et la division euclidienne dans et ainsi que les entiers congrus modulo n et les propriétés des congruences.I. Divisibilité et division euclidienne.
1.Divisibilité dans Z.
a et b sont deux entiers relatifs ().
Dire que b divise a signifie qu’il existe un entier k tel que a=kb.
Vocabulaire : on dit alors que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b.
On traduit aussi cette définition en disant que a est un multiple de b.
Exemple :
- donc – 5, 5,9 et – 9 divisent -45.
- Les diviseurs dans du chiffre 6 sont -6;-3;-2;-1;1;2;3;6.
Remarque :
1 et -1 tout entier relatif n car .
2.Propriétés de la divisibilité.
a et b sont deux entiers relatifs (), il résulte de la définition que :
- Si b divise a alors – b divise a.
- Si b divise a et si , alors .
a et b sont deux entiers relatifs non nuls.
Si a divise b et b divise a, alors a=b ou a=- b.
Soient a,b et c sont trois entiers relatifs (, ).
Si a divise b et b divise c alors a divise c.
Soient sont trois entiers relatifs ().
Si d divise a et b, alors d divise tout entier .
En particulier, d divise leur somme et leur différence .
Preuve :
Par hypothèses, on peut écrire et avec k et k’ entiers.
avec entiers, donc d divise .
3.La division euclidienne dans N.
a et b sont deux entiers naturels et b est non nul.Il existe un couple unique (q;r) d’entiers naturels tel que et .
a et b sont deux entiers naturels, .Effectuer la division euclidienne dans de a par b, c’est déterminer le couple d’entiers naturels (q;r) tel que et .
Vocabulaire :
a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r est le reste.
Conséquence :
b divise a, si et seulement si, dans la division de a par b, le reste est nul.
4.La division euclidienne dans Z
a et b sont deux entiers relatifs avec b non nul.
Alors il existe un unique couple tel que q entier relatif et r entier naturel tel que et .
Exemple :
.
Pour obtenir un reste positif, on écrit .
Ainsi et .
II. Congruences.
1.Entiers congrus modulo m.
m est un entier naturel non nul.
Dire que deux entiers relatifs a et b sont congrus modulo m signifie qu’ils ont le même reste
dans la division euclidienne par m.
Notation :
On écrit .On lit a est congru à b modulo m.
Exemple :
et .
m est un entier naturel non nul.
Pour tous entiers relatifs a et b, .
Remarques :
- Si r est le reste de la division euclidienne de a par m, alors .
- si et seulement si m divise a.
2.Propriétés des congruences.
m est un entier naturel non nul.Pour tous entier relatif a,b et c,
si et , alors .
m est un entier naturel non nul et a,b,a’,b’ sont des entiers relatifs.si et , alors :
, alors pour tout entier p positif, .Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement :
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