Voici le corrigé complet du bac S de mathématiques 2013 au Liban (épreuve de mai 2013, candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité). Le sujet comporte quatre exercices qui balaient une grande partie du programme de terminale S. Le premier est un QCM de géométrie dans l’espace : position relative de deux droites données par des représentations paramétriques, plan contenant une droite, triangle équilatéral et équation cartésienne de plan. Le deuxième mêle un arbre pondéré sur la conformité de pots de compote et la loi normale, avec la recherche d’un écart-type. Le troisième étudie la famille de fonctions \(f_k(x)=\dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-kx}}\) : limites, asymptotes, calcul intégral, symétrie de courbes et propositions vrai/faux. Le dernier porte sur une suite définie par récurrence, étudiée par un algorithme, un raisonnement par récurrence, puis une suite auxiliaire arithmétique qui donne la limite. Chaque réponse est justifiée pas à pas.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
QCM de géométrie dans l’espace, 4 points
L’espace est muni d’un repère orthonormé. La droite \(D\) a pour représentation paramétrique \(x=t+1\), \(y=2t-1\), \(z=3t+2\) (\(t\in\mathbb{R}\)) : elle passe par le point de coordonnées \((1\,;-1\,;2)\) et a pour vecteur directeur \(\vec{u_1}(1\,;2\,;3)\). La droite \(D^{\prime}\) a pour représentation paramétrique \(x=k+1\), \(y=k+3\), \(z=-k+4\) (\(k\in\mathbb{R}\)) : elle passe par \(M(1\,;3\,;4)\) (obtenu pour \(k=0\)) et a pour vecteur directeur \(\vec{u_2}(1\,;1\,;-1)\).
Question 1 : position relative de \(D\) et \(D^{\prime}\).
Les coordonnées de \(\vec{u_1}\) et \(\vec{u_2}\) ne sont pas proportionnelles (\(\frac{1}{1}\neq\frac{2}{1}\)) : les droites ne sont pas parallèles. Cherchons un éventuel point commun : il faudrait trouver \(t\) et \(k\) tels que
\[\begin{cases} t+1=k+1\\ 2t-1=k+3\\ 3t+2=-k+4\end{cases}\]
La première équation donne \(t=k\), la deuxième devient \(t=4\), donc \(k=4\). La troisième donne alors \(3\times 4+2=14\) d’un côté et \(-4+4=0\) de l’autre : impossible. Les droites ne sont donc pas sécantes non plus.
Deux droites ni parallèles ni sécantes sont non coplanaires : réponse d. On remarque de plus que \(\vec{u_1}\cdot\vec{u_2}=1+2-3=0\) : ces droites sont orthogonales (sans être perpendiculaires).
Question 2 : le plan \(P\) d’équation \(x+y-z+2=0\).
Un vecteur normal de \(P\) est \(\vec{n}(1\,;1\,;-1)\), c’est-à-dire \(\vec{u_2}\) : le plan \(P\) est donc orthogonal à la droite \(D^{\prime}\).
Pour la droite \(D\), on remplace \(x\), \(y\), \(z\) par leurs expressions en fonction de \(t\) :
\[(t+1)+(2t-1)-(3t+2)+2=0\quad\text{pour tout réel } t.\]
Tous les points de \(D\) appartiennent à \(P\) : le plan \(P\) contient la droite \(D\) (et est orthogonal à \(D^{\prime}\)) : réponse c.
Question 3 : nature du triangle \(ABC\).
À partir des coordonnées des points de l’énoncé, on obtient \(\vec{AB}(2\,;4\,;6)\), \(\vec{AC}(-4\,;6\,;2)\) et \(\vec{BC}(-6\,;2\,;-4)\). Donc :
\[AB^2=4+16+36=56,\qquad AC^2=16+36+4=56,\qquad BC^2=36+4+16=56.\]
Les trois côtés mesurent \(\sqrt{56}=2\sqrt{14}\) : le triangle \(ABC\) est équilatéral : réponse c. (Il n’est pas rectangle : \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=-8+24+12=28\neq0\).)
