cours maths terminale

Mis à jour le 16 mai 2025

Le produit scalaire : cours de maths en terminale en PDF.

16 mai 2025 par webmaster

Sommaire

Le produit scalaire dans le plan dans un cours de maths en terminale et dans l’espace.
Cette leçon sur le produit scalaire est à télécharger en PDF gratuitement afin de progresser et développer vos compétences en classe de terminale.

I. Différentes expressions du produit scalaire :

1. Vecteurs colinéaires :

Définition :

soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs colinéaires non nuls, tels que

$\vec{u}=\vec{OA}$ et $\vec{v}=\vec{OB}$ .

• Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont de même sens : $\vec{u}.\vec{v}=OA\times OB$ .

• Si $\vec{u}$ et $\vec{u}$ sont de sens contraires : $\vec{u}.\vec{v}=OA\times OB$ .

• Si $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$ alors $\vec{u}.\vec{v}=0$ .

• $\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||$ est le carré scalaire du vecteur $\vec{u}$

2. Vecteurs quelconques :

Propriété 1 :

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls tels que

$\vec{u}=\vec{OA}$ et $\vec{v}=\vec{OB}$ .

Alors :

$\fbox{\vec{u}.\vec{v}=OA'\times OB=OA\times OB'}$ .

A’ et B’ sont respectivement les projetés orthogonaux de A sur (OB) et de B sur (OA).

3. Propriétés :

Propriété 2 :

Soient (x;y) et (x’;y’) les coordonnées respectives des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans un repere orthonormé quelconque.
$\fbox{\vec{u}.\vec{v}\,=\,x.x'+y.y'}$ .

II. Produit scalaire et orthogonalité :

Définition :

Dire que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs orthogonaux signifie que :

• Soit $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$ ;

• Soit (OA) $\perp$ (OB), avec $\vec{u}=\vec{OA}$ et $\vec{v}=\vec{OB}$ non nuls.

2. Propriété :

Propriété :

$\fbox{\vec{u}\perp\vec{v}\,\,\Longleftrightarrow\,\,\vec{u}.\vec{v}=0}$

.

III. Propriétés du produit scalaire :

Propriétés :

Propriétés :

Soient $,\vec{u}\,,\,\vec{v},\,\vec{w}$ trois vecteurs et k un nombre réel.

• $\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}$ (symétrie).

• $(k\vec{u}).\vec{v}=\vec{u}.(k\vec{v})=k(\vec{u}.\vec{v})$ (linéarité)

• $(\vec{u}+\vec{v}).\vec{w}=\vec{u}.\vec{w}+\vec{v}.\vec{w}$ (linéarité)

• $\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}$ (linéarité)

• $(\vec{u}+\vec{v})^2=\vec{u}^2+2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2$ (identité remarquable)

• $(\vec{u}-\vec{v})^2=\vec{u}^2-2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2$ (identité remarquable)

• $(\vec{u}-\vec{v})(\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}^2-\vec{v}^2$ (identité remarquable)

IV. Applications du produit scalaire :

1. produit scalaire et cosinus :

Propriété :

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls.

$\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times cos(\vec{u},\vec{v})$

2. Théorème d’Al-Kashi :

Théorème :

Soit ABC un triangle tel que AB=c, AC=b et BC=a.

On a :

• $a^2\,=\,b^2+c^2-2bc\times cosA$

• $b^2\,=\,a^2+c^2-2ac\times cosB$

• $c^2\,=\,a^2+b^2-2ab\times cosC$

3. Théorème de la médiane :

Théorème :

Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB] .

Pour tout point M, :

$\fbox{ MA^2\,+MB^2\,=\,2MI^2\,+\,\frac{AB^2}{2}}$

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