Divisibilité et congruences : cours d'arithmétique

Sommaire

L’arithmétique à travers un cours de maths en terminale spécialité sur la divisibilité et les congruences.Dans cette leçon, nous aborderons la divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et la division euclidienne dans $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ ainsi que les entiers congrus modulo n et les propriétés des congruences.

L’essentiel : Dire que $a$ est congru à $b$ modulo $n$, noté $a\equiv b\ [n]$, signifie que $n$ divise $a-b$, c’est-à-dire que $a$ et $b$ ont le même reste dans la division par $n$. Les congruences se somment et se multiplient : si $a\equiv b$ et $c\equiv d$ modulo $n$, alors $a+c\equiv b+d$ et $ac\equiv bd$.

I. Divisibilité et division euclidienne.

1.Divisibilité dans Z.

Définition :

a et b sont deux entiers relatifs ( $b\neq0$ ).

Dire que b divise a signifie qu’il existe un entier k tel que a=kb.

Vocabulaire : on dit alors que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b.

On traduit aussi cette définition en disant que a est un multiple de b.

Exemple :

$-\,45\,=(\,-5\,)\,\times \,9\,=\,5\,\times \,(-9)$ donc – 5, 5,9 et – 9 divisent -45.
Les diviseurs dans $\mathbb{Z}$ du chiffre 6 sont -6;-3;-2;-1;1;2;3;6.

Remarque :
1 et -1 tout entier relatif n car $1\,\times \,n=(-1)\,\times \,(-n)=n$ .

2.Propriétés de la divisibilité.

Comparaison :

a et b sont deux entiers relatifs ( $b\neq0$ ), il résulte de la définition que :

Si b divise a alors – b divise a.
Si b divise a et si $a\neq0$ , alors $\,|b\,\,|\leq\,\,\,\,\,|a\,\,|$ .

Théorème :

a et b sont deux entiers relatifs non nuls.

Si a divise b et b divise a, alors a=b ou a=- b.

Théorème (transitivité):

Soient a,b et c sont trois entiers relatifs ( $a\neq0$ , $b\neq0$ ).

Si a divise b et b divise c alors a divise c.

Théorème : divisibilité d’une combinaison linéaire.

Soient sont trois entiers relatifs ( $d\neq0$ ).

Si d divise a et b, alors d divise tout entier $(m,n\in\mathbb{Z})$ .

En particulier, d divise leur somme $a\,+\,b$ et leur différence .

Preuve :

Par hypothèses, on peut écrire et avec k et k’ entiers.

$ma+nb=mdk\,+\,ndk'=(mk+nk')d$ avec entiers, donc d divise $ma\,+\,nb$ .

3.La division euclidienne dans N.

Théorème :

a et b sont deux entiers naturels et b est non nul.Il existe un couple unique (q;r) d’entiers naturels tel que et $0\leq\,\,\,\,r<b$ .

Définition :

a et b sont deux entiers naturels, $b\neq0$ .Effectuer la division euclidienne dans $\mathbb{N}$ de a par b, c’est déterminer le couple d’entiers naturels (q;r) tel que et $0\leq\,\,\,\,r<b$ .

Vocabulaire :

a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r est le reste.

Conséquence :

b divise a, si et seulement si, dans la division de a par b, le reste est nul.

4.La division euclidienne dans Z

Théorème : (admis)

a et b sont deux entiers relatifs avec b non nul.

Alors il existe un unique couple tel que q entier relatif et r entier naturel tel que et $0\leq\,\,\,\,r<\,|b\,\,|$ .

Exemple :

$a=-50,b=-3;\,-50=-3\,\times \,16-2$ .

Pour obtenir un reste positif, on écrit $-50=-3\,\times \,16-3+3-2=-3\,\times \,17+1$ .

Ainsi et .

II. Congruences.

1.Entiers congrus modulo m.

Définition :

m est un entier naturel non nul.

Dire que deux entiers relatifs a et b sont congrus modulo m signifie qu’ils ont le même reste

dans la division euclidienne par m.

Notation :

On écrit $a\equiv\,b(mod\,m)$ .On lit a est congru à b modulo m.

Exemple :

$11\equiv\,5(mod\,3)$ et $-4\equiv\,2(mod\,3)$ .

Théorème :

m est un entier naturel non nul.

Pour tous entiers relatifs a et b, $a\equiv\,b(mod\,m)\Leftrightarrow\,m\,divise\,a$ .

Remarques :

Si r est le reste de la division euclidienne de a par m, alors $a\equiv\,r(mod\,m)$ .
$a=0(mod\,m)$ si et seulement si m divise a.

2.Propriétés des congruences.

Théorème : (transitivité)

m est un entier naturel non nul.Pour tous entier relatif a,b et c,

si $a\equiv\,b(mod\,m)$ et $b\equiv\,c(mod\,m)$ , alors $a\equiv\,c(mod\,m)$ .

Théorème : (congruences et opérations)

m est un entier naturel non nul et a,b,a’,b’ sont des entiers relatifs.si $a\equiv\,b(mod\,m)$ et $a'\equiv\,b'(mod\,m)$ , alors :

$\star\,\,\,$ $a+a'\equiv\,b+b'(mod\,m)$

$\star\,\,\,$ $a-a'\equiv\,b-b'(mod\,m)$

$\star\,\,\,$ $aa'\equiv\,bb'(mod\,m)$

Conséquence :

$a\equiv\,b(mod\,m)$ , alors pour tout entier p positif, $a^p\equiv\,b^p(mod\,m)$ .

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