Le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale S

cours maths terminale
Le raisonnement par récurrence dans un cours de maths en terminale S et la rédaction de la démonstration.

1.Principe de récurrence et ses axiomes :

Axiome :

Soit P(n) une propriété qui dépend d’un entier naturel n.

Si les deux conditions suivantes sont réunies :
,
• P(n) est vraie pour le rang n = 0 ;

• Si pour tout entier n, P(n) est vérifiée implique P(n+1) est vérifiée ;

Alors pour tout entier n, P(n) est vraie.

Exemple :

On considère la suite U_n définie par :
\forall n \in \mathbb{N} \,,\,\{{U_0=1\atop U_{n+1}=\frac{1}{4}U_n+3}
Montrons par récurrence, sur l’entier n, que :
\forall n \in \mathbb{N} \,,\,U_n\,\le\,4
Soit la propriété de récurrence suivante :
\fbox{P(n):''Pour\,\,n \in \mathbb{N} \,,\,U_n\,\le\,4''}
Initialisation :

Montrons que P(0) est vraie.

D’après les hypothèses, U_0=1\,\le\,4

Donc P(0) vraie .

Hérédité de la propriété :

Supposons qu’il existe un entier n \in \mathbb{N} tel que P(n) soit vraie.

Montrons que P(n+1) reste vraie .

Comme P(n) est vraie.

alors U_n\,\le\,4

\frac{1}{4}U_n\,\le\,\frac{4}{4}

\frac{1}{4}U_n\,+\,3\,\le\,1+3

U_{n+1}\,\le\,4

donc P(n+1) est vraie .

Conclusion :

(P(0); \forall n \in \mathbb{N}\,,\,P(n)\Longrightarrow\,\,P(n+1))

donc d’après le principe de récurrence :

 \fbox{\forall n \in \mathbb{N}\,,\,\,,\,U_n\,\le\,4)}

4.2/5 - (38 votes)

Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale S» au format PDF.




Télécharger nos applications gratuites avec tous les cours,exercices corrigés.

Application Mathovore sur Google Play Store. Application Mathovore sur Apple Store.

D'autres fiches similaires à le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale S.

Mathovore vous permet de réviser en ligne et de progresser en mathématiques tout au long de l'année scolaire.
De nombreuses ressources destinées aux élèves désireux de combler leurs lacunes en maths et d'envisager une progression constante. Tous les cours en primaire, au collège, au lycée mais également, en maths supérieures et spéciales ainsi qu'en licence sont disponibles sur notre sites web de mathématiques.
Des documents similaires à le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale S à télécharger ou à imprimer gratuitement en PDF avec tous les cours de maths du collège au lycée et post bac rédigés par des enseignants de l'éducation nationale.
Vérifiez si vous avez acquis le contenu des différentes leçons (définition, propriétés, téhorèmpe) en vous exerçant sur des milliers d'exercices de maths disponibles sur Mathovore et chacun de ces exercices dispose de son corrigé.
En complément des cours et exercices sur le thème le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale S, les élèves de troisième pourront réviser le brevet de maths en ligne ainsi que pour les élèves de terminale pourront s'exercer sur les sujets corrigé du baccalauréat de maths en ligne.
  • 90
    Les probabilités conditionnelles : cours de maths en terminale S Cours sur les probabilités conditionnelles. Dans cette leçon, désigne un univers, A et B deux événements de et P une probabilité sur . I.probabilités conditionnelles et arbres pondérés 1.Probabilités conditionnelles Définition : Si , la probabilité de B sachant A, notée , est définie par :. 2.Application aux arbres pondérés…
  • 89
    Le produit scalaire : cours de maths en terminale S Le produit scalaire dans le plan dans un cours de maths en terminale S et dans l'espace. Cette leçon sur le produit scalaire est à télécharger en PDF gratuitement afin de progresser et développer vos compétences en classe de terminale S. I. Différentes expressions du produit scalaire : 1. Vecteurs…
  • 89
    Matrices et opérations : cours de maths en terminale S spécialité Matrices et opérations en terminale spécialité. Cours de maths en terminale S spécialité sur les matrices. I. Notion de matrices : Définition : n et p désignent des nombres entiers naturels non nuls. Une matrice de format ( ou taille ) (n,p) est un tableau de nombres réels à n…
  • 88
    La fonction exponentielle : cours de maths en terminale S La fonction exponentielle avec un cours de maths en terminale S où nous étudierons une première approche à l'aide des equations différentielles. Puis nous verrons les différentes propriétés,les  définitions et limites usuelles de la fonction exponentielle et la courbe représentative de la fonction. I . Equation différentielle f’ = f…
  • 87
    Suite de matrices colonnes Un cours sur les suites de matrices en terminale S spécialité où nous étudierons des suites convergentes vers une autre matrice. I.Suite de nombres (Un) vérifiant . Une telle suite est dite arithmético-géométrique (ou à récurrence affine). Etudions un exemple.La suite (Un) est définie par  et pour tout entier naturel n, . 1. De…


Retrouvez nos cours de maths et exercices corrigés sur notre chaîne YouTube.

Inscription gratuite à Mathovore.  Mathovore c'est 2 049 790 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 169 396 membres.
Rejoignez-nous : inscription gratuite.

A propos de webmaster 686 Articles
Webmaster du site Mathovore.