Abordez la maths spé avec 26 chapitres structurés : pour chacun, une leçon détaillée, une série d’exercices et leurs solutions complètes en PDF. L’ensemble respecte le programme de MP, qui vaut aussi pour la MPI. Les étudiants de PC et de PSI y trouveront l’essentiel de leurs notions d’analyse et de probabilités. Tous les documents reprennent les notations officielles et le vocabulaire attendu par les jurys.
Ce que contient le programme de deuxième année
Le texte officiel, applicable depuis la rentrée 2022, ne fixe pas de semestres. Il laisse le professeur libre de l’ordre des sections. Néanmoins, une progression usuelle s’est imposée dans la plupart des lycées, et c’est elle que suit cette page. Elle regroupe l’algèbre et l’analyse à l’automne, puis réserve le printemps aux probabilités et aux outils géométriques.
Le premier semestre concentre l’algèbre générale et l’essentiel de l’analyse. D’une part, les groupes monogènes, les idéaux et l’anneau Z/nZ prolongent les structures vues en première année. D’autre part, la réduction des endomorphismes occupe plusieurs semaines : éléments propres, diagonalisation, trigonalisation, théorème de Cayley-Hamilton. Ensuite, la topologie des espaces normés fournit un cadre commun pour la suite. Elle prépare les suites et séries de fonctions, les séries entières, les intégrales généralisées et la convergence dominée. Les intégrales à paramètre ferment ce bloc.
Au second semestre, les probabilités discrètes élargissent le cadre fini de l’an passé. Vous rencontrez les ensembles dénombrables, les lois géométrique et de Poisson, la loi faible des grands nombres et les fonctions génératrices. Puis l’algèbre euclidienne culmine avec l’adjoint, les isométries et le théorème spectral. Enfin, les équations différentielles linéaires, l’exponentielle de matrice et le calcul différentiel terminent l’année, juste avant les écrits.
Ce découpage n’a rien d’arbitraire. La topologie arrive tôt parce qu’elle sert ensuite à toute l’analyse. De même, la réduction précède l’algèbre euclidienne, qui en offre un cas particulier remarquable.
Qu’est-ce qui change en maths spé par rapport à la sup ? Surtout la densité. Les objets deviennent plus abstraits et chaque théorème mobilise plusieurs chapitres à la fois. Ainsi, une question de concours peut croiser réduction, séries entières et probabilités dans le même problème. Le temps disponible, lui, se réduit : les concours commencent dès avril. Il faut donc apprendre vite, mais aussi retenir longtemps.
Les chapitres, un par un
Arithmétique
-
Anneaux, idéaux, Z/nZ et algèbres
produit fini d'anneaux, idéal d'un anneau commutatif, idéal engendré par un élément, divisibilité dans un anneau intègre, noyau d'un morphisme, idéaux de Z, PGCD en termes d'idéaux, anneau Z/nZ, inversibles de Z/nZ, corps F_p
Algèbre et algèbre linéaire
-
Compléments sur les groupes : groupes monogènes et ordre
intersection de sous-groupes, sous-groupe engendré par une partie, partie génératrice d'un groupe, sous-groupes du groupe (Z, +), groupe (Z/nZ, +) et ses générateurs, groupe monogène, groupe cyclique
-
Éléments propres et polynôme caractéristique
somme directe d'une famille finie de sous-espaces, projecteurs associés, matrices définies par blocs, opérations par blocs, déterminant d'une matrice triangulaire par blocs, sous-espace stable, endomorphisme induit, valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre, spectre
-
Diagonalisation, trigonalisation et nilpotence
endomorphisme et matrice diagonalisables, caractérisation par la somme des sous-espaces propres, cas de n valeurs propres distinctes, critère : polynôme caractéristique scindé et dimensions égales aux multiplicités, endomorphisme et matrice trigonalisables
-
Polynômes d'endomorphismes et Cayley-Hamilton
morphisme d'algèbres P ↦ P(u), idéal annulateur, sous-algèbre K[u], polynôme minimal d'un endomorphisme, d'une matrice, base (u^k) de K[u], degré du polynôme minimal, valeurs propres et racines d'un polynôme annulateur
-
Endomorphismes autoadjoints et théorème spectral
endomorphisme autoadjoint (symétrique), u* = u, caractérisation par la matrice symétrique en base orthonormée, les projecteurs orthogonaux sont les projecteurs autoadjoints, théorème spectral, diagonalisation orthogonale des matrices symétriques réelles
Analyse
-
Séries numériques et vectorielles
séries à valeurs dans un espace normé de dimension finie, sommes partielles, somme, restes, divergence grossière, lien suite-série, séries télescopiques, séries absolument convergentes, technique de comparaison série-intégrale
-
Suites de fonctions : convergence simple et uniforme
convergence simple d'une suite de fonctions, convergence uniforme, interprétation par la norme infinie, la convergence uniforme entraîne la convergence simple, continuité d'une limite uniforme, convergence uniforme locale, sur tout segment
-
Séries de fonctions
convergence simple et convergence uniforme d'une série de fonctions, convergence uniforme et restes, convergence normale, elle implique la convergence uniforme, continuité de la somme, théorème de la double limite pour les séries
-
Séries entières
série entière, lemme d'Abel, rayon de convergence, disque et intervalle ouverts de convergence, comparaison des rayons (O, o, équivalence), règle de d'Alembert pour le rayon, somme et produit de Cauchy de deux séries entières
