cours maths terminale

Conjugué, module et argument d’un nombre complexe : cours en terminale S

Les nombres complexes avec un cours de maths en terminale S faisant intervenir la notion de conjugué et d’argument.

I. Conjugué d’un nombre complexe :

1. Définition du conjugué :

Définition :

Soit z un nombre complexe de forme algébrique z = x+iy (x, y réels).

Le nombre complexe x – iy, noté \,\overline{z}, est appelé conjugué du nombre complexe z.

Exemples :

 \,\overline{2+3i}=2-3i;  \,\overline{3}=3 ;  \,\overline{-7}=-7;  \,\overline{2i}=-2i ;  \,\overline{-5i}={5i}.

Conséquences :

\,\overline{\,\overline{z}}=z

z\,\overline{z}=x^2+y^2

z+\,\overline{z}=2\times   Re(z)=2x

z-\,\overline{z}=2\times   Im(z)=2y

2. Interprétation géométrique :

Dans le plan complexe, considérons un point M d’affixe z alors le pont M’ d’affixe z est l’image de M par la symétrie par rapport à l’axe des réels (abscisses).

Propriétés :

Soit z un nombre complexe.

z est réel \Longleftrightarrow z=\,\overline{z}.

z est imaginaire pur \Longleftrightarrow z\,=\,-\,\,\overline{z}.

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3. Conjugué et opérations :

Propriétés :

Soient z et z’ deux nombres complexes et n un entier naturel non nul.

\,\overline{z+z'}=\,\overline{z}+\,\overline{z'}

\,\overline{zz'}=\,\overline{z}\,\overline{z'}

\,\overline{z^n}^n=\,\overline{z}^n

Si\, z\neq\,0 ,\, \,\,\overline{\frac{1}{z}}=\frac{1}{\,\overline{z}}

Si\, z'\neq\,0 ,\, \,\,\overline{\frac{z}{z'}}=\frac{\,\overline{z}}{\,\overline{z'}}

II. Module et argument d’un nombre complexe :

1. Module d’un nombre complexe :

Définition :

Soit z un nombre complexe de forme algébrique x+iy (x et y réels).

Le module de z est le nombre réel positif noté lzl=sqrt{x^2+y2} .

Interprétation géométrique :

Dans le plan complexe, si M a pour affixe z alors OM=lzl.

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Remarques :

Si x est un réel, le module de x est égal à la valeur absolue de x.

lzl=0 si et seulement z=0 ( car OM=0 équivaut à O=M)

 z\,\overline{z}=lzl^2.

2. Arguments d’un nombres complexe non nul :

Définition :

Soit z un nombre complexe non nul, de point image M.

On appelle argument de z et on note arg(z), toute mesure en radian de l’angle orienté (\vec{OU},\vec{OM}).

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Remarques :

Un nombre complexe non nul z a une infinité d’argument; si  \theta est l’un d’entre eux alors tous les autres sont de la forme  \theta\,+\,2k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z}).

On note  arg(z)=\,\theta\,[2\pi] ou plus simplement arg(z)=  \theta

3. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul :

3.1. Repérages cartésien et polaire :

Dans le plan complexe un point M distinct de O peut être repéré par ses coordonnées cartésienne (x;y) ou par un couple  (r\,,\, \theta de coordonnées polaires avec OM=r et  (\vec{OU}\,,\,\vec{OM}),

on a alors :
 \fbox{\{{x\,=\,rcos\theta\atop y\,=\,rsin\theta}}

3.2 Forme trigonométrique :

Définition :

Soit z un nombre complexe non nul.

L’écriture z\,=\,r(cos\theta\,+\,isin\theta) avec r=lzl et  \theta = arg(z) est appelée forme trigonométrique de z.

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Propriété :

Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si, ils ont même module et même argument à un multiple de 2pi près.

Propriété :

Si z= r(cos\theta +isin \theta ) avec r>0 alors r = lzl et  \theta = arg(z).


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