Sujet Sud 2025 : sujet de maths en Amérique du Sud (jour 2)

Sommaire

En outre, Voici le sujet du bac de spécialité mathématiques 2025 en Amérique du Sud, jour 2, posé le 14 novembre 2025, avec l’énoncé complet et un corrigé détaillé de chaque question sur une page dédiée. Le premier exercice part du service d’un joueur de tennis (arbre pondéré, indépendance) puis contrôle des balles en usine avec une loi binomiale et l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Ensuite, le deuxième est un QCM de géométrie dans l’espace : droites, plans et points coplanaires. Par ailleurs, le troisième étudie une suite définie avec le logarithme népérien, un tableur, une récurrence et un seuil en Python. De plus, le dernier relie un dénombrement sur des équations du second degré, une équation différentielle et l’étude complète d’une fonction avec exponentielle, jusqu’au calcul d’une intégrale.

En outre, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2025 en Amérique du Sud (jour 2).

Ensuite, vous préparez le bac de maths 2027 ? Par ailleurs, Notre page dédiée regroupe tous les sujets officiels de spécialité et leurs corrigés.

Sujet Sud 2025 : le sujet en un coup d’œil

Avant tout, précisons que ce sujet Sud 2025 reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2025 en Amérique du Sud (jour 2) dans sa version intégrale. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 6, 4, 4 et 6 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et la géométrie dans l’espace. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2025
Mathématiques — Jour 2
Amérique du Sud — 14 novembre 2025
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (6 points)

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à \(10^{-3}\) près en cas de besoin.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes l’une de l’autre.

Partie A

Au tennis, le joueur qui est au service peut, en cas d’échec lors du premier service, servir une deuxième balle.

En match, Abel réussit son premier service dans 70 % des cas. Lorsque le premier service est réussi, il gagne le point dans 80 % des cas.

En revanche, après un échec à son premier service, Abel gagne le point dans 45 % des cas.

Abel est au service.

On considère les évènements suivants :

\(S\) : « Abel réussit son premier service »
\(G\) : « Abel gagne le point ».

1. Décrire l’évènement \(S\) puis traduire la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer \(P(S \cap G)\).

3. Justifier que la probabilité de l’évènement \(G\) est égale à \(0{,}695\).

4. Abel a gagné le point. Quelle est la probabilité qu’il ait réussi son premier service ?

5. Les évènements \(S\) et \(G\) sont-ils indépendants ? Justifier.

Partie B

À la sortie d’une usine de fabrication de balles de tennis, une balle est jugée conforme dans 85 % des cas.

1. On teste successivement 20 balles. Par ailleurs, on considère que le nombre de balles est suffisamment grand pour assimiler ces tests à un tirage avec remise. On note \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de balles conformes parmi les 20 testées.

a. Quelle est la loi suivie par \(X\) et quels sont ses paramètres ? Justifier.

b. Calculer \(P(X \leq\, 18)\).

c. Quelle est la probabilité qu’au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les 20 balles testées ?

d. Déterminer l’espérance de \(X\).

2. On teste maintenant \(n\) balles successivement. De plus, on considère les \(n\) tests comme un échantillon de \(n\) variables aléatoires \(X\) indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre \(0{,}85\).

On considère la variable aléatoire

\[M_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{X_i}{n} = \dfrac{X_1}{n} + \dfrac{X_2}{n} + \dfrac{X_3}{n} + \ldots + \dfrac{X_n}{n}\]

a. Déterminer l’espérance et la variance de \(M_n\).

b. Après avoir rappelé l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(P(0{,}75 \lt M_n \lt 0{,}95) \geq\, 1 – \dfrac{12{,}75}{n}\).

c. En déduire un entier \(n\) tel que la moyenne du nombre de balles conformes pour un échantillon de taille \(n\) appartienne à l’intervalle \(]0{,}75~;~0{,}95[\) avec une probabilité supérieure à \(0{,}9\).

Exercice 2 (4 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie.

Aucune justification n’est demandée.

Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point.

Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Dans toutes les questions suivantes, l’espace est rapporté à un repère orthonormé.