Question 4 : équation du plan \(P^{\prime}\) contenant \(D^{\prime}\) et le point \(A\).
Le plan \(P^{\prime}\) est dirigé par \(\vec{u_2}(1\,;1\,;-1)\) et par \(\vec{AM}\), où \(M(1\,;3\,;4)\) est le point de \(D^{\prime}\) vu plus haut ; ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Le vecteur \(\vec{n}(3\,;-1\,;2)\) vérifie
\[\vec{n}\cdot\vec{u_2}=3-1-2=0\qquad\text{et}\qquad \vec{n}\cdot\vec{AM}=0,\]
il est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de \(P^{\prime}\) : c’est un vecteur normal de \(P^{\prime}\). Une équation est de la forme \(3x-y+2z+d=0\), et comme \(M\in P^{\prime}\) : \(3-3+8+d=0\), soit \(d=-8\).
\(P^{\prime}\) a pour équation \(3x-y+2z-8=0\) : réponse b.
Exercice 2 :
Probabilités conditionnelles et loi normale, 5 points
Une entreprise fabrique des petits pots de compote ; un pot est conforme si sa teneur en sucre est comprise entre \(0{,}16\) et \(0{,}18\). Deux chaînes de fabrication coexistent : la chaîne \(F_1\) produit \(70\,\%\) des pots, dont \(95\,\%\) sont conformes, et la chaîne \(F_2\) produit \(30\,\%\) des pots, dont \(99\,\%\) sont conformes.
On prélève un pot au hasard et on note \(E\) l’événement « le pot provient de la chaîne \(F_1\) » (son contraire \(\overline{E}\) : « le pot provient de \(F_2\) ») et \(C\) l’événement « le pot est conforme ».
Partie A
1. Arbre pondéré.
2. Probabilité que le pot provienne de \(F_1\) et soit conforme.
\[P(E\cap C)=P(E)\times P_E(C)=0{,}70\times 0{,}95=0{,}665.\]
3. Probabilité qu’un pot soit conforme. Les événements \(E\) et \(\overline{E}\) forment une partition de l’univers ; d’après la formule des probabilités totales :
\[P(C)=P(E\cap C)+P(\overline{E}\cap C)=0{,}665+0{,}30\times 0{,}99=0{,}665+0{,}297=0{,}962.\]
La probabilité qu’un pot soit conforme est \(0{,}962\).
4. Sachant que le pot est conforme, probabilité qu’il provienne de \(F_2\).
\[P_C(\overline{E})=\frac{P(\overline{E}\cap C)}{P(C)}=\frac{0{,}297}{0{,}962}\approx0{,}309.\]
Environ \(30{,}9\,\%\) des pots conformes proviennent de la chaîne \(F_2\).
Partie B
On note \(X\) la teneur en sucre d’un pot pris au hasard dans la production de la chaîne \(F_1\).
1. On suppose que \(X\) suit la loi normale d’espérance \(0{,}17\) et d’écart-type \(0{,}006\). À la calculatrice :
\[P(0{,}16\leq\, X\leq\,0{,}18)\approx0{,}9044.\]
2. On veut régler la chaîne pour que \(99\,\%\) des pots soient conformes, l’espérance restant \(0{,}17\) ; on note \(\sigma_2\) le nouvel écart-type et \(Z=\dfrac{X-0{,}17}{\sigma_2}\).
a. \(X\) suit la loi normale \(\mathcal{N}(0{,}17\,;\sigma_2^2)\), donc la variable centrée réduite \(Z\) suit la loi normale centrée réduite \(\mathcal{N}(0\,;1)\).
