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Conjugué, module et argument d’un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF.


Les nombres complexes avec un cours de maths en terminale faisant intervenir la notion de conjugué et d’argument.

I. Conjugué d’un nombre complexe.

1. Définition du conjugué.

Définition :

Soit z un nombre complexe de forme algébrique z\,=\,x+iy (x, y réels).

Le nombre complexe x\,-\,iy, noté \,\overline{z}, est appelé conjugué du nombre complexe z.

Exemples :

 \,\overline{2+3i}=2-3i;  \,\overline{3}=3 ;  \,\overline{-7}=-7;  \,\overline{2i}=-2i ;  \,\overline{-5i}={5i}.

Conséquences :
  1. \,\overline{\,\overline{z}}=z
  2. z\,\overline{z}=x^2+y^2
  3. z+\,\overline{z}=2\times   Re(z)=2x
  4. z-\,\overline{z}=2\times   Im(z)=2y

2. Interprétation géométrique.

Dans le plan complexe, considérons un point M d’affixe z alors le pont M’ d’affixe z est l’image de M par la symétrie par rapport à l’axe des réels (abscisses).

Propriétés :

Soit z un nombre complexe.

    1. z est réel \Longleftrightarrow z=\,\overline{z}.
    2. z est imaginaire pur \Longleftrightarrow z\,=\,-\,\,\overline{z}.

3. Conjugué et opérations.

Propriétés :

Soient z et z’ deux nombres complexes et n un entier naturel non nul.

\,\overline{z+z'}=\,\overline{z}+\,\overline{z'}

\,\overline{zz'}=\,\overline{z}\,\overline{z'}

\,\overline{z^n}^n=\,\overline{z}^n

Si\, z\neq\,0 ,\, \,\,\overline{\frac{1}{z}}=\frac{1}{\,\overline{z}}

Si\, z'\neq\,0 ,\, \,\,\overline{\frac{z}{z'}}=\frac{\,\overline{z}}{\,\overline{z'}}

II. Module et argument d’un nombre complexe.

1. Module d’un nombre complexe.

Définition :

Soit z un nombre complexe de forme algébrique x+iy (x et y réels).

Le module de z est le nombre réel positif noté lzl=sqrt{x^2+y2} .

Interprétation géométrique :
Dans le plan complexe, si M a pour affixe z alors OM=lzl.

Remarque :

  1. Si x est un réel, le module de x est égal à la valeur absolue de x.
  2. |z\,|=0 si et seulement z=0 ( car OM=0 équivaut à O=M)
  3. z\overline{z}=\,|\,z\,|^2.

2. Arguments d’un nombres complexe non nul.

Définition :

Soit z un nombre complexe non nul, de point image M.

On appelle argument de z et on note arg(z), toute mesure en radian de l’angle orienté (\vec{OU},\vec{OM}).

Remarque:
Un nombre complexe non nul z a une infinité d’argument; si  \theta est l’un d’entre eux alors tous les autres sont de la forme  \theta\,+\,2k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z}).

On note  arg(z)=\,\theta\,[2\pi] ou plus simplement arg(z)=  \theta

3. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul.

3.1. Repérages cartésien et polaire :

Dans le plan complexe un point M distinct de O peut être repéré par ses coordonnées cartésienne (x;y) ou par un couple  (r\,,\, \theta) de coordonnées polaires avec OM=r et  (\vec{OU}\,,\,\vec{OM}),

on a alors :
 \fbox{\{{x\,=\,rcos\theta\atop y\,=\,rsin\theta}}

3.2 Forme trigonométrique :

Définition :

Soit z un nombre complexe non nul.

L’écriture z\,=\,r(cos\theta\,+\,isin\theta) avec r=\,|\,z\,| et  \theta\,\,=arg(z) est appelée forme trigonométrique de z.

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Propriété :

Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si, ils ont même module et même argument à un multiple de 2pi près.

Propriété :

Si z\,=\,r(cos\theta\,+\,isin\theta) avec r>0alors r=\,|\,z\,| et \theta\,\,=arg(z).

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