1. On considère la droite \(\Delta_1\) de représentation paramétrique \(\{\begin{array}{l}x = 1 – 3t\\ y = 4 + 2t\\ z = t\end{array}.\), où \(t \in \mathbb{R}\) ainsi que la droite \(\Delta_2\) de représentation paramétrique \(\{\begin{array}{l}x = -4 + s\\ y = 2 + 2s\\ z = -1 + s\end{array}.\), où \(s \in \mathbb{R}\).

a. Les droites \(\Delta_1\) et \(\Delta_2\) sont parallèles.

b. Les droites \(\Delta_1\) et \(\Delta_2\) sont orthogonales.

c. Les droites \(\Delta_1\) et \(\Delta_2\) sont sécantes.

2. On considère la droite \(d\) de représentation paramétrique \(\{\begin{array}{l}x = 1 + t\\ y = 3 – t\\ z = 1 + 2t\end{array}.\), où \(t \in \mathbb{R}\), et le plan \(P\) d’équation cartésienne : \(4x + 2y – z + 3 = 0\).

a. La droite \(d\) est incluse dans le plan \(P\).

b. La droite \(d\) est parallèle strictement au plan \(P\).

c. La droite \(d\) est sécante au plan \(P\).

Exercice 2 du sujet Sud 2025 : questions 3 à 4

3. On considère les points \(\text{A}(3~;~2~;~1)\), \(\text{B}(7~;~3~;~1)\), \(\text{C}(-1~;~4~;~5)\) et \(\text{D}(-3~;~3~;~5)\).

a. Les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

b. Les points A, B et C sont alignés.

c. \(\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{CD}}\) sont colinéaires.

4. On considère les plans \(Q\) et \(Q^{\prime}\) d’équation cartésienne respective \(3x – 2y + z + 1 = 0\) et \(4x + y – z + 3 = 0\).

a. Le point \(\text{R}(1~;~1~;~-2)\) appartient aux deux plans.

b. Les deux plans sont orthogonaux.

c. Les deux plans sont sécants avec pour intersection la droite de représentation paramétrique \(\{\begin{array}{l}x = t\\ y = 7t + 4\\ z = 11t + 7\end{array}.\), où \(t \in \mathbb{R}\).

Exercice 3 (4 points)

On considère les suites \((v_n)\) et \((w_n)\) définies pour tout entier naturel \(n\) par :

\[\{\begin{array}{l}v_0 = \ln(4)\\ v_{n+1} = \ln(-1 + 2\text{e}^{v_n})\end{array}. \qquad \text{et} \qquad w_n = -1 + \text{e}^{v_n}.\]

On admet que la suite \((v_n)\) est bien définie et strictement positive.

1. Donner les valeurs exactes de \(v_1\) et \(w_0\).

2. a. Une partie d’une feuille de calcul où figurent les indices et les termes des suites \((v_n)\) et \((w_n)\) est reproduite ci-dessous.

	A	B	C
1	\(n\)	\(v_n\)	\(w_n\)
2	0	1,386 294 36	3
3	1	1,945 910 15	6
4	2	2,564 949 36	12
5	3	3,218 875 82	24
6	4	3,891 820 3	48
7	5	4,574 710 98	96
8	6	5,262 690 19	192
9	7	5,953 243 33	384
10	8	6,645 090 97	768
11	9	7,337 587 74	1 536
12	10	8,030 409 56	3 072
13	11	8,723 394 02	6 144
14	12	9,416 459 83	12 288
15	13	10,109 566 3	24 576
16	14	10,802 693 2	49 152
17	15	11,495 830 2	98 304
18	16	12,188 972 3	196 608
19	17	12,882 116 9	393 216

Parmi les trois formules ci-dessous, choisir la formule qui, saisie dans la cellule B3 puis recopiée vers le bas, permettra d’obtenir les valeurs de la suite \((v_n)\) dans la colonne B.

Exercice 3 du sujet Sud 2025 : questions 3 à 4

Formule 1	LN(−1 + 2 * EXP(B2))
Formule 2	= LN(−1 + 2 * EXP(B2))
Formule 3	= LN(−1 + 2 * EXP(A2))

b. Conjecturer le sens de variation de la suite \((v_n)\).

c. À l’aide d’un raisonnement par récurrence, valider votre conjecture concernant le sens de variation de la suite \((v_n)\).

3. a. Démontrer que la suite \((w_n)\) est géométrique.

b. En déduire que pour tout entier naturel \(n\), \(v_n = \ln(1 + 3 \times 2^n)\).

c. Déterminer la limite de la suite \((v_n)\).