b. On retranche \(0{,}17\) puis on divise par \(\sigma_2\gt0\), ce qui conserve le sens des inégalités :
\[0{,}16\leq\, X\leq\,0{,}18\iff\frac{0{,}16-0{,}17}{\sigma_2}\leq\,\frac{X-0{,}17}{\sigma_2}\leq\,\frac{0{,}18-0{,}17}{\sigma_2}\iff-\frac{0{,}01}{\sigma_2}\leq\, Z\leq\,\frac{0{,}01}{\sigma_2}.\]
L’événement « le pot est conforme » équivaut donc à \(Z\in[-\dfrac{0{,}01}{\sigma_2}\,;\dfrac{0{,}01}{\sigma_2}]\).
c. On cherche \(\sigma_2\) tel que \(P(-\dfrac{0{,}01}{\sigma_2}\leq\, Z\leq\,\dfrac{0{,}01}{\sigma_2})=0{,}99\). Pour \(Z\) de loi \(\mathcal{N}(0\,;1)\), le réel \(u\) tel que \(P(-u\leq\, Z\leq\, u)=0{,}99\) vaut \(u\approx2{,}576\). Ainsi
\[\frac{0{,}01}{\sigma_2}\approx2{,}576\quad\text{donc}\quad\sigma_2\approx\frac{0{,}01}{2{,}576}\approx0{,}00388.\]
Il faut un écart-type d’environ \(0{,}004\) (au millième près).
Exercice 3 :
Fonctions exponentielles et intégrales, 6 points
Pour tout réel \(k\), on note \(f_k\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f_k(x)=\dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-kx}}\) et \(C_k\) sa courbe représentative.
Partie A : étude de \(f_1\), avec \(f_1(x)=\dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}\).
1. Limites et asymptotes.
- En \(+\infty\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x}=0\), donc \(\lim\limits_{x\to+\infty}f_1(x)=1\).
- En \(-\infty\) : \(\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{-x}=+\infty\), donc \(\lim\limits_{x\to-\infty}f_1(x)=0\).
La droite d’équation \(y=1\) est asymptote horizontale à \(C_1\) en \(+\infty\) et l’axe des abscisses (\(y=0\)) est asymptote horizontale à \(C_1\) en \(-\infty\).
2. Autre écriture de \(f_1\). On multiplie numérateur et dénominateur par \(\mathrm{e}^{x}\gt0\) :
\[f_1(x)=\frac{1\times \mathrm{e}^{x}}{(1+\mathrm{e}^{-x})\,\mathrm{e}^{x}}=\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}.\]
3. Variations. \(f_1\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme inverse d’une fonction dérivable qui ne s’annule pas. Avec \(u(x)=1+\mathrm{e}^{-x}\), \(u^{\prime}(x)=-\mathrm{e}^{-x}\), donc
\[f_1^{\prime}(x)=-\frac{u^{\prime}(x)}{u(x)^2}=\frac{\mathrm{e}^{-x}}{(1+\mathrm{e}^{-x})^2}.\]
Numérateur et dénominateur sont strictement positifs, donc \(f_1^{\prime}(x)\gt0\) : \(f_1\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
4. Calcul de \(I=\displaystyle\int_0^1 f_1(x)\,\mathrm{d}x\). Avec l’écriture de la question 2, \(f_1=\dfrac{v^{\prime}}{v}\) où \(v(x)=1+\mathrm{e}^{x}\gt0\) ; une primitive est donc \(\ln(1+\mathrm{e}^{x})\) :
\[I=\Big[\ln(1+\mathrm{e}^{x})\Big]_0^1=\ln(1+\mathrm{e})-\ln2=\ln(\frac{1+\mathrm{e}}{2})\approx0{,}620.\]
Comme \(f_1\) est positive, \(I\) est l’aire, en unités d’aire, du domaine limité par \(C_1\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=1\).
Partie B : comparaison de \(f_1\) et \(f_{-1}\), avec \(f_{-1}(x)=\dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{x}}\).
