Le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale en PDF.

cours maths terminale
Le raisonnement par récurrence dans un cours de maths en terminale et la rédaction de la démonstration.

1.Principe de récurrence et ses axiomes :

Axiome :

Soit P(n) une propriété qui dépend d’un entier naturel n.

Si les deux conditions suivantes sont réunies :
,
• P(n) est vraie pour le rang n = 0 ;

• Si pour tout entier n, P(n) est vérifiée implique P(n+1) est vérifiée ;

Alors pour tout entier n, P(n) est vraie.

Exemple :

On considère la suite U_n définie par :
\forall n \in \mathbb{N} \,,\,\{{U_0=1\atop U_{n+1}=\frac{1}{4}U_n+3}
Montrons par récurrence, sur l’entier n, que :
\forall n \in \mathbb{N} \,,\,U_n\,\le\,4
Soit la propriété de récurrence suivante :
\fbox{P(n):''Pour\,\,n \in \mathbb{N} \,,\,U_n\,\le\,4''}
Initialisation :

Montrons que P(0) est vraie.

D’après les hypothèses, U_0=1\,\le\,4

Donc P(0) vraie .

Hérédité de la propriété :

Supposons qu’il existe un entier n \in \mathbb{N} tel que P(n) soit vraie.

Montrons que P(n+1) reste vraie .

Comme P(n) est vraie.

alors U_n\,\le\,4

\frac{1}{4}U_n\,\le\,\frac{4}{4}

\frac{1}{4}U_n\,+\,3\,\le\,1+3

U_{n+1}\,\le\,4

donc P(n+1) est vraie .

Conclusion :

(P(0); \forall n \in \mathbb{N}\,,\,P(n)\Longrightarrow\,\,P(n+1))

donc d’après le principe de récurrence :

 \fbox{\forall n \in \mathbb{N}\,,\,\,,\,U_n\,\le\,4)}

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