Voici le corrigé complet du bac S de mathématiques 2017 passé en métropole en juin 2017, pour les candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité. Le premier exercice porte sur l’étude de la fonction \(x \mapsto x\,\mathrm{e}^{-x}\), la recherche d’une primitive et le calcul d’une aire entre deux courbes, avec un petit algorithme de seuil. Le deuxième est un exercice de géométrie dans l’espace : représentation paramétrique d’une droite orthogonale à un plan et distance d’un point à un plan. Le troisième mêle nombres complexes sous forme exponentielle et loi normale pour repérer des impacts de foudre. Enfin, l’exercice de spécialité est consacré à l’arithmétique : les triangles rectangles presque isocèles, la parité, le théorème de Bézout, une suite définie par une relation matricielle et un raisonnement par récurrence. Chaque réponse est justifiée pas à pas.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Fonction exponentielle, primitive, aire entre deux courbes, algorithme
Partie A
On étudie la fonction \(h\) définie sur \([0\,;+\infty[\) par \(h(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}\).
1. Limite de \(h\) en \(+\infty\).
On écrit \(h(x) = \dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}\). Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^{x}}{x} = +\infty\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^{x}} = 0\).
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} h(x) = 0\) : l’axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe de \(h\) en \(+\infty\).
2. Variations de \(h\).
\(h\) est dérivable sur \([0\,;+\infty[\) comme produit de fonctions dérivables. Avec \(u(x) = x\) et \(v(x) = \mathrm{e}^{-x}\), on a \(u^{\prime}(x) = 1\) et \(v^{\prime}(x) = -\mathrm{e}^{-x}\), d’où :
\[h^{\prime}(x) = \mathrm{e}^{-x} – x\,\mathrm{e}^{-x} = (1-x)\,\mathrm{e}^{-x}.\]
Comme \(\mathrm{e}^{-x} \gt 0\), \(h^{\prime}(x)\) a le signe de \(1-x\) : positif sur \([0\,;1]\), négatif sur \([1\,;+\infty[\). De plus \(h(0) = 0\) et \(h(1) = \mathrm{e}^{-1}\).
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(h^{\prime}(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(h(x)\) | \(0\) | croissante | \(\mathrm{e}^{-1}\) | décroissante | \(0\) |
\(h\) est croissante sur \([0\,;1]\), décroissante sur \([1\,;+\infty[\), et admet un maximum égal à \(\mathrm{e}^{-1} \approx 0{,}368\) en \(x = 1\). On note aussi que \(h(x) \geq\, 0\) pour tout \(x \geq\, 0\).
3. a. Vérifier que \(h(x) = \mathrm{e}^{-x} – h^{\prime}(x)\).
\(\mathrm{e}^{-x} – h^{\prime}(x) = \mathrm{e}^{-x} – (1-x)\,\mathrm{e}^{-x} = \mathrm{e}^{-x} – \mathrm{e}^{-x} + x\,\mathrm{e}^{-x} = x\,\mathrm{e}^{-x} = h(x)\). L’égalité est vérifiée pour tout \(x \geq\, 0\).
b. Une primitive de \(x \mapsto \mathrm{e}^{-x}\).
La dérivée de \(x \mapsto -\mathrm{e}^{-x}\) est \(x \mapsto -(-\mathrm{e}^{-x}) = \mathrm{e}^{-x}\). Donc \(x \mapsto -\mathrm{e}^{-x}\) est une primitive de \(x \mapsto \mathrm{e}^{-x}\).
c. Une primitive \(H\) de \(h\).
D’après la question a, \(h = \mathrm{e}^{-x} – h^{\prime}\). Une primitive de \(\mathrm{e}^{-x}\) est \(-\mathrm{e}^{-x}\) et une primitive de \(h^{\prime}\) est \(h\). Donc une primitive de \(h\) est :
\[H(x) = -\mathrm{e}^{-x} – x\,\mathrm{e}^{-x} = -(x+1)\,\mathrm{e}^{-x}.\]
Vérification : \(H^{\prime}(x) = -\mathrm{e}^{-x} + (x+1)\,\mathrm{e}^{-x} = x\,\mathrm{e}^{-x} = h(x)\). \(H(x) = -(x+1)\,\mathrm{e}^{-x}\).
Partie B
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \([0\,;+\infty[\) par \(f(x) = x\,\mathrm{e}^{-x} + \ln(x+1)\) et \(g(x) = \ln(x+1)\), de courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\). Pour \(x \geq\, 0\), \(M\) et \(N\) sont les points de \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) d’abscisse \(x\).
