Sommaire de cette fiche
I. Divisibilité et division euclidienne.
1.Divisibilité dans Z.
a et b sont deux entiers relatifs ().
Dire que b divise a signifie qu’il existe un entier k tel que a=kb.
Vocabulaire : on dit alors que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b.
On traduit aussi cette définition en disant que a est un multiple de b.
Exemple :
donc – 5, 5,9 et – 9 divisent -45.
- Les diviseurs dans
du chiffre 6 sont -6;-3;-2;-1;1;2;3;6.
Remarque :
1 et -1 tout entier relatif n car .
2.Propriétés de la divisibilité.
a et b sont deux entiers relatifs (), il résulte de la définition que :
- Si b divise a alors – b divise a.
- Si b divise a et si
, alors
.
a et b sont deux entiers relatifs non nuls.
Si a divise b et b divise a, alors a=b ou a=- b.
Soient a,b et c sont trois entiers relatifs (,
).
Si a divise b et b divise c alors a divise c.
Soient sont trois entiers relatifs (
).
Si d divise a et b, alors d divise tout entier
.
En particulier, d divise leur somme et leur différence
.
Preuve :
Par hypothèses, on peut écrire et
avec k et k’ entiers.
avec
entiers, donc d divise
.
3.La division euclidienne dans N.
a et b sont deux entiers naturels et b est non nul.Il existe un couple unique (q;r) d’entiers naturels tel que et
.
a et b sont deux entiers naturels, .Effectuer la division euclidienne dans
de a par b, c’est déterminer le couple d’entiers naturels (q;r) tel que
et
.
Vocabulaire :
a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r est le reste.
Conséquence :
b divise a, si et seulement si, dans la division de a par b, le reste est nul.
4.La division euclidienne dans Z
a et b sont deux entiers relatifs avec b non nul.
Alors il existe un unique couple tel que q entier relatif et r entier naturel tel que
et
.
Exemple :
.
Pour obtenir un reste positif, on écrit .
Ainsi et
.
II. Congruences.
1.Entiers congrus modulo m.
m est un entier naturel non nul.
Dire que deux entiers relatifs a et b sont congrus modulo m signifie qu’ils ont le même reste
dans la division euclidienne par m.
Notation :
On écrit .On lit a est congru à b modulo m.
Exemple :
et
.
m est un entier naturel non nul.
Pour tous entiers relatifs a et b, .
Remarques :
- Si r est le reste de la division euclidienne de a par m, alors
.
si et seulement si m divise a.
2.Propriétés des congruences.
m est un entier naturel non nul.Pour tous entier relatif a,b et c,
si et
, alors
.
m est un entier naturel non nul et a,b,a’,b’ sont des entiers relatifs.si et
, alors :
Cette publication est également disponible en :
English (Anglais)
Español (Espagnol)
العربية (Arabe)
Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement
Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «divisibilité et congruences : cours de maths en terminale spécialité en PDF.» au format PDF.
D'autres fiches dans la section cours de maths en terminale S
- Le produit scalaire : cours de maths en terminale à télécharger en PDF.
- Nombres complexes : cours de maths en terminale en PDF.
- Matrices et opérations : cours de maths en terminale spécialité en PDF.
- Arithmétique : cours de maths en terminale spécialité.
- Les suites numériques : cours de maths en terminale en PDF.
- Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale.
- Les probabilités conditionnelles : cours de maths en terminale en PDF.
- La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale.
- Géométrie dans l’espace : cours de maths en terminale en PDF.
- Le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale en PDF.
D'autres fiches similaires à divisibilité et congruences : cours de maths en terminale spécialité en PDF..
- 93
L'arithmétique dans un cours de maths en terminale spécialité. Ce cours fait intervenir les notions de divisibilité, multiples, diviseurs, congruences, les nombres premiers et la décomposition en facteur premier d'un nombre entier. Egalement la division Euclidienne, le théorème de Bézout et le théorème de Gauss. I. Divisibilité. Définition : Soient…
- 92
- 91
Les dernières fiches mises à jour.
Voici les dernières ressources similaires à divisibilité et congruences : cours de maths en terminale spécialité en PDF. mis à jour sur Mathovore (des cours, exercices, des contrôles et autres), rédigées par notre équipe d'enseignants.