cours maths terminale
Les nombres complexes avec un cours de maths en terminale faisant intervenir la notion de conjugué et d’argument.

I. Conjugué d’un nombre complexe.

1. Définition du conjugué.

Définition :

Soit mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF. un nombre complexe de forme algébrique mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF. (x, y réels).

Le nombre complexe mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF., noté mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF., est appelé conjugué du nombre complexe mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF..

Exemples :

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Conséquences :
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2. Interprétation géométrique.

Dans le plan complexe, considérons un point M d’affixe z alors le pont M’ d’affixe z est l’image de M par la symétrie par rapport à l’axe des réels (abscisses).

Propriétés :

Soit z un nombre complexe.

    1. z est réel mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF..
    2. z est imaginaire pur mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF..

q60 Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF.

3. Conjugué et opérations.

Propriétés :

Soient z et z’ deux nombres complexes et n un entier naturel non nul.

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II. Module et argument d’un nombre complexe.

1. Module d’un nombre complexe.

Définition :

Soit z un nombre complexe de forme algébrique x+iy (x et y réels).

Le module de z est le nombre réel positif noté mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF. .

Interprétation géométrique :
Dans le plan complexe, si M a pour affixe z alors OM=lzl.

q61 Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF.

Remarque :

  1. Si mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF. est un réel, le module de mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF. est égal à la valeur absolue de x.
  2. mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF. si et seulement mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF. ( car mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF. équivaut à O=M)
  3. mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF..

2. Arguments d’un nombres complexe non nul.

Définition :

Soit mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF. un nombre complexe non nul, de point image M.

On appelle argument de mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF. et on note mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF., toute mesure en radian de l’angle orienté mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF..

q62 Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF.

Remarque:
Un nombre complexe non nul z a une infinité d’argument; si mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF. est l’un d’entre eux alors tous les autres sont de la forme mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF..

On note mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF. ou plus simplement arg(z)= mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF.

3. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul.

3.1. Repérages cartésien et polaire :

Dans le plan complexe un point M distinct de O peut être repéré par ses coordonnées cartésienne mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF. ou par un couple mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF. de coordonnées polaires avec OM=r et mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF.,

on a alors :
mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF.

3.2 Forme trigonométrique :

Définition :

Soit mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF. un nombre complexe non nul.

L’écriture mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF. avec mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF. et  mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF. est appelée forme trigonométrique de z.

q63 Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF.

Propriété :

Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si, ils ont même module et même argument à un multiple de 2pi près.

Propriété :

Si mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF. avec mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF.alors mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF. et mimetex Conjugué, module et argument d'un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF..


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