1. a. Montrer que la longueur \(MN\) est maximale pour \(x = 1\) et donner cette longueur.
\(M\) et \(N\) ont la même abscisse, donc \(MN = |f(x) – g(x)| = |x\,\mathrm{e}^{-x}| = h(x)\), puisque \(h(x) \geq\, 0\). D’après la partie A, \(h\) atteint son maximum en \(x = 1\). La longueur \(MN\) est maximale pour \(x = 1\) et vaut alors \(\mathrm{e}^{-1} \approx 0{,}37\).
b. Sur la figure, on place les points \(M\) et \(N\) d’abscisse 1, avec \(M(1\,;\,\mathrm{e}^{-1} + \ln 2)\) soit environ \((1\,;1{,}06)\), et \(N(1\,;\ln 2)\) soit environ \((1\,;0{,}69)\), puis on trace le segment \([MN]\).
2. Pour \(\lambda \gt 0\), on note \(\mathcal{D}_{\lambda}\) le domaine compris entre \(\mathcal{C}_f\), \(\mathcal{C}_g\) et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = \lambda\), et \(A_{\lambda}\) son aire en unités d’aire.
a. Le domaine \(\mathcal{D}_{\lambda}\) est la région colorée ci-dessous (ici avec \(\lambda = 3{,}5\)) : il est situé entre les deux courbes, de \(x = 0\) à \(x = \lambda\).
b. Démontrer que \(A_{\lambda} = 1 – \dfrac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}}\).
Sur \([0\,;\lambda]\), \(f(x) – g(x) = h(x) \geq\, 0\) : la courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\). L’aire du domaine est donc :
\[A_{\lambda} = \int_0^{\lambda} \big(f(x) – g(x)\big)\,\mathrm{d}x = \int_0^{\lambda} h(x)\,\mathrm{d}x = H(\lambda) – H(0).\]
Or \(H(\lambda) = -(\lambda+1)\,\mathrm{e}^{-\lambda}\) et \(H(0) = -1\), donc :
\[A_{\lambda} = 1 – (\lambda+1)\,\mathrm{e}^{-\lambda} = 1 – \frac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}}.\]
c. Limite de \(A_{\lambda}\) quand \(\lambda\) tend vers \(+\infty\) et interprétation.
\(\dfrac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}} = \dfrac{\lambda}{\mathrm{e}^{\lambda}} + \dfrac{1}{\mathrm{e}^{\lambda}}\). Par croissances comparées, \(\dfrac{\lambda}{\mathrm{e}^{\lambda}}\) tend vers 0, et \(\dfrac{1}{\mathrm{e}^{\lambda}}\) tend vers 0. Donc \(\displaystyle\lim_{\lambda \to +\infty} A_{\lambda} = 1\).
Interprétation : l’aire du domaine illimité compris entre les deux courbes, à droite de l’axe des ordonnées, vaut 1 unité d’aire (les deux courbes se rapprochent de plus en plus, et l’aire totale reste finie).
3. On considère l’algorithme qui part de \(\lambda = 0\) et augmente \(\lambda\) de 1 tant que \(A_{\lambda} \lt S\), puis affiche \(\lambda\).
a. Valeur affichée pour \(S = 0{,}8\).
On calcule les aires successives avec la formule de la question 2b :
| \(\lambda\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(A_{\lambda}\) | \(0\) | \(1 – 2\mathrm{e}^{-1} \approx 0{,}264\) | \(1 – 3\mathrm{e}^{-2} \approx 0{,}594\) | \(1 – 4\mathrm{e}^{-3} \approx 0{,}801\) |
Pour \(\lambda = 2\), \(A_2 \approx 0{,}594 \lt 0{,}8\), la boucle continue ; pour \(\lambda = 3\), \(A_3 \approx 0{,}8009 \geq\, 0{,}8\), la boucle s’arrête. L’algorithme affiche 3.
b. Rôle de l’algorithme.
La suite des aires \(A_{\lambda}\) est croissante (le domaine s’agrandit) et tend vers 1. Pour un nombre \(S\) de \(]0\,;1[\), l’algorithme renvoie le plus petit entier \(\lambda\) tel que \(A_{\lambda} \geq\, S\), c’est-à-dire la plus petite borne entière pour laquelle l’aire entre les courbes dépasse \(S\).
