Bac 2021 Nord : sujet de maths et corrigé

Sommaire

En outre, Voici le sujet du bac de spécialité mathématiques 2021 d’Amérique du Nord (session de mai 2021), accompagné de son corrigé détaillé rédigé question par question sur une page dédiée. Le candidat traite les trois exercices communs puis choisit entre l’exercice A et l’exercice B. Le premier évalue un nouveau test anti-dopage : arbre pondéré, probabilité conditionnelle, puis loi binomiale et nombre minimal d’athlètes à contrôler. Le deuxième suit la population d’une espèce animale d’une île du Pacifique grâce à une suite récurrente, avec récurrence, limite et fonction Python. Le troisième se déroule dans un cube puis avec des droites et un plan de l’espace. Ensuite, l’exercice A propose cinq affirmations vrai-faux sur l’exponentielle, l’exercice B l’étude d’une fonction logarithme et de son point d’inflexion.

Par ailleurs, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2021 en Amérique du Nord.

De plus, Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

Bac 2021 Nord : organisation de l’épreuve

Tout d’abord, ce bac 2021 Nord correspond à l’épreuve de spécialité mathématiques 2021 en Amérique du Nord, reproduit ici avec son énoncé complet. En effet, l’épreuve se compose de 5 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. De plus, on y mobilise surtout les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, le raisonnement par récurrence et les limites. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 48 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. De cette façon, vous travaillez exactement le format de l’examen, sans surprise le jour J.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2021
Mathématiques
Amérique du Nord — mai 2021
Durée de l’épreuve : 4 heures

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Les probabilités demandées dans cet exercice seront arrondies à \(10^{-3}\).

Un laboratoire pharmaceutique vient d’élaborer un nouveau test anti-dopage.

Partie A

Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants :

si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif est \(0{,}98\) (sensibilité du test) ;
si un athlète n’est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit négatif est \(0{,}995\) (spécificité du test).

On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des participants à une compétition d’athlétisme.

Ensuite, on note \(D\) l’évènement « l’athlète est dopé » et \(T\) l’évènement « le test est positif ».

On admet que la probabilité de l’évènement \(D\) est égale à \(0{,}08\).

1. Traduire la situation sous la forme d’un arbre pondéré.

2. Démontrer que \(P(T)=0{,}083\).

3. a. Sachant qu’un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité qu’il soit dopé ?

b. Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de l’évènement « un athlète présentant un test positif est dopé » est supérieure ou égale à \(0{,}95\).

Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé ? Justifier.

Partie B

Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu’un athlète contrôlé présente un test positif est \(0{,}103\).

1. Dans cette question 1., on suppose que les organisateurs décident de contrôler 5 athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition.

On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre d’athlètes présentant un test positif parmi les 5 athlètes contrôlés.

a. Donner la loi suivie par la variable aléatoire \(X\). Préciser ses paramètres.

b. Calculer l’espérance \(E(X)\) et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

c. Quelle est la probabilité qu’au moins un des 5 athlètes contrôlés présente un test positif ?

2. Combien d’athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la probabilité de l’évènement « au moins un athlète contrôlé présente un test positif » soit supérieure ou égale à \(0{,}75\) ? Justifier.

Exercice 2 (5 points)

Un biologiste s’intéresse à l’évolution de la population d’une espèce animale sur une île du Pacifique.

Au début de l’année 2020, cette population comptait 600 individus. On considère que l’espèce sera menacée d’extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à 20 individus.

Le biologiste modélise le nombre d’individus par la suite \((u_n)\) définie par :

\[\{\begin{array}{l}u_0=0{,}6\\u_{n+1}=0{,}75\,u_n(1-0{,}15\,u_n)\end{array}.\]

où pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) désigne le nombre d’individus, en milliers, au début de l’année \(2020+n\).

1. Estimer, selon ce modèle, le nombre d’individus présents sur l’île au début de l’année 2021 puis au début de l’année 2022.

Soit \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \([0~;~1]\) par

\[f(x)=0{,}75x\,(1-0{,}15x).\]

2. Montrer que la fonction \(f\) est croissante sur l’intervalle \([0~;~1]\) et dresser son tableau de variations.

3. Résoudre dans l’intervalle \([0~;~1]\) l’équation \(f(x)=x\).

On remarquera pour la suite de l’exercice que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=f(u_n)\).

4. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(0\leq\, u_{n+1}\leq\, u_n\leq\, 1\).

b. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

c. Déterminer la limite \(\ell\) de la suite \((u_n)\).

