Raisonnement par récurrence : le raisonnement par récurrence

Sommaire

Raisonnement par récurrence : le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale en PDF.

Le raisonnement par récurrence dans un cours de maths en terminale et la rédaction de la démonstration.

1.Principe de récurrence et ses axiomes :

Axiome :

Soit P(n) une propriété qui dépend d’un entier naturel n.

Si les deux conditions suivantes sont réunies :
,
• P(n) est vraie pour le rang n = 0 ;

• Si pour tout entier n, P(n) est vérifiée implique P(n+1) est vérifiée ;

Alors pour tout entier n, P(n) est vraie.

Exemple :

On considère la suite définie par :
$\forall n \in \mathbb{N} \,,\,\{{U_0=1\atop U_{n+1}=\frac{1}{4}U_n+3}$
Montrons par récurrence, sur l’entier n, que :
$\forall n \in \mathbb{N} \,,\,U_n\,\le\,4 – raisonnement par récurrence$
Soit la propriété de récurrence suivante :
$\fbox{P(n):\,#039;\,#039;Pour\,\,n \in \mathbb{N} \,,\,U_n\,\le\,4\,#039;\,#039;}$

Initialisation :

Montrons que est vraie.

D’après les hypothèses, $U_0=1\,\le\,4$

Donc vraie .

Hérédité de la propriété :

Supposons qu’il existe un entier $n \in \mathbb{N}$ tel que soit vraie.

Montrons que reste vraie .

Comme est vraie.

alors $U_n\,\le\,4$

$\frac{1}{4}U_n\,\le\,\frac{4}{4} – raisonnement par récurrence$

$\frac{1}{4}U_n\,+\,3\,\le\,1+3$

$U_{n+1}\,\le\,4 – raisonnement par récurrence$

donc est vraie .

Conclusion :

( $P(0); \forall n \in \mathbb{N}\,,\,P(n)\Longrightarrow\,\,P(n+1)) – raisonnement par récurrence$

donc d’après le principe de récurrence :

$\fbox{\forall n \in \mathbb{N}\,,\,\,,\,U_n\,\le\,4)}$

Bien travailler avec raisonnement par récurrence

Avant tout, recopie les propriétés importantes dans ton cahier. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. En outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.

Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, pour aller plus loin, l’article Raisonnement par récurrence de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.

4.6/5 - (28380 votes)

Couverture du livre Mathovore « Cours de mathématiques Terminale »

Le livre MathovoreCours de mathématiques TerminaleVous avez aimé cette leçon ? Retrouvez-la avec toutes les autres de l’année de Terminale, rangées dans l’ordre du programme.Ouvrir le livre de cours

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale à télécharger en PDF» au format PDF.