Bac septembre 2022 : maths en France (septembre, jour 1)

Sommaire

Par ailleurs, ce sujet est celui du premier jour de la session de septembre 2022 du bac de spécialité mathématiques en France métropolitaine et aux Antilles-Guyane, posé le 8 septembre 2022. De plus, il s’ouvre sur un QCM de six questions : asymptote d’un quotient d’exponentielles, convexité lue sur la courbe de la dérivée seconde, suite géométrique auxiliaire, théorème des gendarmes et primitive de \(x^2 \ln x\). En outre, le deuxième exercice suit les clients d’un hôtel qui visitent un musée et une grotte de la préhistoire : arbre pondéré, loi de la dépense, espérance, prix d’entrée à fixer et loi binomiale. Le troisième étudie \(\dfrac{\ln x}{x}\) puis une suite récurrente définie avec l’exponentielle. Ensuite, le dernier est un problème de géométrie dans l’espace avec projeté orthogonal et volume d’un tétraèdre. Par ailleurs, le corrigé détaillé de chaque question se trouve après l’énoncé.

De plus, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2022 en France (septembre, jour 1).

En outre, vous préparez le bac de maths 2027 ? Ensuite, Notre page dédiée regroupe tous les sujets officiels de spécialité et leurs corrigés.

Bac septembre 2022 : présentation de l’épreuve

Tout d’abord, ce bac septembre 2022 correspond à l’épreuve de spécialité mathématiques 2022 en France (septembre, jour 1), reproduit ici avec son énoncé complet. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants, chacun noté sur 7 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser la convexité, la dérivation, les suites géométriques et la fonction logarithme népérien. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. De cette façon, vous travaillez exactement le format de l’examen, sans surprise le jour J.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2022
France métropolitaine, Antilles-Guyane — 8 septembre 2022 — Jour 1
Épreuve d’enseignement de spécialité Mathématiques — Durée : 4 heures

Exercice 1 (7 points)

Thèmes : fonctions, suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

1. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[g(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}.\]

La courbe représentative de la fonction \(g\) admet pour asymptote en \(+\infty\) la droite d’équation :

a.	b.	c.	d.
\(x = 2\) ;	\(y = 2\) ;	\(y = 0\) ;	\(x = -1\)

2. On considère une fonction \(f\) définie et deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\).

Ensuite, on appelle \(\mathcal{C}\) sa représentation graphique.

On désigne par \(f^{\prime\prime}\) la dérivée seconde de \(f\).

On a représenté sur le graphique ci-contre la courbe de \(f^{\prime\prime}\), notée \(\mathcal{C}^{\prime\prime}\).

a.	b.	c.	d.
\(\mathcal{C}\) admet un unique point d’inflexion ;	\(f\) est convexe sur l’intervalle \([-1\ ;\ 2]\) ;	\(f\) est convexe sur \(]-\infty\ ;\ -1]\) et sur \([2\ ;\ +\infty[\) ;	\(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 1 du bac septembre 2022 : questions 3 à 6

3. On donne la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0 = 0\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 1\).

La suite \((v_n)\), définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n = u_n – 2\), est :

a.	b.	c.	d.
arithmétique de raison \(-2\) ;	géométrique de raison \(-2\) ;	arithmétique de raison 1 ;	géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\).

4. On considère une suite \((u_n)\) telle que, pour tout entier naturel, on a :

\[1 + (\dfrac{1}{4})^n \leq\, u_n \leq\, 2 – \dfrac{n}{n+1}\]

On peut affirmer que la suite \((u_n)\) :

a.	b.	c.	d.
converge vers 2 ;	converge vers 1 ;	diverge vers \(+\infty\) ;	n’a pas de limite.

5. Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0\ ;\ +\infty[\) par \(f(x) = x^2 \ln x\).

Une primitive \(F\) de \(f\) sur \(]0\ ;\ +\infty[\) est définie par :

a.	b.	c.	d.
\(F(x) = \dfrac{1}{3}x^3(\ln x – \dfrac{1}{3})\) ;	\(F(x) = \dfrac{1}{3}x^3(\ln x – 1)\) ;	\(F(x) = \dfrac{1}{3}x^2\) ;	\(F(x) = \dfrac{1}{3}x^2(\ln x – 1)\).

