Sinus : fonctions sinus et cosinus : cours de maths en terminale

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Sinus : fonctions sinus et cosinus : cours de maths en terminale en PDF.

La fonction sinus (sin) et cosinus (cos) à travers un cours de maths en terminale. Dans cette leçon, nous aborderons la définition et la courbe de ces deux fonctions. Le tableau de variation et les propriétés algébriques et la périodicité de ces fonctions.

Vers l’an -150 avant notre ère, Hipparque de Nicée pose les principes de la trigonométrie
pour décrire avec précision la position de certains astres.
Au 2ème siècle, Ptolémée reprend ses travaux et introduit des formules de trigonométrie.
Au 5ème siècle, Aryabhata l’Ancien établit des tables du sinus.
Au 16ème siècle, Georg Joachim Rheticus définit les fonctions trigonométriques dans un triangle
rectangle au lieu d’un cercle. Ensuite, il inspire François Viète qui fait évoluer la trigonométrie vers ce
qu’on en connait aujourd’hui.

Au 17ème siècle, Albert Girard introduit les notations sin et cos, reprises ensuite par Euler. René
Descartes étudie la déviation d’un rayon lumineux à l’aide du sinus.

L’essentiel : Les fonctions cosinus et sinus sont définies sur $\mathbb{R}$ et périodiques de période $2\pi$ ; le cosinus est pair et le sinus impair. Leurs dérivées sont $\cos’=-\sin$ et $\sin’=\cos$. Pour tout réel $x$, $-1\leq\,\cos x\leq\,1$, $-1\leq\,\sin x\leq\,1$ et $\cos^2x+\sin^2x=1$.

I. Étude de la fonction sinus.

1.Propriétés de la fonction sinus.

Propriétés connues de cette fonction :

• La fonction sinus est impaire : pour tout réel $x\in\,\mathbb{R} – sinus$ ,

• Elle est aussi périodique, de période $2\pi – sinus$ : tout réel $x\in\,\mathbb{R} – sinus$ , $sin(x+2\pi)=sin(x) – sinus$ .

Propriété : continuité et dérivabilité de cette fonction.

• Cette fonction est continue sur $\mathbb{R} – sinus$ .
• Elle est également dérivable sur $\mathbb{R} – sinus$ . et pour tout réel x, $sin'(x)\,=\,cos(x) – sinus$ .

2. Étude de la fonction sinus sur l’intervalle $[0;\pi] – sinus$ .

Pour tout réel $x\in\,\mathbb{R} – sinus$ , $sin'(x)\,=\,cos(x) – sinus$ .
Or, $cos(x)\,\geq\,\,\,0$ sur $[0;\frac{\pi}{2}] – sinus$ et $cos(x)\,\leq\,\,\,0$ sur $[\,\frac{\pi}{2};\pi] – sinus$ .

Donc, elle est croissante sur $[0;\frac{\pi}{2}] – sinus$ et décroissante sur $[\,\frac{\pi}{2};\pi] – sinus$ .

Dans un repère d’origine O, une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction sinus en l’origine O est $y\,=\,sin'(0)\,(x\,-\,0)\,+\,0 – sinus$ , c’est-à-dire $y\,=cos(0)x$ , soit $y\,=\,x – sinus$

3. Courbe représentative de la fonction sinus.

La parité de la fonction sinus permet de tracer la courbe sur l’intervalle $[-\pi;\pi]$ .
Puis dans un repère $(O\,;\,\vec{i},\,\vec{j\,}) – sinus$ , d’après sa périodicité, les translations de vecteurs

$-2\pi\vec{i},2\pi\vec{i},...$ permettent de tracer la courbe sur les intervalles $[-\,3\pi;\,\pi] – sinus$ , $[\pi;3\pi]$ .

La courbe de la fonction sinus est appelée une sinusoïde.

II. Étude de la fonction cosinus.

1. Propriétés de la fonction cosinus.

Propriétés connues de la fonction cosinus :

• La fonction cosinus est paire : pour tout réel $x\in\,\mathbb{R} – sinus$ ,

.
• La fonction cosinus est périodique période $2\pi – sinus$ : tout réel $x\in\,\mathbb{R} – sinus$ , $cos(x+2\pi)=cos(x)$ .

Propriété : continuité et dérivabilité de la fonction cosinus.

• La fonction cosinus est continue sur $\mathbb{R} – sinus$ .
• La fonction cosinus est dérivable sur $\mathbb{R} – sinus$ . et pour tout réel $x\in\,\mathbb{R} – sinus$ . $cos'(x)=-\,sin(x)$ .

2. Étude de la fonction cosinus sur l’intervalle $[0;\pi] – sinus$ .

Pour tout réel $x\in\,\mathbb{R} – sinus$ , $cos'(x)\,=\,-\,sin(x) – sinus$ .
Or, $sin(x)\geq\,\,\,0$ sur $[0;\pi] – sinus$ , donc $cos#039;(x)\,\leq\,\,\,0$ sur $[0;\pi] – sinus$ .
Donc, la fonction cosinus est décroissante sur $[0;\pi] – sinus$ .

3. Courbe représentative de la fonction cosinus.

La parité de la fonction cosinus permet de tracer la courbe sur l’intervalle $[-\pi;\pi]$ .
De plus, dans un repère $(O\,;\,\vec{i},\,\vec{j\,}) – sinus$ , d’après la périodicité de la fonction cosinus, les translations de vecteurs $-2\pi\vec{i},2\pi\vec{i},...$ permettent de tracer la courbe sur les intervalles $[-3\pi;-\pi] – sinus$ , $[\pi;3\pi],...$

La courbe représentative $(\varphi\,)$ de la fonction sinus se déduit de celle $(\Gamma\,) – sinus$ de la fonction cosinus par la translation de vecteur $\frac{\pi}{2}\vec{i}$ .

Ainsi, la courbe $(\Gamma\,) – sinus$ est aussi une sinusoïde.

Bien travailler avec sinus

Tout d’abord, repère les définitions et les propriétés encadrées. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. Ensuite, en outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.

Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Fonction (mathématiques) sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec la dérivée d’une fonction : cours de maths en terminale en PDF.

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