4. Justifier que l’algorithme suivant écrit en langage Python renvoie un résultat quel que soit le choix de la valeur du nombre S.

from math import*
def seuil(S):
    V=ln(4)
    n=0
    while V < S :
        n=n+1
        V=ln(2*exp(V)-1)
    return(n)

Exercice 4 (6 points)

Partie A : dénombrement

On considère l’ensemble des nombres entiers relatifs non nuls compris entre \(-30\) et \(30\) ; cet ensemble peut s’écrire ainsi : \(\{-30~;~-29~;~-28~;~\ldots~;~-1~;~1~;~\ldots~;~28~;~29~;~30\}\). Il comporte 60 éléments.

On choisit dans cet ensemble successivement et sans remise un entier relatif \(a\) puis un entier relatif \(c\).

1. Combien de couples \((a~;~c)\) différents peut-on ainsi obtenir ?

On considère l’évènement \(M\) : « l’équation \(ax^2 + 2x + c = 0\) possède deux solutions réelles distinctes », où \(a\) et \(c\) sont les entiers relatifs précédemment choisis.

2. Montrer que l’évènement \(M\) a lieu si et seulement si \(ac \lt 1\).

3. Expliquer pourquoi l’évènement contraire \(\overline{M}\) comporte 1 740 issues.

4. Quelle est la probabilité de l’évènement \(M\) ? On arrondira le résultat à \(10^{-2}\).

Partie B : équation différentielle

On considère l’équation différentielle

\[(E) :\quad y^{\prime} + 10y = (30x^2 + 22x – 8)\text{e}^{-5x+1} \quad \text{avec} \quad x \in \mathbb{R}\]

où \(y\) est une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

1. Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation différentielle : \(y^{\prime} + 10y = 0\).

2. Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x) = (6x^2 + 2x – 2)\text{e}^{-5x+1}.\]

On admet que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(f^{\prime}\) la fonction dérivée de la fonction \(f\).

Justifier que \(f\) est une solution particulière de \((E)\).

3. Donner l’expression de toutes les solutions de \((E)\).

Partie C : étude de fonction

On propose d’étudier dans cette partie la fonction \(f\) rencontrée à la partie B question 2.

En outre, on rappelle que, pour tout réel \(x\), \(f(x) = (6x^2 + 2x – 2)\text{e}^{-5x+1}\).

On note \(f^{\prime}\) la fonction dérivée de la fonction \(f\). On appelle \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère du plan.

1. On admet que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\).

Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(-\infty\)

2. En utilisant la partie A, montrer que \(\mathcal{C}_f\) coupe l’axe des abscisses en deux points (les coordonnées de ces points ne sont pas attendues).

3. En utilisant les parties A et B, montrer que \(\mathcal{C}_f\) possède deux tangentes horizontales.

4. Dresser le tableau de variation complet de la fonction \(f\).

5. Déterminer en justifiant le nombre de solution(s) de l’équation \(f(x) = 1\).

6. Pour tout réel \(m\) strictement supérieur à \(0{,}2\), on définit \(I_m\) par \(I_m = \displaystyle\int_{0{,}2}^m f(x)\,\text{d}x\).

a. Vérifier que la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[F(x) = (-\dfrac{6}{5}x^2 – \dfrac{22}{25}x + \dfrac{28}{125})\text{e}^{-5x+1}\]

est une primitive de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

b. Existe-t-il une valeur de \(m\) pour laquelle \(I_m = 0\) ?

Interpréter graphiquement ce résultat.

Sujet Sud 2025 : conseils de révision

D’abord, imprimez le sujet ou gardez-le à l’écran et traitez les exercices dans l’ordre qui vous convient, en temps limité. Ensuite, confrontez votre copie avec le corrigé détaillé et notez chaque argument oublié. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment les probabilités conditionnelles ou la loi binomiale, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. En complément, l’article probabilités conditionnelles de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.

Points de vigilance

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Pour l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, vérifiez d’abord que l’intervalle est bien centré sur l’espérance, sinon la majoration ne s’applique pas telle quelle.

Sujet Sud 2025 : questions fréquentes

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, mais aussi la géométrie dans l’espace.

Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2025 en Amérique du Sud (jour 2)

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