6. Pour tout réel \(x\), l’expression \(2 + \dfrac{3\text{e}^{-x} – 5}{\text{e}^{-x} + 1}\) est égale à :

a.	b.	c.	d.
\(\dfrac{5 – 3\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}\) ;	\(\dfrac{5 + 3\text{e}^x}{1 – \text{e}^x}\) ;	\(\dfrac{5 + 3\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}\) ;	\(\dfrac{5 – 3\text{e}^x}{1 – \text{e}^x}\).

Exercice 2 (7 points)

Thème : probabilités

Un hôtel situé à proximité d’un site touristique dédié à la préhistoire propose deux visites dans les environs, celle d’un musée et celle d’une grotte.

Une étude a montré que 70 % des clients de l’hôtel visitent le musée. De plus, parmi les clients visitant le musée, 60 % visitent la grotte.

Cette étude montre aussi que 6 % des clients de l’hôtel ne font aucune visite.

On interroge au hasard un client de l’hôtel et on note :

\(M\) l’évènement : « le client visite le musée » ;
\(G\) l’évènement : « le client visite la grotte ».

On note \(\overline{M}\) l’évènement contraire de \(M\), \(\overline{G}\) l’évènement contraire de \(G\), et pour tout évènement \(E\), on note \(p(E)\) la probabilité de \(E\).

Ainsi, d’après l’énoncé, on a : \(p(\overline{M} \cap \overline{G}) = 0{,}06\).

1. a. Vérifier que \(p_{\overline{M}}(\overline{G}) = 0{,}2\), où \(p_{\overline{M}}(\overline{G})\) désigne la probabilité que le client interrogé ne visite pas la grotte sachant qu’il ne visite pas le musée.

b. L’arbre pondéré ci-contre modélise la situation. Recopier et compléter cet arbre en indiquant sur chaque branche la probabilité associée.

c. Quelle est la probabilité de l’évènement « le client visite la grotte et ne visite pas le musée » ?

d. Montrer que \(p(G) = 0{,}66\).

Exercice 2 du bac septembre 2022 : questions 2 à 5

2. Le responsable de l’hôtel affirme que parmi les clients qui visitent la grotte, plus de la moitié visitent également le musée. Cette affirmation est-elle exacte ?

3. Les tarifs pour les visites sont les suivants :

visite du musée : 12 euros ;
visite de la grotte : 5 euros.

On considère la variable aléatoire \(T\) qui modélise la somme dépensée par un client de l’hôtel pour ces visites.

a. Donner la loi de probabilité de \(T\). On présentera les résultats sous la forme d’un tableau.

b. Calculer l’espérance mathématique de \(T\).

c. Pour des questions de rentabilité, le responsable de l’hôtel estime que le montant moyen des recettes des visites doit être supérieur à 700 euros par jour.

Déterminer le nombre moyen de clients par journée permettant d’atteindre cet objectif.

4. Pour augmenter les recettes, le responsable souhaite que l’espérance de la variable aléatoire modélisant la somme dépensée par un client de l’hôtel pour ces visites passe à 15 euros, sans modifier le prix de visite du musée qui demeure à 12 euros.

Quel prix faut-il fixer pour la visite de la grotte afin d’atteindre cet objectif ? (On admettra que l’augmentation du prix d’entrée de la grotte ne modifie pas la fréquentation des deux sites).

5. On choisit au hasard 100 clients de l’hôtel, en assimilant ce choix à un tirage avec remise.

Quelle est la probabilité qu’au moins les trois quarts de ces clients aient visité la grotte à l’occasion de leur séjour à l’hôtel ?

On donnera une valeur du résultat à \(10^{-3}\) près.

Exercice 3 (7 points)

Thèmes : fonctions logarithmes et exponentielles, suites

Partie A

On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([1\ ;\ +\infty[\) par

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x},\]

où \(\ln\) désigne la fonction logarithme népérien.

1. Donner la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

2. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle \([1\ ;\ +\infty[\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

a. Montrer que, pour tout nombre réel \(x \geq\, 1\), \(f^{\prime}(x) = \dfrac{1 – \ln x}{x^2}\).

b. Justifier le tableau de signes suivant, donnant le signe de \(f^{\prime}(x)\) suivant les valeurs de \(x\).

