – produit scalaire$ et $\vec{v}=\vec{OB}$ .

Alors :

$\fbox{\vec{u}.\vec{v}=OA\,#039;\times OB=OA\times OB\,#039;} – produit scalaire$ .

A’ et B’ sont respectivement les projetés orthogonaux de A sur (OB) et de B sur (OA).

3. Propriétés :

Propriété 2 :

Soient (x;y) et (x’;y’) les coordonnées respectives des vecteurs $\vec{u} – produit scalaire$ et $\vec{v} – produit scalaire$ dans un repere orthonormé quelconque.
$\fbox{\vec{u}.\vec{v}\,=\,x.x'+y.y'} – produit scalaire$ .

II. Produit scalaire et orthogonalité :

Définition :

Dire que $\vec{u} – produit scalaire$ et $\vec{v} – produit scalaire$ sont deux vecteurs orthogonaux signifie que :

• Soit $\vec{u}=\vec{0} – produit scalaire$ ou $\vec{v}=\vec{0} – produit scalaire$ ;

• Soit (OA) $\perp$ (OB), avec $\vec{u}=\vec{OA} – produit scalaire$ et $\vec{v}=\vec{OB}$ non nuls.

2. Propriété :

Propriété :

$\fbox{\vec{u}\perp\vec{v}\,\,\Longleftrightarrow\,\,\vec{u}.\vec{v}=0}$ .

III. Propriétés du produit scalaire :

Propriétés générales :

Règles à connaître :

Soient $\vec{u}\,,\,\vec{v},\,\vec{w} – produit scalaire$ trois vecteurs et k un nombre réel.

Après cela, • $\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}$ (symétrie).

De même, • $(k\vec{u}).\vec{v}=\vec{u}.(k\vec{v})=k(\vec{u}.\vec{v}) – produit scalaire$ (linéarité)

• $(\vec{u}+\vec{v}).\vec{w}=\vec{u}.\vec{w}+\vec{v}.\vec{w}$ (linéarité)

Aussi, • $\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w} – produit scalaire$ (linéarité)

• $(\vec{u}+\vec{v})^2=\vec{u}^2+2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2$ (identité remarquable)

Enfin, • $(\vec{u}-\vec{v})^2=\vec{u}^2-2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2 – produit scalaire$ (identité remarquable)

• $(\vec{u}-\vec{v})(\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}^2-\vec{v}^2$ (identité remarquable)

IV. Applications du produit scalaire :

1. produit scalaire et cosinus :

Propriété :

Soit $\vec{u} – produit scalaire$ et $\vec{v} – produit scalaire$ non nuls.

$\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times cos(\vec{u},\vec{v}) – produit scalaire$

2. Théorème d’Al-Kashi :

Théorème :

Soit ABC un triangle tel que AB=c, AC=b et BC=a.

De plus, on a :

• $a^2\,=\,b^2+c^2-2bc\times cosA$

Puis, • $b^2\,=\,a^2+c^2-2ac\times cosB – produit scalaire$

• $c^2\,=\,a^2+b^2-2ab\times cosC$

3. Théorème de la médiane :

Théorème :

Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB] .

Ensuite, pour tout point M, :

$\fbox{ MA^2\,+MB^2\,=\,2MI^2\,+\,\frac{AB^2}{2}}$

Produit scalaire : nos conseils pour progresser

D’abord, lis la leçon une première fois sans prendre de notes. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. De plus, un travail régulier sur ce point vaut mieux qu’une longue séance.

Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page dédiée à cette notion sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec la fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF.

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