Conjugué et argument d'un nombre complexe : cours en terminale.

Les nombres complexes avec un cours de maths en terminale faisant intervenir la notion de conjugué et d’argument.

I. Conjugué d’un nombre complexe.

1. Définition du conjugué.

Définition :

Soit un nombre complexe de forme algébrique $z\,=\,x+iy$ (x, y réels).

Le nombre complexe $x\,-\,iy$ , noté $\,\overline{z}$ , est appelé conjugué du nombre complexe .

Exemples :

$\,\overline{2+3i}=2-3i$ ; $\,\overline{3}=3$ ; $\,\overline{-7}=-7$ ; $\,\overline{2i}=-2i$ ; $\,\overline{-5i}={5i}$ .

Conséquences :

$\,\overline{\,\overline{z}}=z$
$z\,\overline{z}=x^2+y^2$
$z+\,\overline{z}=2\times Re(z)=2x$
$z-\,\overline{z}=2\times Im(z)=2y$

2. Interprétation géométrique.

Dans le plan complexe, considérons un point M d’affixe z alors le pont M’ d’affixe z est l’image de M par la symétrie par rapport à l’axe des réels (abscisses).

Propriétés :

Soit z un nombre complexe.

1. z est réel $\Longleftrightarrow z=\,\overline{z}$ .
2. z est imaginaire pur $\Longleftrightarrow z\,=\,-\,\,\overline{z}$ .

3. Conjugué et opérations.

Propriétés :

Soient z et z’ deux nombres complexes et n un entier naturel non nul.

$\,\overline{z+z'}=\,\overline{z}+\,\overline{z'}$

$\,\overline{zz'}=\,\overline{z}\,\overline{z'}$

$\,\overline{z^n}^n=\,\overline{z}^n$

$Si\, z\neq\,0 ,\, \,\,\overline{\frac{1}{z}}=\frac{1}{\,\overline{z}}$

$Si\, z'\neq\,0 ,\, \,\,\overline{\frac{z}{z'}}=\frac{\,\overline{z}}{\,\overline{z'}}$

II. Module et argument d’un nombre complexe.

1. Module d’un nombre complexe.

Définition :

Soit z un nombre complexe de forme algébrique x+iy (x et y réels).

Le module de z est le nombre réel positif noté $lzl=sqrt{x^2+y2}$ .

Interprétation géométrique :
Dans le plan complexe, si M a pour affixe z alors OM=lzl.

Remarque :

Si est un réel, le module de est égal à la valeur absolue de x.
$|z\,|=0$ si et seulement ( car équivaut à O=M)
$z\overline{z}=\,|\,z\,|^2$ .

2. Arguments d’un nombres complexe non nul.

Définition :

Soit un nombre complexe non nul, de point image M.

On appelle argument de et on note arg(z) , toute mesure en radian de l’angle orienté $(\vec{OU},\vec{OM})$ .

Remarque:
Un nombre complexe non nul z a une infinité d’argument; si $\theta$ est l’un d’entre eux alors tous les autres sont de la forme $\theta\,+\,2k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})$ .

On note $arg(z)=\,\theta\,[2\pi]$ ou plus simplement arg(z)= $\theta$

3. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul.

3.1. Repérages cartésien et polaire :

Dans le plan complexe un point M distinct de O peut être repéré par ses coordonnées cartésienne ou par un couple $(r\,,\, \theta)$ de coordonnées polaires avec OM=r et $(\vec{OU}\,,\,\vec{OM})$ ,

on a alors :
$\fbox{\{{x\,=\,rcos\theta\atop y\,=\,rsin\theta}}$

3.2 Forme trigonométrique :

Définition :

Soit un nombre complexe non nul.

L’écriture $z\,=\,r(cos\theta\,+\,isin\theta)$ avec $r=\,|\,z\,|$ et $\theta\,\,=arg(z)$ est appelée forme trigonométrique de z.

Propriété :

Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si, ils ont même module et même argument à un multiple de 2pi près.

Propriété :

Si $z\,=\,r(cos\theta\,+\,isin\theta)$ avec r>0 alors $r=\,|\,z\,|$ et $\theta\,\,=arg(z)$ .

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