Divisibilité et congruences : cours de maths en terminale S spécialité

cours maths terminale
Un cours d’arithmétique en terminale S spécialité sur la divisibilité et les congruences.Dans cette leçon, nous aborderons la divisibilité dans \mathbb{Z} et la division euclidienne dans \mathbb{N} et \mathbb{Z} ainsi que les entiers congrus modulo n et les propriétés des congruences.

I.Divisibilité et division euclidienne

1.Divisibilité dans Z

Définition :

a et b sont deux entiers relatifs (b\neq0).Dire que b divise a signifie qu’il existe un entier k tel que a=kb.

Vocabulaire : on dit alors que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b.On traduit aussi cette définition en disant que a est un multiple de b.

Exemple :

  • – 45 =( -5 )x 9 = 5x(-9) donc – 5, 5,9 et – 9  divisent -45.
  • Les diviseurs dans \mathbb{Z} du chiffre 6 sont -6;-3;-2;-1;1;2;3;6.

Remarque :

1 et -1 tout entier relatif n car 1xn=(-1)x(-n)=n.

2.Propriétés de la divisibilité

Comparaison :

a et b sont deux entiers relatifs (b\neq0), il résulte de la définition que :

  • Si b divise a alors – b divise a.
  • Si b divise a et si a\neq0 , alors  \,|b\,\,|\leq\,\,\,|a\,\,|.
Théorème :

a et b sont deux entiers relatifs non nuls.Si a divise b et b divise a, alors a=b ou a=- b.

Théorème (transitivité):

a,b et c sont trois entiers relatifs (a\neq0b\neq0).Si a divise b et b divise c alors a divise c.

Théorème : divisibilité d’une combinaison linéaire.

a,b,d sont trois entiers relatifs (d\neq0).Si d divise a et b, alors d divise tout entier ma+nb (m,n\in\mathbb{Z}).

En particulier, d divise leur somme a + b et leur différence a-b.

Preuve :

Par hypothèses, on peut écrire a=dk et b=dk’ avec k et k’ entiers.

ma+nb=mdk + ndk’=(mk+nk’)d avec mk+nk’ entiers, donc d divise ma + nb.

3.La division euclidienne dans N

Théorème :

a et b sont deux entiers naturels et b est non nul.Il existe un couple unique (q;r) d’entiers naturels tel que a=bq+r et 0\leq\,\,r<b.

Définition :

a et b sont deux entiers naturels, b\neq0.Effectuer la division euclidienne dans \mathbb{N} de a par b, c’est déterminer le couple d’entiers naturels (q;r) tel que a=bq+r et 0\leq\,\,r<b.

Vocabulaire :

a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r est le reste.

Conséquence : 

b divise a, si et seulement si, dans la division de a par b, le reste est nul.

4.La division euclidienne dans Z

Théorème : (admis)

a et b sont deux entiers relatifs avec b non nul.Alors il existe un unique couple (q;r) tel que q entier relatif et r entier naturel

tel que a=bq+r et 0\leq\,\,r<\,|b\,\,|.

Exemple :

a=-50,b=-3; -50=-3×16-2.Pour obtenir un reste positif, on écrit  -50=-3×16-3+3-2=-3×17+1.

Ainsi q=17 et r=1.

II.Congruences

1.Entiers congrus modulo m

Définition :

m est un entier naturel non nul.Dire que deux entiers relatifs a et b sont congrus modulo m signifie qu’ils ont le même reste

dans la division euclidienne par m.

Notation :

On écrit a\equiv\,b(mod\,m).On lit a est congru à b modulo m.

Exemples :

11\equiv\,5(mod\,3) et -4\equiv\,2(mod\,3).

congruence

Théorème :

m est un entier naturel non nul.Pour tous entiers relatifs a et b, a\equiv\,b(mod\,m)\Leftrightarrow\,m\,divise\,a.

Remarques :

  1. Si r est le reste de la division euclidienne de a par m, alors a\equiv\,r(mod\,m).
  2. a=0(mod\,m) si et seulement si m divise a.

2.Propriétés des congruences

Théorème : (transitivité)

m est un entier naturel non nul.Pour tous entier relatif a,b et c,

si a\equiv\,b(mod\,m) et b\equiv\,c(mod\,m), alors a\equiv\,c(mod\,m).

Théorème : (congruences et opérations)

m est un entier naturel non nul et a,b,a’,b’ sont des entiers relatifs.si a\equiv\,b(mod\,m) et a'\equiv\,b'(mod\,m), alors :

\star\, a+a'\equiv\,b+b'(mod\,m)

\star\, a-a'\equiv\,b-b'(mod\,m)

\star\, aa'\equiv\,bb'(mod\,m)

Conséquence :

a\equiv\,b(mod\,m), alors pour tout entier p positif, a^p\equiv\,b^p(mod\,m).

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