Bac 2021 Polynésie : sujet de maths et corrigé

Sommaire

En outre, Voici le sujet du bac de spécialité mathématiques Polynésie 2021, épreuve n° 2 du 2 juin 2021, avec son corrigé détaillé rédigé question par question. Le premier exercice suit une espèce animale dont l’effectif perd 5 % par an mais reçoit 200 individus réintroduits : suite arithmético-géométrique, récurrence et limite égale à 4 000. Ensuite, le deuxième porte sur un test de dépistage (arbre, probabilité d’être malade sachant le test positif, loi binomiale, nombre minimal de personnes à tester). Le troisième se passe dans un cube : triangle équilatéral EGD, plan et droite orthogonale, puis volume de la pyramide GEDM. Au choix enfin, une équation différentielle \(y^{\prime} = -y + \text{e}^{-x}\) avec étude de convexité, ou le bénéfice d’un vendeur de jus de fruits à optimiser avec un logarithme.

L’essentiel : Corrigé du bac de maths 2021 en Polynésie : chaque question est résolue avec les calculs et la méthode attendue, exercice par exercice (étude d’une fonction auxiliaire et optimisation). Idéal pour réviser l’examen en se corrigeant ; corrigé gratuit en PDF.

Par ailleurs, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2021 en Polynésie.

De plus, ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

Bac 2021 Polynésie : organisation de l’épreuve

D’abord, ce bac 2021 Polynésie vous permet de retrouver l’épreuve de spécialité mathématiques 2021 en Polynésie, avec toutes ses questions. Ainsi, vous trouverez 5 exercices indépendants. Par ailleurs, les notions les plus sollicitées sont les suites arithmético-géométriques, le raisonnement par récurrence, les limites et la loi binomiale. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 48 minutes par exercice, relecture comprise. Ainsi, vous pouvez vous entraîner en temps limité avant de consulter la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2021
Mathématiques — Sujet n° 2
Polynésie — 2 juin 2021
Durée de l’épreuve : 4 heures

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 10\,000\) et pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_{n+1} = 0{,}95u_n + 200.\]

1. Calculer \(u_1\) et vérifier que \(u_2 = 9\,415\).

2. a. Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_n \gt 4\,000.\]

b. On admet que la suite \((u_n)\) est décroissante. Justifier qu’elle converge.

3. Pour tout entier naturel \(n\), on considère la suite \((v_n)\) définie par : \(v_n = u_n – 4\,000\).

a. Calculer \(v_0\).

b. Démontrer que la suite \((v_n)\) est géométrique de raison égale à \(0{,}95\).

c. En déduire que pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_n = 4\,000 + 6\,000 \times 0{,}95^n.\]

d. Quelle est la limite de la suite \((u_n)\) ? Justifier la réponse.

4. En 2020, une espèce animale comptait 10 000 individus. L’évolution observée les années précédentes conduit à estimer qu’à partir de l’année 2021, cette population baissera de 5 % chaque début d’année.

Pour ralentir cette baisse, il a été décidé de réintroduire 200 individus à la fin de chaque année, à partir de 2021.

Une responsable d’une association soutenant cette stratégie affirme que : « l’espèce ne devrait pas s’éteindre, mais malheureusement, nous n’empêcherons pas une disparition de plus de la moitié de la population ».

Que pensez-vous de cette affirmation ? Justifier la réponse.

Exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Un test est mis au point pour détecter une maladie dans un pays.

Selon les autorités sanitaires de ce pays, 7 % des habitants sont infectés par cette maladie.

Parmi les individus infectés, 20 % sont déclarés négatifs.

Parmi les individus sains, 1 % sont déclarés positifs.

Une personne est choisie au hasard dans la population.

On note :

\(M\) l’évènement : « la personne est infectée par la maladie » ;
\(T\) l’évènement : « le test est positif ».

1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.

2. a. Quelle est la probabilité pour que la personne soit infectée par la maladie et que son test soit positif ?

b. Montrer que la probabilité que son test soit positif est de \(0{,}0653\).