1. Pour tout réel \(x\) :
\[f_1(x)+f_{-1}(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}+\frac{1}{1+\mathrm{e}^{x}}=\frac{\mathrm{e}^{x}+1}{1+\mathrm{e}^{x}}=1.\]
2. Les points \(M(x\,;f_1(x))\) de \(C_1\) et \(P(x\,;f_{-1}(x))\) de \(C_{-1}\) ont même abscisse. Le milieu \(K\) de \([MP]\) a pour coordonnées
\[(\frac{x+x}{2}\,;\frac{f_1(x)+f_{-1}(x)}{2})=(x\,;\frac{1}{2}).\]
3. Le point \(K\) appartient toujours à la droite \(\Delta\) d’équation \(y=\frac{1}{2}\), et \((MP)\) est verticale, donc perpendiculaire à \(\Delta\) : \(P\) est le symétrique de \(M\) par rapport à \(\Delta\). La courbe \(C_{-1}\) est la symétrique de \(C_1\) par rapport à la droite d’équation \(y=\frac{1}{2}\).
4. Aire du domaine compris entre \(C_1\), \(C_{-1}\) et les droites \(x=0\) et \(x=1\). Pour \(x\geq\,0\), \(f_1(x)\geq\, f_1(0)=\frac{1}{2}\) (croissance de \(f_1\)), donc \(f_{-1}(x)=1-f_1(x)\leq\,\frac{1}{2}\leq\, f_1(x)\) : sur \([0\,;1]\), \(C_1\) est au-dessus de \(C_{-1}\). L’aire cherchée vaut donc
\[\mathcal{A}=\int_0^1\big(f_1(x)-f_{-1}(x)\big)\,\mathrm{d}x=\int_0^1\big(2f_1(x)-1\big)\,\mathrm{d}x=2I-1.\]
\(\mathcal{A}=2\ln(\dfrac{1+\mathrm{e}}{2})-1\approx0{,}240\) unité d’aire.
Partie C : propositions sur la famille \(f_k\)
On commence par étudier \(f_k\) dans le cas général. Pour tout réel \(k\), \(f_k(0)=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\) : toutes les courbes \(C_k\) passent par le point \(A(0\,;\frac{1}{2})\). De plus \(f_k\) est dérivable et
\[f_k^{\prime}(x)=\frac{k\,\mathrm{e}^{-kx}}{(1+\mathrm{e}^{-kx})^2},\]
qui est du signe de \(k\). D’où :
- si \(k\gt0\), \(f_k\) est strictement croissante, avec \(\lim\limits_{x\to-\infty}f_k(x)=0\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f_k(x)=1\) ;
- si \(k\lt0\), \(f_k\) est strictement décroissante, avec \(\lim\limits_{x\to-\infty}f_k(x)=1\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f_k(x)=0\) ;
- si \(k=0\), \(f_0\) est constante égale à \(\frac{1}{2}\).
1. Première proposition : VRAIE. L’étude ci-dessus montre que, quel que soit \(k\), la fonction \(f_k\) est monotone, prend ses valeurs entre 0 et 1 et que sa courbe passe par \(A(0\,;\frac{1}{2})\) : la propriété générale annoncée est vérifiée pour tout réel \(k\).
2. « Pour tout réel \(k\), la fonction \(f_k\) est croissante » : FAUSSE. Contre-exemple : pour \(k=-1\), \(f_{-1}^{\prime}(x)=\dfrac{-\mathrm{e}^{x}}{(1+\mathrm{e}^{x})^2}\lt0\), donc \(f_{-1}\) est strictement décroissante (c’est aussi le cas de toute fonction \(f_k\) avec \(k\lt0\)).
3. « Pour tout réel \(k\geq\,10\), \(f_k(\frac{1}{2})\gt0{,}99\) » : VRAIE. On a \(f_k(\frac{1}{2})=\dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-k/2}}=g(k)\), où \(g(t)=\dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-t/2}}\). Quand \(t\) augmente, \(\mathrm{e}^{-t/2}\) diminue, donc \(g\) est croissante. Pour \(k\geq\,10\) :
\[f_k(\tfrac{1}{2})=g(k)\geq\, g(10)=\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-5}}\approx0{,}9933\gt0{,}99.\]
Exercice 4 :
Suite définie par récurrence, 5 points
On considère la suite \((v_n)\) définie par \(v_0=1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1}=\dfrac{9}{6-v_n}\).
