Le produit scalaire : cours de maths en terminale S

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Le produit scalaire dans le plan dans un cours de maths en terminale S et dans l’espace.
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I. Différentes expressions du produit scalaire :

1. Vecteurs colinéaires :

Définition :

soient  \vec{u} et  \vec{v} deux vecteurs colinéaires non nuls, tels que

 \vec{u}=\vec{OA} et \vec{v}=\vec{OB}.

• Si  \vec{u} et \vec{v} sont de même sens :  \vec{u}.\vec{v}=OA\times   OB .

• Si  \vec{u} et  \vec{u} sont de sens contraires :  \vec{u}.\vec{v}=OA\times   OB.

• Si  \vec{u}=\vec{0} ou \vec{v}=\vec{0} alors \vec{u}.\vec{v}=0.

 \vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}|| est le carré scalaire du vecteur  \vec{u}

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2. Vecteurs quelconques :

Propriété 1 :

Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls tels que

 \vec{u}=\vec{OA} et  \vec{v}=\vec{OB}.

Alors :

 \fbox{\vec{u}.\vec{v}=OA'\times   OB=OA\times   OB'} .

A’ et B’ sont respectivement les projetés orthogonaux de A sur (OB) et de B sur (OA).

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3. Propriétés :

Propriété 2 :

Soient (x;y) et (x’;y’) les coordonnées respectives des vecteurs  \vec{u} et  \vec{v} dans un repere orthonormé quelconque.
 \fbox{\vec{u}.\vec{v}\,=\,x.x'+y.y'} .

II. Produit scalaire et orthogonalité :

Définition :

Dire que  \vec{u} et  \vec{v} sont deux vecteurs orthogonaux signifie que :

• Soit  \vec{u}=\vec{0} ou  \vec{v}=\vec{0};

• Soit (OA)\perp(OB), avec  \vec{u}=\vec{OA} et  \vec{v}=\vec{OB} non nuls.

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2. Propriété :

Propriété :
 \fbox{\vec{u}\perp\vec{v}\,\,\Longleftrightarrow\,\,\vec{u}.\vec{v}=0} .

III. Propriétés du produit scalaire :

Propriétés :

Propriétés :

Soient ,\vec{u}\,,\,\vec{v},\,\vec{w} trois vecteurs et k un nombre réel.

\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u} (symétrie).

(k\vec{u}).\vec{v}=\vec{u}.(k\vec{v})=k(\vec{u}.\vec{v}) (linéarité)

(\vec{u}+\vec{v}).\vec{w}=\vec{u}.\vec{w}+\vec{v}.\vec{w} (linéarité)

\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w} (linéarité)

(\vec{u}+\vec{v})^2=\vec{u}^2+2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2 (identité remarquable)

(\vec{u}-\vec{v})^2=\vec{u}^2-2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2 (identité remarquable)

(\vec{u}-\vec{v})(\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}^2-\vec{v}^2 (identité remarquable)

IV. Applications du produit scalaire :

1. produit scalaire et cosinus :

Propriété :

Soit  \vec{u} et  \vec{v} non nuls.

 \vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times   ||\vec{v}||\times   cos(\vec{u},\vec{v})

2. Théorème d’Al-Kashi :

Théorème :

Soit ABC un triangle tel que AB=c, AC=b et BC=a.

On a :

 a^2\,=\,b^2+c^2-2bc\times   cosA

 b^2\,=\,a^2+c^2-2ac\times   cosB

c^2\,=\,a^2+b^2-2ab\times   cosC

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3. Théorème de la médiane :

Théorème :

Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB] .

Pour tout point M, :

\fbox{ MA^2\,+MB^2\,=\,2MI^2\,+\,\frac{AB^2}{2}}

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