3. On sait que le test de la personne choisie est positif.

Quelle est la probabilité qu’elle soit infectée ?

On donnera le résultat sous forme approchée à \(10^{-2}\) près.

4. On choisit dix personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d’assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire qui comptabilise le nombre d’individus ayant un test positif parmi les dix personnes.

a. Quelle est la loi de probabilité suivie par \(X\) ? Préciser ses paramètres.

b. Déterminer la probabilité pour qu’exactement deux personnes aient un test positif.

On donnera le résultat sous forme approchée à \(10^{-2}\) près.

5. Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu’au moins une de ces personnes ait un test positif, soit supérieure à 99 %.

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Dans l’espace, on considère le cube ABCDEFGH d’arête de longueur égale à 1.

On munit l’espace du repère orthonormé \((\text{A}\,;\,\vec{\text{AB}},\,\vec{\text{AD}},\,\vec{\text{AE}})\).

On considère le point M tel que \(\vec{\text{BM}} = \dfrac{1}{3}\vec{\text{BH}}\).

1. Par lecture graphique, donner les coordonnées des points B, D, E, G et H.

2. a. Quelle est la nature du triangle EGD ? Justifier la réponse.

b. On admet que l’aire d’un triangle équilatéral de côté \(c\) est égale à \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}c^2\).

Montrer que l’aire du triangle EGD est égale à \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

3. Démontrer que les coordonnées de M sont \((\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{3})\).

4. a. Justifier que le vecteur \(\vec{n}(-1\,;\,1\,;\,1)\) est normal au plan (EGD).

b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (EGD) est : \(-x + y + z – 1 = 0\).

c. Soit \(\mathcal{D}\) la droite orthogonale au plan (EGD) et passant par le point M.

Montrer qu’une représentation paramétrique de cette droite est :

\[\mathcal{D}\ :\ \begin{cases} x = \dfrac{2}{3} – t \\ y = \dfrac{1}{3} + t \\ z = \dfrac{1}{3} + t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}\]

5. Le cube ABCDEFGH est représenté ci-dessus selon une vue qui permet de mieux percevoir la pyramide GEDM, en gris sur la figure :

Le but de cette question est de calculer le volume de la pyramide GEDM.

a. Soit K, le pied de la hauteur de la pyramide GEDM issue du point M.

Démontrer que les coordonnées du point K sont \((\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{2}{3})\).

b. En déduire le volume de la pyramide GEDM.

On rappelle que le volume \(V\) d’une pyramide est donné par la formule \(V = \dfrac{b \times h}{3}\) où \(b\) désigne l’aire d’une base et \(h\) la hauteur associée.

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.

Exercice A

Principaux domaines abordés : Fonction exponentielle, convexité, dérivation, équations différentielles

Cet exercice est composé de trois parties indépendantes.

On a représenté ci-dessous, dans un repère orthonormé, une portion de la courbe représentative \(\mathcal{C}\) d’une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) :

On considère les points \(\text{A}(0\,;\,2)\) et \(\text{B}(2\,;\,0)\).

Partie 1

Sachant que la courbe \(\mathcal{C}\) passe par A et que la droite (AB) est la tangente à la courbe \(\mathcal{C}\) au point A, donner par lecture graphique :

1. La valeur de \(f(0)\) et celle de \(f^{\prime}(0)\).

2. Un intervalle sur lequel la fonction \(f\) semble convexe.

Partie 2

On note \((E)\) l’équation différentielle

\[y^{\prime} = -y + \text{e}^{-x}.\]

On admet que \(g : x \longmapsto x\text{e}^{-x}\) est une solution particulière de \((E)\).

1. Donner toutes les solutions sur \(\mathbb{R}\) de l’équation différentielle \((H)\) : \(y^{\prime} = -y\).

2. En déduire toutes les solutions sur \(\mathbb{R}\) de l’équation différentielle \((E)\).

3. Sachant que la fonction \(f\) est la solution particulière de \((E)\) qui vérifie \(f(0) = 2\), déterminer une expression de \(f(x)\) en fonction de \(x\).

