Le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale S

Mise à jour le 26 mars 2021

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Le raisonnement par récurrence dans un cours de maths en terminale S et la rédaction de la démonstration.

1.Principe de récurrence et ses axiomes :

Axiome :

Soit P(n) une propriété qui dépend d’un entier naturel n.

Si les deux conditions suivantes sont réunies :
,
• P(n) est vraie pour le rang n = 0 ;

• Si pour tout entier n, P(n) est vérifiée implique P(n+1) est vérifiée ;

Alors pour tout entier n, P(n) est vraie.

Exemple :

On considère la suite $U_n$ définie par :
$\forall n \in \mathbb{N} \,,\,\{{U_0=1\atop U_{n+1}=\frac{1}{4}U_n+3}$
Montrons par récurrence, sur l’entier n, que :
$\forall n \in \mathbb{N} \,,\,U_n\,\le\,4$
Soit la propriété de récurrence suivante :
$\fbox{P(n):''Pour\,\,n \in \mathbb{N} \,,\,U_n\,\le\,4''}$
Initialisation :

Montrons que $P(0)$ est vraie.

D’après les hypothèses, $U_0=1\,\le\,4$

Donc $P(0)$ vraie .

Hérédité de la propriété :

Supposons qu’il existe un entier $n \in \mathbb{N}$ tel que $P(n)$ soit vraie.

Montrons que $P(n+1)$ reste vraie .

Comme $P(n)$ est vraie.

alors $U_n\,\le\,4$

$\frac{1}{4}U_n\,\le\,\frac{4}{4}$

$\frac{1}{4}U_n\,+\,3\,\le\,1+3$

$U_{n+1}\,\le\,4$

donc $P(n+1)$ est vraie .

Conclusion :

( $P(0); \forall n \in \mathbb{N}\,,\,P(n)\Longrightarrow\,\,P(n+1))$

donc d’après le principe de récurrence :

$\fbox{\forall n \in \mathbb{N}\,,\,\,,\,U_n\,\le\,4)}$

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