-
Fonctions vectorielles d'une variable réelle
dérivabilité en un point, à droite, à gauche, par coordonnées, dérivée de L(f) pour L linéaire, dérivée de B(f, g) pour B bilinéaire, de M(f_1, …, f_p) multilinéaire, cas du produit scalaire et du déterminant, dérivée de f ∘ φ
-
Intégrales généralisées et fonctions intégrables
intégrale convergente sur [a, +∞[, sur un intervalle quelconque, intégrales de Riemann, intégrale de e^{−at}, cas des fonctions positives, théorème de comparaison, fonction intégrable, intégrale absolument convergente, espace L¹(I, K) des fonctions intégrables
-
Convergence dominée et intégration terme à terme
théorème de convergence dominée, hypothèse de domination par une fonction intégrable, extension à une famille à paramètre réel, intégration terme à terme d'une série de fonctions positives, théorème d'intégration terme à terme (condition Σ∫|f_n| < +∞)
-
Intégrales à paramètre
fonction définie par une intégrale à paramètre, théorème de continuité sous hypothèse de domination, domination sur tout segment ou sur des intervalles adaptés, théorème de dérivation sous le signe intégrale (classe C^1), extension à la classe C^k
-
Équations différentielles linéaires
équation différentielle linéaire x' = a(t)·x + b(t), forme matricielle X' = A(t)X + B(t), problème de Cauchy, mise sous forme intégrale, représentation d'une équation scalaire d'ordre n par un système, théorème de Cauchy linéaire, structure de l'ensemble des solutions, dimension de l'espace des solutions homogènes
-
Exponentielle de matrice et systèmes différentiels
exponentielle d'un endomorphisme, d'une matrice, exponentielle d'une matrice diagonale, de matrices semblables, spectre de exp(A), continuité de l'exponentielle, dérivation de t ↦ exp(tA)
Topologie
-
Normes, espaces vectoriels normés et suites
norme, espace vectoriel normé, distance associée, boules ouvertes, boules fermées, sphères, parties convexes, parties, suites et fonctions bornées, normes ‖·‖₁, ‖·‖₂, ‖·‖∞ sur K^n, norme de la convergence uniforme
-
Topologie d'un espace normé et continuité
ouverts, fermés, voisinages, stabilité par réunion et intersection, point intérieur, point adhérent, intérieur, adhérence, frontière, caractérisation séquentielle des points adhérents et des fermés, partie dense, ouverts et fermés relatifs
-
Compacité, connexité par arcs et dimension finie
partie compacte définie par la propriété de Bolzano-Weierstrass, une partie compacte est fermée et bornée, fermé d'un compact, produit fini de compacts, image continue d'un compact, théorème de Heine, théorème des bornes atteintes
Calcul différentiel
-
Calcul différentiel dans les espaces normés
dérivée selon un vecteur, dérivées partielles dans une base, application différentiable, différentielle (application linéaire tangente), lien entre différentielle et dérivées partielles, matrice jacobienne, gradient d'une fonction numérique sur un espace euclidien, différentielle d'une combinaison linéaire, d'une application multilinéaire
-
Fonctions de classe C^k et optimisation
point critique, condition nécessaire d'extremum local en un point intérieur, extremum sur une partie et vecteurs tangents, optimisation sous une contrainte, extremums liés, dérivées partielles d'ordre k, fonctions de classe C^k, théorème de Schwarz
Probabilités
-
Ensembles dénombrables et espaces probabilisés
ensemble dénombrable, ensemble au plus dénombrable, dénombrabilité de N^p, Z, Q ; non-dénombrabilité de R, tribu, espace probabilisable, probabilité, σ-additivité, espace probabilisé, continuité croissante et décroissante
-
Variables aléatoires discrètes et lois usuelles
variable aléatoire discrète, loi P_X, variable f(X), loi conditionnelle sachant un événement, couple de variables aléatoires, loi conjointe, lois marginales, variables aléatoires indépendantes, familles quelconques, lemme des coalitions
-
Espérance, variance et loi faible des grands nombres
espérance d'une variable à valeurs dans [0, +∞], formule E(X) = Σ P(X ≥ n), variable d'espérance finie, espérance d'une variable complexe, formule de transfert, linéarité, positivité, croissance, E(XY) = E(X)E(Y) si indépendance, inégalité de Cauchy-Schwarz E(XY)² ≤ E(X²)E(Y²)
-
Fonctions génératrices
fonction génératrice G_X d'une variable à valeurs dans N, rayon de convergence au moins 1, convergence normale sur le disque unité fermé, la fonction génératrice détermine la loi, espérance finie ⇔ G_X dérivable en 1, E(X) = G_X'(1), calcul de la variance à l'aide de G_X
Géométrie
-
Adjoint et isométries d'un espace euclidien
représentation des formes linéaires sur un espace euclidien, adjoint d'un endomorphisme, matrice en base orthonormée, stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable par l'adjoint, matrices orthogonales, groupe orthogonal O_n(R), SO_n(R), orientation d'un espace euclidien
Méthode de travail pour une année de concours
En deuxième année, le temps manque. Il faut donc un rituel efficace. Relisez la leçon le soir même, puis dressez une fiche de synthèse d’une page : énoncés, hypothèses, contre-exemples classiques. Le lendemain, attaquez les exercices sans le document ouvert. Si vous bloquez, relisez seulement la partie utile du cours, pas la solution.
