Conjugué et argument d'un nombre complexe : cours de maths terminale S

Mise à jour le 25 avril 2020

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Sommaire de cette fiche

1 I. Conjugué d’un nombre complexe :
2 II. Module et argument d’un nombre complexe :
- 2.1 1. Module d’un nombre complexe :
  - 2.1.1 Interprétation géométrique :
  - 2.1.2 Remarques :
- 2.2 2. Arguments d’un nombres complexe non nul :
  - 2.2.1 Remarques :
3 3. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul :
- 3.1 3.1. Repérages cartésien et polaire :
- 3.2 3.2 Forme trigonométrique :

Les nombres complexes avec un cours de maths en terminale S faisant intervenir la notion de conjugué et d’argument.

I. Conjugué d’un nombre complexe :

1. Définition du conjugué :

Définition :

Soit z un nombre complexe de forme algébrique z = x+iy (x, y réels).

Le nombre complexe x – iy, noté $\,\overline{z}$ , est appelé conjugué du nombre complexe z.

Exemples :

$\,\overline{2+3i}=2-3i$ ; $\,\overline{3}=3$ ; $\,\overline{-7}=-7$ ; $\,\overline{2i}=-2i$ ; $\,\overline{-5i}={5i}$ .

Conséquences :

• $\,\overline{\,\overline{z}}=z$

• $z\,\overline{z}=x^2+y^2$

• $z+\,\overline{z}=2\times Re(z)=2x$

• $z-\,\overline{z}=2\times Im(z)=2y$

2. Interprétation géométrique :

Dans le plan complexe, considérons un point M d’affixe z alors le pont M’ d’affixe z est l’image de M par la symétrie par rapport à l’axe des réels (abscisses).

Propriétés :

Soit z un nombre complexe.

z est réel $\Longleftrightarrow z=\,\overline{z}$ .

z est imaginaire pur $\Longleftrightarrow z\,=\,-\,\,\overline{z}$ .

3. Conjugué et opérations :

Propriétés :

Soient z et z’ deux nombres complexes et n un entier naturel non nul.

$\,\overline{z+z'}=\,\overline{z}+\,\overline{z'}$

$\,\overline{zz'}=\,\overline{z}\,\overline{z'}$

$\,\overline{z^n}^n=\,\overline{z}^n$

$Si\, z\neq\,0 ,\, \,\,\overline{\frac{1}{z}}=\frac{1}{\,\overline{z}}$

$Si\, z'\neq\,0 ,\, \,\,\overline{\frac{z}{z'}}=\frac{\,\overline{z}}{\,\overline{z'}}$

II. Module et argument d’un nombre complexe :

1. Module d’un nombre complexe :

Définition :

Soit z un nombre complexe de forme algébrique x+iy (x et y réels).

Le module de z est le nombre réel positif noté $lzl=sqrt{x^2+y2}$ .

Interprétation géométrique :

Dans le plan complexe, si M a pour affixe z alors OM=lzl.

Remarques :

Si x est un réel, le module de x est égal à la valeur absolue de x.

lzl=0 si et seulement z=0 ( car OM=0 équivaut à O=M)

$z\,\overline{z}=lzl^2$ .

2. Arguments d’un nombres complexe non nul :

Définition :

Soit z un nombre complexe non nul, de point image M.

On appelle argument de z et on note arg(z), toute mesure en radian de l’angle orienté $(\vec{OU},\vec{OM})$ .

Remarques :

Un nombre complexe non nul z a une infinité d’argument; si $\theta$ est l’un d’entre eux alors tous les autres sont de la forme $\theta\,+\,2k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})$ .

On note $arg(z)=\,\theta\,[2\pi]$ ou plus simplement arg(z)= $\theta$

3. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul :

3.1. Repérages cartésien et polaire :

Dans le plan complexe un point M distinct de O peut être repéré par ses coordonnées cartésienne (x;y) ou par un couple $(r\,,\, \theta$ de coordonnées polaires avec OM=r et $(\vec{OU}\,,\,\vec{OM})$ ,

on a alors :
$\fbox{\{{x\,=\,rcos\theta\atop y\,=\,rsin\theta}}$

3.2 Forme trigonométrique :

Définition :

Soit z un nombre complexe non nul.

L’écriture $z\,=\,r(cos\theta\,+\,isin\theta)$ avec r=lzl et $\theta$ = arg(z) est appelée forme trigonométrique de z.

Propriété :

Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si, ils ont même module et même argument à un multiple de 2pi près.

Propriété :

Si z= r(cos $\theta$ +isin $\theta$ ) avec r>0 alors r = lzl et $\theta$ = arg(z).

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