Exercice 2 :
Géométrie dans l’espace, distance d’un point à un plan
L’espace est muni d’un repère orthonormé. On considère le plan \(\mathcal{P}\) d’équation \(2x – z – 3 = 0\) et, pour un réel \(a\), le point \(A(1\,;a\,;a^{2})\).
1. Justifier que, quel que soit \(a\), le point \(A\) n’appartient pas à \(\mathcal{P}\).
On remplace les coordonnées de \(A\) dans l’équation du plan : \(2 \times 1 – a^{2} – 3 = -a^{2} – 1\). On aurait \(A \in \mathcal{P}\) si et seulement si \(-a^{2} – 1 = 0\), c’est-à-dire \(a^{2} = -1\). C’est impossible pour un réel \(a\), car un carré est positif. Donc \(A\) n’appartient jamais au plan \(\mathcal{P}\).
2. a. Représentation paramétrique de la droite \(\mathcal{D}\) passant par \(A\) et orthogonale à \(\mathcal{P}\).
D’après l’équation \(2x + 0y – z – 3 = 0\), le vecteur \(\vec{n}(2\,;0\,;-1)\) est normal à \(\mathcal{P}\). La droite \(\mathcal{D}\), orthogonale au plan, est dirigée par \(\vec{n}\) et passe par \(A\) :
\[\mathcal{D} : \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = a \\ z = a^{2} – t \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}.\]
b. Soit \(M\) le point de \(\mathcal{D}\) de paramètre \(t\). Exprimer \(AM\) en fonction de \(t\).
\(\vec{AM}\) a pour coordonnées \((2t\,;0\,;-t)\), donc \(AM^{2} = (2t)^{2} + 0^{2} + (-t)^{2} = 5t^{2}\), et \(AM = \sqrt{5}\,|t|\).
3. \(H\) est le point d’intersection de \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{P}\) (projeté orthogonal de \(A\) sur \(\mathcal{P}\)) ; \(AH\) est la distance de \(A\) au plan. Existe-t-il une valeur de \(a\) rendant cette distance minimale ?
Le point de \(\mathcal{D}\) de paramètre \(t\) est dans \(\mathcal{P}\) si et seulement si :
\[2(1 + 2t) – (a^{2} – t) – 3 = 0 \iff 5t – a^{2} – 1 = 0 \iff t = \frac{a^{2}+1}{5}.\]
Le point \(H\) correspond à ce paramètre. D’après la question 2b :
\[AH = \sqrt{5} \times \frac{a^{2}+1}{5} = \frac{a^{2}+1}{\sqrt{5}}.\]
Comme \(a^{2} \geq\, 0\), on a \(AH \geq\, \dfrac{1}{\sqrt{5}}\), avec égalité si et seulement si \(a = 0\). Oui : la distance \(AH\) est minimale pour \(a = 0\), et elle vaut alors \(\dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5} \approx 0{,}447\).
Exercice 3 :
Nombres complexes et loi normale : repérage d’impacts de foudre
Un capteur placé au point \(O\) repère chaque impact de foudre par sa distance \(r\) à \(O\) (en km) et un angle \(\theta\) (en radians). La zone est découpée en huit secteurs angulaires de \(\dfrac{\pi}{4}\), notés A à H dans le sens direct à partir de l’axe des réels, et en couronnes de 20 km numérotées de 1 à 5. Un point d’affixe \(z = r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\) a donc pour « adresse » une lettre (liée à \(\theta\)) et un chiffre (lié à \(r\)).
Partie A
1. Question à choix multiple sur la description d’un secteur : la bonne réponse est la proposition C, la seule qui encadre à la fois le module (distance à \(O\)) et l’argument (direction) conformément au découpage ci-dessus.
2. a. Secteur d’un impact situé à 70 km de \(O\) dans la direction \(-\dfrac{\pi}{3}\).
Pour l’angle : \(-\dfrac{\pi}{2} \lt -\dfrac{\pi}{3} \lt -\dfrac{\pi}{4}\), ce qui correspond au secteur angulaire G. Pour la distance : \(60 \lt 70 \lt 80\), ce qui correspond à la couronne 4. L’impact est dans le secteur G4.
b. Secteur de l’impact d’affixe \(z = -45\sqrt{3} + 45\mathrm{i}\).