Les corrigés détaillent chaque étape. Utilisez-les pour vérifier votre rédaction autant que votre résultat. Un jury sanctionne une hypothèse oubliée, par exemple la convergence uniforme avant une interversion. Par ailleurs, refaites un exercice raté une semaine plus tard : c’est le meilleur test de mémorisation. Gardez enfin un classeur des énoncés marquants, triés par thème plutôt que par date.
Pensez aussi à varier les sources d’entraînement. Après les exercices du chapitre, reprenez des questions extraites d’anciens sujets de concours. Elles mélangent souvent plusieurs notions et vous obligent à reconnaître seul l’outil adapté. C’est précisément la compétence que les écrits évaluent. Cette méthode demande de la discipline, mais elle libère beaucoup de temps en fin d’année. Vous aborderez alors les concours blancs avec des bases fiables.
Colles, écrits et oraux : préparer les échéances
Les colles de deuxième année ressemblent déjà aux oraux. Préparez-les en revoyant les démonstrations exigibles du chapitre en cours. Au tableau, annoncez votre plan avant de calculer. De plus, acceptez les indications de l’examinateur : savoir rebondir compte beaucoup. Chaque colle est une répétition générale, alors traitez-la comme une vraie épreuve.
Pour les épreuves écrites, entraînez-vous sur des sujets complets de quatre heures, dès l’hiver. Traitez les questions dans l’ordre et soignez les premières parties, souvent les mieux rémunérées. À partir d’avril, alternez sujets blancs et reprise ciblée des chapitres faibles. En parallèle, gardez une révision régulière de l’algèbre linéaire de première année, sollicitée partout.
Entre les écrits et les oraux, quelques semaines seulement s’écoulent. Profitez-en pour revoir les exercices classiques de chaque chapitre, à voix haute. Surtout, ménagez votre sommeil : la fatigue coûte plus de points qu’une notion oubliée.
Enfin, préparez votre organisation matérielle. Connaître le calendrier des épreuves, les coefficients et les écoles visées permet de répartir vos efforts sans panique de dernière minute.
Après la maths spé : écoles, université et débouchés
À l’issue des concours, la majorité des candidats intègre une école d’ingénieurs. D’autres visent les écoles normales supérieures et la recherche. Certains choisissent enfin de cuber, c’est-à-dire de refaire l’année pour viser plus haut.
L’université reste une passerelle solide. Avec vos crédits ECTS, une admission en L3 de mathématiques est fréquente. Le programme de maths spé recouvre en effet une grande partie de la L2. En revanche, la troisième année de licence introduit l’intégrale de Lebesgue, l’analyse complexe et les espaces métriques généraux. Les fiches de licence présentes ici vous aideront à combler cet écart. Ensuite, un master ouvre vers l’enseignement, l’agrégation, la science des données ou l’actuariat.
Questions fréquentes
Quelle différence entre MP, MPI, PC et PSI en mathématiques ?
La MP et la MPI partagent le même programme, le plus complet en algèbre et en analyse. La PC et la PSI suivent un texte plus léger, sans Z/nZ ni idéaux notamment. L’horaire hebdomadaire de mathématiques y est aussi plus faible.
Faut-il maîtriser tout le programme de première année pour réussir ?
Oui, car les concours portent sur les deux années. L’algèbre linéaire, les développements limités et les séries numériques reviennent sans cesse. Une révision rapide de ces chapitres pendant l’été est donc très rentable.
Combien d'exercices faire par chapitre en deuxième année ?
Visez une dizaine d’exercices bien compris plutôt qu’une trentaine survolés. L’important est de savoir refaire seul les exercices classiques. Revenez ensuite dessus avant les colles et les concours blancs.
Comment réviser pendant les vacances de printemps ?
Alternez sujets complets en temps réel et reprise des chapitres faibles. Refaites les démonstrations importantes et relisez vos fiches de synthèse. Gardez aussi une journée de repos par semaine pour arriver en forme aux écrits.
Peut-on entrer à l'université en troisième année après une spé ?
C’est possible et courant, grâce aux crédits ECTS délivrés par le lycée. L’admission se fait sur dossier, selon les places disponibles. Prévoyez de travailler l’intégrale de Lebesgue, qui n’est pas au programme de prépa.
Que signifie « cuber » en classe préparatoire ?
Cuber, c’est refaire la deuxième année pour repasser les concours. Cette option vise souvent une école plus sélective que celle obtenue. Elle demande une vraie motivation, car le programme reste identique.