Partie 3

On admet que pour tout nombre réel \(x\), \(f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}\).

1. On rappelle que \(f^{\prime}\) désigne la fonction dérivée de la fonction \(f\).

a. Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f^{\prime}(x) = (-x – 1)\text{e}^{-x}\).

b. Étudier le signe de \(f^{\prime}(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) et dresser le tableau des variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

On ne précisera ni la limite de \(f\) en \(-\infty\) ni la limite de \(f\) en \(+\infty\).

On calculera la valeur exacte de l’extremum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

2. On rappelle que \(f^{\prime\prime}\) désigne la fonction dérivée seconde de la fonction \(f\).

a. Calculer pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f^{\prime\prime}(x)\).

b. Peut-on affirmer que \(f\) est convexe sur l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\) ?

Exercice B

Principaux domaines abordés : Fonction logarithme népérien, dérivation

Cet exercice est composé de deux parties.

Certains résultats de la première partie seront utilisés dans la deuxième.

Partie 1 : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([1\,;\,4]\) par :

\[f(x) = -30x + 50 + 35\ln x.\]

1. On rappelle que \(f^{\prime}\) désigne la fonction dérivée de la fonction \(f\).

a. Pour tout nombre réel \(x\) de l’intervalle \([1\,;\,4]\), montrer que :

\[f^{\prime}(x) = \dfrac{35 – 30x}{x}.\]

b. Dresser le tableau de signe de \(f^{\prime}(x)\) sur l’intervalle \([1\,;\,4]\).

c. En déduire les variations de \(f\) sur ce même intervalle.

2. Justifier que l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution, notée \(\alpha\), sur l’intervalle \([1\,;\,4]\) puis donner une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-3}\) près.

3. Dresser le tableau de signe de \(f(x)\) pour \(x \in [1\,;\,4]\).

Partie 2 : Optimisation

Une entreprise vend du jus de fruits. Pour \(x\) milliers de litres vendus, avec \(x\) nombre réel de l’intervalle \([1\,;\,4]\), l’analyse des ventes conduit à modéliser le bénéfice \(B(x)\) par l’expression donnée en milliers d’euros par :

\[B(x) = -15x^2 + 15x + 35x\ln x.\]

1. D’après le modèle, calculer le bénéfice réalisé par l’entreprise lorsqu’elle vend 2 500 litres de jus de fruits.

On donnera une valeur approchée à l’euro près de ce bénéfice.

2. Pour tout \(x\) de l’intervalle \([1\,;\,4]\), montrer que \(B^{\prime}(x) = f(x)\) où \(B^{\prime}\) désigne la fonction dérivée de \(B\).

3. a. À l’aide des résultats de la partie 1, donner les variations de la fonction \(B\) sur l’intervalle \([1\,;\,4]\).

b. En déduire la quantité de jus de fruits, au litre près, que l’entreprise doit vendre afin de réaliser un bénéfice maximal.

Comment réviser avec ce bac 2021 Polynésie

Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Une fois votre copie terminée, comparez-la avec le corrigé détaillé en vous concentrant sur les justifications. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur les suites arithmético-géométriques ou le raisonnement par récurrence. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. En complément, l’article suites arithmético-géométriques de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Les pièges classiques

Pour une suite arithmético-géométrique, c’est la suite auxiliaire qui est géométrique : calculez sa raison avec soin avant de revenir à la suite de départ.
Dans une récurrence, écrivez clairement l’hypothèse au rang n avant l’hérédité ; une initialisation oubliée coûte des points faciles.
Pour une limite, signalez explicitement la forme indéterminée puis la méthode choisie (factorisation, croissances comparées, composition).

Bac 2021 Polynésie : questions fréquentes

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, les suites arithmético-géométriques, le raisonnement par récurrence et les limites, mais aussi la loi binomiale.

Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2021 en Polynésie

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