Module : \(|z| = \sqrt{(45\sqrt{3})^{2} + 45^{2}} = \sqrt{6075 + 2025} = \sqrt{8100} = 90\). On factorise :
\[z = 90(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\,\mathrm{i}) = 90(\cos\frac{5\pi}{6} + \mathrm{i}\sin\frac{5\pi}{6}) = 90\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}.\]
Or \(\dfrac{3\pi}{4} \lt \dfrac{5\pi}{6} \lt \pi\) (secteur D) et \(80 \lt 90 \lt 100\) (couronne 5). L’impact est dans le secteur D5.
Partie B
La distance \(M\) (en km) d’un impact au capteur suit la loi normale de moyenne \(\mu = 50\) et d’écart type \(\sigma = 5\) ; l’angle \(T\) suit une loi normale de moyenne \(\dfrac{\pi}{3}\) et d’écart type \(\dfrac{\pi}{12}\), et \(M\), \(T\) sont indépendantes.
1. Calcul de \(P(M \lt 0)\) et interprétation.
À la calculatrice, \(P(M \lt 0) \approx 7{,}6 \times 10^{-24}\), soit \(P(M \lt 0) \approx 0{,}000\) à \(10^{-3}\) près. La valeur 0 est à \(10\) écarts types de la moyenne : une distance négative, qui n’aurait aucun sens, est pratiquement impossible. Le modèle normal est donc acceptable pour une distance.
2. Probabilité que la distance soit comprise entre 40 et 60 km.
\(40 = \mu – 2\sigma\) et \(60 = \mu + 2\sigma\), donc \(P(40 \lt M \lt 60) = P(\mu – 2\sigma \lt M \lt \mu + 2\sigma) \approx 0{,}954\).
3. Probabilité que l’impact ait un angle dans \(]\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{\pi}{2}[\) et une distance dans \(]40\,;60[\).
À la calculatrice, \(P(\dfrac{\pi}{4} \lt T \lt \dfrac{\pi}{2}) \approx 0{,}8186\) (cela revient à \(P(-1 \lt Z \lt 2)\) pour une variable \(Z\) de loi normale centrée réduite). Les variables \(M\) et \(T\) étant indépendantes :
\[P(\frac{\pi}{4} \lt T \lt \frac{\pi}{2} \ \text{et}\ 40 \lt M \lt 60) = P(\frac{\pi}{4} \lt T \lt \frac{\pi}{2}) \times P(40 \lt M \lt 60) \approx 0{,}8186 \times 0{,}9545.\]
La probabilité cherchée vaut environ 0,781.
Exercice 4 :
Enseignement de spécialité : arithmétique, matrices et récurrence
Un triangle rectangle presque isocèle (TRPI) est un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit ont pour longueurs les entiers consécutifs \(x\) et \(x+1\), et dont l’hypoténuse a pour longueur un entier \(y\) (avec \(x \geq\, 1\)).
Partie A
1. Montrer que \((x\,;y)\) définit un TRPI si et seulement si \(y^{2} = 2x^{2} + 2x + 1\).
D’après le théorème de Pythagore (et sa réciproque), le triangle de côtés \(x\), \(x+1\), \(y\) est rectangle d’hypoténuse \(y\) si et seulement si :
\[y^{2} = x^{2} + (x+1)^{2} = x^{2} + x^{2} + 2x + 1 = 2x^{2} + 2x + 1.\]
2. Trouver un TRPI dont les côtés sont inférieurs à 10.
- \(x = 1\) : \(y^{2} = 5\), qui n’est pas un carré parfait ;
- \(x = 2\) : \(y^{2} = 13\), qui n’est pas un carré parfait ;
- \(x = 3\) : \(y^{2} = 25\), d’où \(y = 5\).
Le triangle de côtés 3, 4 et 5 est un TRPI.
3. a. Montrer que si \(n^{2}\) est impair, alors \(n\) est impair.
On raisonne par contraposée : si \(n\) est pair, \(n = 2k\) avec \(k\) entier, donc \(n^{2} = 4k^{2} = 2(2k^{2})\) est pair. Ainsi, si \(n^{2}\) est impair, \(n\) ne peut pas être pair : \(n\) est impair.
b. Montrer que, dans un TRPI, l’hypoténuse \(y\) est impaire.
\(y^{2} = 2x^{2} + 2x + 1 = 2(x^{2} + x) + 1\) est impair. D’après la question a, \(y\) est impair.
