Divisibilité et congruences : cours d'arithmétique en terminale S spécialité.

Sommaire de cette fiche

1 I.Divisibilité et division euclidienne
2 II.Congruences
- 2.1 1.Entiers congrus modulo m
- 2.2 2.Propriétés des congruences

Un cours d’arithmétique en terminale S spécialité sur la divisibilité et les congruences.Dans cette leçon, nous aborderons la divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et la division euclidienne dans $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ ainsi que les entiers congrus modulo n et les propriétés des congruences.

I.Divisibilité et division euclidienne

1.Divisibilité dans Z

Définition :

a et b sont deux entiers relatifs ( $b\neq0$ ).Dire que b divise a signifie qu’il existe un entier k tel que a=kb.

Vocabulaire : on dit alors que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b.On traduit aussi cette définition en disant que a est un multiple de b.

Exemple :

– 45 =( -5 )x 9 = 5x(-9) donc – 5, 5,9 et – 9 divisent -45.
Les diviseurs dans $\mathbb{Z}$ du chiffre 6 sont -6;-3;-2;-1;1;2;3;6.

Remarque :

1 et -1 tout entier relatif n car 1xn=(-1)x(-n)=n.

2.Propriétés de la divisibilité

Comparaison :

a et b sont deux entiers relatifs ( $b\neq0$ ), il résulte de la définition que :

Si b divise a alors – b divise a.
Si b divise a et si $a\neq0$ , alors $\,|b\,\,|\leq\,\,\,|a\,\,|$ .

Théorème :

a et b sont deux entiers relatifs non nuls.Si a divise b et b divise a, alors a=b ou a=- b.

Théorème (transitivité):

a,b et c sont trois entiers relatifs ( $a\neq0$ , $b\neq0$ ).Si a divise b et b divise c alors a divise c.

Théorème : divisibilité d’une combinaison linéaire.

a,b,d sont trois entiers relatifs ( $d\neq0$ ).Si d divise a et b, alors d divise tout entier ma+nb $(m,n\in\mathbb{Z})$ .

En particulier, d divise leur somme a + b et leur différence a-b.

Preuve :

Par hypothèses, on peut écrire a=dk et b=dk’ avec k et k’ entiers.

ma+nb=mdk + ndk’=(mk+nk’)d avec mk+nk’ entiers, donc d divise ma + nb.

3.La division euclidienne dans N

Théorème :

a et b sont deux entiers naturels et b est non nul.Il existe un couple unique (q;r) d’entiers naturels tel que et $0\leq\,\,r<b$ .

Définition :

a et b sont deux entiers naturels, $b\neq0$ .Effectuer la division euclidienne dans $\mathbb{N}$ de a par b, c’est déterminer le couple d’entiers naturels (q;r) tel que et $0\leq\,\,r<b$ .

Vocabulaire :

a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r est le reste.

Conséquence :

b divise a, si et seulement si, dans la division de a par b, le reste est nul.

4.La division euclidienne dans Z

Théorème : (admis)

a et b sont deux entiers relatifs avec b non nul.Alors il existe un unique couple (q;r) tel que q entier relatif et r entier naturel

tel que et $0\leq\,\,r<\,|b\,\,|$ .

Exemple :

a=-50,b=-3; -50=-3×16-2.Pour obtenir un reste positif, on écrit -50=-3×16-3+3-2=-3×17+1.

Ainsi q=17 et r=1.

II.Congruences

1.Entiers congrus modulo m

Définition :

m est un entier naturel non nul.Dire que deux entiers relatifs a et b sont congrus modulo m signifie qu’ils ont le même reste

dans la division euclidienne par m.

Notation :

On écrit $a\equiv\,b(mod\,m)$ .On lit a est congru à b modulo m.

Exemples :

$11\equiv\,5(mod\,3)$ et $-4\equiv\,2(mod\,3)$ .

Théorème :

m est un entier naturel non nul.Pour tous entiers relatifs a et b, $a\equiv\,b(mod\,m)\Leftrightarrow\,m\,divise\,a$ .

Remarques :

Si r est le reste de la division euclidienne de a par m, alors $a\equiv\,r(mod\,m)$ .
$a=0(mod\,m)$ si et seulement si m divise a.

2.Propriétés des congruences

Théorème : (transitivité)

m est un entier naturel non nul.Pour tous entier relatif a,b et c,

si $a\equiv\,b(mod\,m)$ et $b\equiv\,c(mod\,m)$ , alors $a\equiv\,c(mod\,m)$ .