Exercice 2 du bac 2021 Nord : question 5

5. Le biologiste a l’intuition que l’espèce sera tôt ou tard menacée d’extinction.

a. Justifier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.

b. Le biologiste a programmé en langage Python la fonction menace() ci-dessous :

def menace() :
    u = 0,6
    n = 0
    while u > 0,02 :
        u = 0,75*u*(1-0,15*u)
        n = n+1
    return n

Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu’on appelle la fonction menace().

Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Les questions 1. à 5. de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante

On considère un cube ABCDEFGH. Le point I est le milieu du segment [EF], le point J est le milieu du segment [BC] et le point K est le milieu du segment [AE].

1. Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé \((\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AD}},~\vec{\text{AE}})\).

2. a. Donner les coordonnées des points I et J.

b. Montrer que les vecteurs \(\vec{\text{IJ}}\), \(\vec{\text{AE}}\) et \(\vec{\text{AC}}\) sont coplanaires.

On considère le plan \(\mathcal{P}\) d’équation \(x+3y-2z+2=0\) ainsi que les droites \(d_1\) et \(d_2\) définies par les représentations paramétriques ci-dessous :

\[d_1 : \{\begin{array}{l}x=3+t\\y=8-2t\\z=-2+3t\end{array}.,\ t\in\mathbb{R}\quad\text{et}\quad d_2 : \{\begin{array}{l}x=4+t\\y=1+t\\z=8+2t\end{array}.,\ t\in\mathbb{R}.\]

3. Les droites \(d_1\) et \(d_2\) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

4. Montrer que la droite \(d_2\) est parallèle au plan \(\mathcal{P}\).

5. Montrer que le point \(\text{L}(4~;~0~;~3)\) est le projeté orthogonal du point \(\text{M}(5~;~3~;~1)\) sur le plan \(\mathcal{P}\).

Exercice au choix du candidat

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Exercice A (5 points)

Principaux domaines abordés : Fonction exponentielle. Convexité.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

On justifiera chaque réponse.

Affirmation 1 : Pour tous réels \(a\) et \(b\), \((\text{e}^{a+b})^2=\text{e}^{2a}+\text{e}^{2b}\).

Par ailleurs, Affirmation 2 : Dans le plan muni d’un repère, la tangente au point A d’abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=-2+(3-x)\text{e}^x\) admet pour équation réduite \(y=2x+1\).

Affirmation 3 : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(\text{e}^{2x}-\text{e}^{x}+\dfrac{3}{x})=0\).

Affirmation 4 : L’équation \(1-x+\text{e}^{-x}=0\) admet une seule solution appartenant à l’intervalle \([0~;~2]\).

De plus, Affirmation 5 : La fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=x^2-5x+\text{e}^x\) est convexe.

Exercice B (5 points)

Principaux domaines abordés : Fonction logarithme népérien. Convexité.

Dans le plan muni d’un repère, on considère ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}_f\) représentative d’une fonction \(f\), deux fois dérivable sur l’intervalle \(]0~;~+\infty[\).

La courbe \(\mathcal{C}_f\) admet une tangente horizontale \(T\) au point \(\text{A}(1~;~4)\).

1. Préciser les valeurs \(f(1)\) et \(f^{\prime}(1)\).

On admet que la fonction \(f\) est définie pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]0~;~+\infty[\) par :

\[f(x)=\dfrac{a+b\ln x}{x}\quad\text{où } a \text{ et } b \text{ sont deux nombres réels.}\]

2. Démontrer que, pour tout réel \(x\) strictement positif, on a :

\[f^{\prime}(x)=\dfrac{b-a-b\ln x}{x^2}.\]

3. En déduire les valeurs des réels \(a\) et \(b\).

Dans la suite de l’exercice, on admet que la fonction \(f\) est définie pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]0~;~+\infty[\) par :

\[f(x)=\dfrac{4+4\ln x}{x}.\]

4. Déterminer les limites de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).

5. Déterminer le tableau de variations de \(f\) sur l’intervalle \(]0~;~+\infty[\).

6. Démontrer que, pour tout réel \(x\) strictement positif, on a :

\[f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{-4+8\ln x}{x^3}.\]

7. Montrer que la courbe \(\mathcal{C}_f\) possède un unique point d’inflexion B dont on précisera les coordonnées.

Comment réviser avec ce bac 2021 Nord

D’abord, imprimez le sujet ou gardez-le à l’écran et traitez les exercices dans l’ordre qui vous convient, en temps limité. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment les probabilités conditionnelles ou la loi binomiale, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur probabilités conditionnelles.

Les pièges classiques

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Dans une récurrence, écrivez clairement l’hypothèse au rang n avant l’hérédité ; une initialisation oubliée coûte des points faciles.

Bac 2021 Nord : questions fréquentes

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et le raisonnement par récurrence, mais aussi les limites.

Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2021 en Amérique du Nord

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