\(x\)	\(1\)		\(\text{e}\)		\(+\infty\)
\(f^{\prime}(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)

c. Dresser le tableau de variations complet de la fonction \(f\).

3. Soit \(k\) un nombre réel positif ou nul.

a. Montrer que, si \(0 \leq\, k \leq\, \dfrac{1}{\text{e}}\), l’équation \(f(x) = k\) admet une unique solution sur l’intervalle \([1\ ;\ \text{e}]\).

b. Si \(k \gt \dfrac{1}{\text{e}}\), l’équation \(f(x) = k\) admet-elle des solutions sur l’intervalle \([1\ ;\ +\infty[\) ?

Justifier.

Partie B

Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[g(x) = \text{e}^{\frac{x}{4}}.\]

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\) :

\(u_{n+1} = \text{e}^{\frac{u_n}{4}}\) c’est-à-dire : \(u_{n+1} = g(u_n)\).

1. Justifier que la fonction \(g\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).

2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, \text{e}\).

3. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

On note \(\ell\) la limite de la suite \((u_n)\) et on admet que \(f\) est solution de l’équation :

\[\text{e}^{\frac{x}{4}} = x.\]

4. En déduire que \(\ell\) est solution de l’équation \(f(x) = \dfrac{1}{4}\), où \(f\) est la fonction étudiée dans la partie A.

5. Donner une valeur approchée à \(10^{-2}\) près de la limite \(\ell\) de la suite \((u_n)\).

Exercice 4 (7 points)

Thème : géométrie dans l’espace

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}\ ;\ \vec{\imath},\ \vec{\jmath},\ \vec{k})\), on considère les points

\[\text{A}(-1\ ;\ -1\ ;\ 3), \qquad \text{B}(1\ ;\ 1\ ;\ 2), \qquad \text{C}(1\ ;\ -1\ ;\ 7)\]

On considère également la droite \(\Delta\) passant par les points \(\text{D}(-1\ ;\ 6\ ;\ 8)\) et \(\text{E}(11\ ;\ -9\ ;\ 2)\).

1. a. Vérifier que la droite \(\Delta\) admet pour représentation paramétrique :

\[\{\begin{array}{l} x = -1 + 4t \\ y = 6 – 5t \\ z = 8 – 2t \end{array}. \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}\]

b. Préciser une représentation paramétrique de la droite \(\Delta^{\prime}\) parallèle à \(\Delta\) et passant par l’origine O du repère.

c. Le point \(\text{F}(1{,}36\ ;\ -1{,}7\ ;\ -0{,}7)\) appartient-il à la droite \(\Delta^{\prime}\) ?

2. a. Montrer que les points A, B et C définissent un plan.

b. Montrer que la droite \(\Delta\) est perpendiculaire au plan (ABC).

c. Montrer qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : \(4x – 5y – 2z + 5 = 0\).

3. a. Montrer que le point \(\text{G}(7\ ;\ -4\ ;\ 4)\) appartient à la droite \(\Delta\).

b. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point G sur le plan (ABC).

c. En déduire que la distance du point G au plan (ABC) est égale à \(3\sqrt{5}\).

4. a. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.

b. Calculer le volume \(V\) du tétraèdre ABCG.

On rappelle que le volume \(V\) d’un tétraèdre est donné par la formule \(V = \dfrac{1}{3} \times B \times h\) où \(B\) est l’aire d’une base et \(h\) la hauteur correspondant à cette base.

Bac septembre 2022 : méthode pour bien s’entraîner

Tout d’abord, lisez l’ensemble du sujet pendant quelques minutes afin de repérer les questions les plus accessibles. Une fois votre copie terminée, comparez-la avec le corrigé détaillé en vous concentrant sur les justifications. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur la convexité ou la dérivation. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à convexité propose un rappel complet.

Les erreurs qui coûtent des points

La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde, pas sur celui de la dérivée : c’est une confusion très courante.
Quand vous dérivez un produit ou un quotient, écrivez les fonctions u et v avant de calculer, puis factorisez pour étudier le signe.
Avec une suite géométrique, contrôlez l’exposant du terme général : il dépend du rang du premier terme (0 ou 1).

Questions fréquentes sur ce bac septembre 2022

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, la convexité, la dérivation et les suites géométriques, mais aussi la fonction logarithme népérien.

Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2022 en France (septembre, jour 1)

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