Partie A
1. Choix de l’algorithme. Parmi les trois algorithmes proposés, celui qui affiche bien les termes successifs de la suite est l’algorithme 3 : il initialise \(v\) à 1, puis, à chaque passage dans la boucle, remplace \(v\) par \(\frac{9}{6-v}\) et affiche la nouvelle valeur. Les deux autres n’enchaînent pas correctement le calcul et l’affichage des termes.
2. Conjecture. Les premiers termes sont \(v_1=1{,}8\), \(v_2\approx2{,}143\), \(v_3\approx2{,}333\), puis \(v_{10}\approx2{,}739\), \(v_{50}\approx2{,}942\) et \(v_{100}\approx2{,}970\). La suite semble croissante et converger vers 3 (les valeurs affichées dépassent \(2{,}97\) sans jamais atteindre 3).
3. a. Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(0\lt v_n\lt3\).
- Initialisation : \(v_0=1\) et \(0\lt1\lt3\) : la propriété est vraie au rang 0.
- Hérédité : supposons \(0\lt v_n\lt3\) pour un entier \(n\). Alors \(-3\lt-v_n\lt0\), puis \(3\lt6-v_n\lt6\). Ces nombres sont strictement positifs et la fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;+\infty[\), donc \(\dfrac{1}{6}\lt\dfrac{1}{6-v_n}\lt\dfrac{1}{3}\). En multipliant par \(9\gt0\) : \(\dfrac{3}{2}\lt v_{n+1}\lt3\), et a fortiori \(0\lt v_{n+1}\lt3\).
- Conclusion : pour tout entier naturel \(n\), \(0\lt v_n\lt3\).
b. Sens de variation. Pour tout \(n\) :
\[v_{n+1}-v_n=\frac{9}{6-v_n}-v_n=\frac{9-6v_n+v_n^2}{6-v_n}=\frac{(3-v_n)^2}{6-v_n}.\]
Le numérateur est strictement positif car \(v_n\neq3\), et \(6-v_n\gt0\) car \(v_n\lt3\). Donc \(v_{n+1}-v_n\gt0\) : la suite \((v_n)\) est strictement croissante.
c. Convergence. La suite \((v_n)\) est croissante et majorée par 3 : d’après le théorème de convergence monotone, elle est convergente (vers une limite inférieure ou égale à 3).
Partie B
Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(w_n=\dfrac{1}{v_n-3}\) (bien défini car \(v_n\neq3\)).
1. \((w_n)\) est arithmétique de raison \(-\frac{1}{3}\). On calcule d’abord
\[v_{n+1}-3=\frac{9}{6-v_n}-3=\frac{9-18+3v_n}{6-v_n}=\frac{3(v_n-3)}{6-v_n},\]
d’où
\[w_{n+1}=\frac{6-v_n}{3(v_n-3)}=\frac{-(v_n-3)+3}{3(v_n-3)}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{v_n-3}=w_n-\frac{1}{3}.\]
La suite \((w_n)\) est arithmétique de raison \(-\frac{1}{3}\) et de premier terme \(w_0=\frac{1}{1-3}=-\frac{1}{2}\).
2. Expressions en fonction de \(n\).
\[w_n=w_0-\frac{n}{3}=-\frac{1}{2}-\frac{n}{3}=-\frac{3+2n}{6}.\]
Comme \(w_n=\dfrac{1}{v_n-3}\), on a \(v_n-3=\dfrac{1}{w_n}\), donc
\[v_n=3+\frac{1}{w_n}=3-\frac{6}{2n+3}.\]
Vérification : \(v_0=3-2=1\) et \(v_1=3-\frac{6}{5}=1{,}8\).
3. Limite. \(\lim\limits_{n\to+\infty}(2n+3)=+\infty\), donc \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{6}{2n+3}=0\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=3\), ce qui confirme la conjecture de la partie A.