Théorème : (congruences et opérations)

m est un entier naturel non nul et a,b,a’,b’ sont des entiers relatifs.si $a\equiv\,b(mod\,m)$ et $a'\equiv\,b'(mod\,m)$ , alors :

$\star\,$ $a+a'\equiv\,b+b'(mod\,m)$

$\star\,$ $a-a'\equiv\,b-b'(mod\,m)$

$\star\,$ $aa'\equiv\,bb'(mod\,m)$

Conséquence :

$a\equiv\,b(mod\,m)$ , alors pour tout entier p positif, $a^p\equiv\,b^p(mod\,m)$ .

4/5 - (9 votes)

Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «divisibilité et congruences : cours de maths en terminale S spécialité» au format PDF.

Télécharger nos applications gratuites avec tous les cours,exercices corrigés.

D'autres fiches similaires à divisibilité et congruences : cours de maths en terminale S spécialité.

Mathovore vous permet de réviser en ligne et de progresser en mathématiques tout au long de l'année scolaire.
De nombreuses ressources destinées aux élèves désireux de combler leurs lacunes en maths et d'envisager une progression constante. Tous les cours en primaire, au collège, au lycée mais également, en maths supérieures et spéciales ainsi qu'en licence sont disponibles sur notre sites web de mathématiques.
Des documents similaires à divisibilité et congruences : cours de maths en terminale S spécialité à télécharger ou à imprimer gratuitement en PDF avec tous les cours de maths du collège au lycée et post bac rédigés par des enseignants de l'éducation nationale.
Vérifiez si vous avez acquis le contenu des différentes leçons (définition, propriétés, téhorèmpe) en vous exerçant sur des milliers d'exercices de maths disponibles sur Mathovore et chacun de ces exercices dispose de son corrigé.
En complément des cours et exercices sur le thème divisibilité et congruences : cours de maths en terminale S spécialité, les élèves de troisième pourront réviser le brevet de maths en ligne ainsi que pour les élèves de terminale pourront s'exercer sur les sujets corrigé du baccalauréat de maths en ligne.

Le théorème de Bézout : cours de maths en terminale S
92
Le théorème de Bézout dans un cours d'arithmétique pour les élèves de terminale S spécialité. I.Enoncé du théorème de Bézout : Théorème : a et b sont deux entiers naturels non nuls.Dire que a et b sont premiers entre eux équivaut à dire il existe deux entiers relatifs u et v tels…
Le théorème de Gauss : cours de maths en terminale S
92
Un cours d'arithmétique sur le théorème de Gauss en terminale S spécialité. I. Enoncé du théorème de Gauss Théorème : a,b et c sont des entiers strictement positifs tels que a divise le produit bc et a est premier avec b.Alors a divise c. Autrement dit : si un entier…
Arithmétique : cours de maths en terminale S spécialité
92
L'arithmétique dans un cours de maths en terminale S spécialité.Ce cours fait intervenir les notions de divisibilité, multiples, diviseurs, congruences, les nombres premiers et la décomposition en facteur premier d'un nombre entier.Egalement la division Euclidienne, le théorème de Bézout et le théorème de Gauss. I. Divisibilité : Définition : Soient…
PGCD de deux entiers naturels : cours de maths en terminale S
91
Le PGCD deux deux entiers naturels, dans ce cours de maths en terminale S spécialité, nous aborderons l'algorithme d'Euclide et les nombres premiers entre eux. I.Le plus grand commun diviseur ( PGCD ) 1.Le PGCD de deux entiers naturels Par convention, lorsqu'on parlera de diviseurs d'un entier naturel, il s'agira…
Matrices et opérations : cours de maths en terminale S spécialité
90
Matrices et opérations en terminale spécialité. Cours de maths en terminale S spécialité sur les matrices. I. Notion de matrices : Définition : n et p désignent des nombres entiers naturels non nuls. Une matrice de format ( ou taille ) (n,p) est un tableau de nombres réels à n…

Les dernières fiches mises à jour

Voici les dernières ressources mis à jour sur Mathovore (des cours, exercices, des contrôles et autres), rédigées par notre équipe d'enseignants.

Mathovore c'est 2 365 062 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 181 073 membres.
Rejoignez-nous : inscription gratuite.