4. Montrer que \(x\) et \(y\) sont premiers entre eux.
De \(y^{2} = 2x^{2} + 2x + 1\), on tire \(y^{2} – 2x^{2} – 2x = 1\), c’est-à-dire :
\[y \times y + x \times (-2x – 2) = 1.\]
On a trouvé deux entiers \(u = y\) et \(v = -2x-2\) tels que \(uy + vx = 1\). D’après le théorème de Bézout, \(x\) et \(y\) sont premiers entre eux.
Partie B
On définit les suites \((x_n)\) et \((y_n)\) par \(x_0 = 3\), \(y_0 = 5\) et, pour tout entier naturel \(n\), la relation matricielle \(\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 2 \\ 4 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\).
1. Exprimer \(x_{n+1}\) et \(y_{n+1}\) en fonction de \(x_n\) et \(y_n\).
En effectuant le produit matriciel puis la somme :
\[\begin{cases} x_{n+1} = 3x_n + 2y_n + 1 \\ y_{n+1} = 4x_n + 3y_n + 2 \end{cases}\]
2. a. On pose \(x^{\prime} = 3x + 2y + 1\) et \(y^{\prime} = 4x + 3y + 2\). Montrer que \({y^{\prime}}^{2} – 2x^{\prime}(x^{\prime}+1) = y^{2} – 2x(x+1)\).
D’une part, \({y^{\prime}}^{2} = (4x + 3y + 2)^{2} = 16x^{2} + 9y^{2} + 4 + 24xy + 16x + 12y\).
D’autre part, \(x^{\prime} + 1 = 3x + 2y + 2\), donc :
\[x^{\prime}(x^{\prime}+1) = (3x + 2y + 1)(3x + 2y + 2) = 9x^{2} + 4y^{2} + 12xy + 9x + 6y + 2.\]
En soustrayant le double de cette expression :
\[{y^{\prime}}^{2} – 2x^{\prime}(x^{\prime}+1) = (16 – 18)x^{2} + (9 – 8)y^{2} + (24 – 24)xy + (16 – 18)x + (12 – 12)y + (4 – 4) = y^{2} – 2x^{2} – 2x.\]
Donc \({y^{\prime}}^{2} – 2x^{\prime}(x^{\prime}+1) = y^{2} – 2x(x+1)\).
b. En déduire que si \((x\,;y)\) définit un TRPI, alors \((x^{\prime}\,;y^{\prime})\) aussi.
Si \((x\,;y)\) définit un TRPI, alors \(y^{2} = 2x^{2} + 2x + 1\), c’est-à-dire \(y^{2} – 2x(x+1) = 1\). D’après la question a, \({y^{\prime}}^{2} – 2x^{\prime}(x^{\prime}+1) = 1\), soit \({y^{\prime}}^{2} = 2{x^{\prime}}^{2} + 2x^{\prime} + 1\). De plus \(x^{\prime}\) et \(y^{\prime}\) sont des entiers naturels non nuls (sommes et produits d’entiers positifs). D’après la partie A, \((x^{\prime}\,;y^{\prime})\) définit aussi un TRPI.
3. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \((x_n\,;y_n)\) définit un TRPI.
- Initialisation : \((x_0\,;y_0) = (3\,;5)\) définit un TRPI d’après la question A2 (\(5^{2} = 25 = 2 \times 9 + 6 + 1\)).
- Hérédité : supposons que \((x_n\,;y_n)\) définit un TRPI pour un entier \(n\) donné. Comme \(x_{n+1}\) et \(y_{n+1}\) s’obtiennent à partir de \(x_n\) et \(y_n\) exactement comme \(x^{\prime}\) et \(y^{\prime}\) à partir de \(x\) et \(y\), la question 2b montre que \((x_{n+1}\,;y_{n+1})\) définit aussi un TRPI.
- Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc pour tout \(n\), \((x_n\,;y_n)\) définit un TRPI.
4. Déterminer un TRPI dont les côtés sont supérieurs à 2017.
On calcule les termes successifs avec les relations de la question 1 :
| \(n\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x_n\) | \(3\) | \(20\) | \(119\) | \(696\) | \(4059\) |
| \(y_n\) | \(5\) | \(29\) | \(169\) | \(985\) | \(5741\) |
La suite \((x_n)\) est croissante et \(x_4 = 4059 \gt 2017\). Le triangle de côtés 4059, 4060 et 5741 est un TRPI dont tous les côtés dépassent 2017. Vérification : \(4059^{2} + 4060^{2} = 16\,475\,481 + 16\,483\,600 = 32\,959\,081 = 5741^{2}\).
