Le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale.

Le raisonnement par récurrence dans un cours de maths en terminale et la rédaction de la démonstration.

1.Principe de récurrence et ses axiomes :

Axiome :

Soit P(n) une propriété qui dépend d’un entier naturel n.

Si les deux conditions suivantes sont réunies :
,
• P(n) est vraie pour le rang n = 0 ;

• Si pour tout entier n, P(n) est vérifiée implique P(n+1) est vérifiée ;

Alors pour tout entier n, P(n) est vraie.

Exemple :

On considère la suite définie par :
$\forall n \in \mathbb{N} \,,\,\{{U_0=1\atop U_{n+1}=\frac{1}{4}U_n+3}$
Montrons par récurrence, sur l’entier n, que :
$\forall n \in \mathbb{N} \,,\,U_n\,\le\,4$
Soit la propriété de récurrence suivante :
$\fbox{P(n):''Pour\,\,n \in \mathbb{N} \,,\,U_n\,\le\,4''}$
Initialisation :

Montrons que est vraie.

D’après les hypothèses, $U_0=1\,\le\,4$

Donc vraie .

Hérédité de la propriété :

Supposons qu’il existe un entier $n \in \mathbb{N}$ tel que soit vraie.

Montrons que reste vraie .

Comme est vraie.

alors $U_n\,\le\,4$

$\frac{1}{4}U_n\,\le\,\frac{4}{4}$

$\frac{1}{4}U_n\,+\,3\,\le\,1+3$

$U_{n+1}\,\le\,4$

donc est vraie .

Conclusion :

( $P(0); \forall n \in \mathbb{N}\,,\,P(n)\Longrightarrow\,\,P(n+1))$

donc d’après le principe de récurrence :

$\fbox{\forall n \in \mathbb{N}\,,\,\,,\,U_n\,\le\,4)}$

4.1/5 - (60 votes)

Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale en PDF.» au format PDF.

Télécharger nos applications gratuites avec tous les cours,exercices corrigés.

D'autres fiches similaires à le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale en PDF..

Des documents similaires à le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale en PDF. à télécharger ou à imprimer gratuitement en PDF avec tous les cours et exercices de maths du collège au lycée et post bac rédigés par des enseignants de l'éducation nationale.
Vérifiez si vous avez acquis le contenu des différentes leçons (définitions, propriétés et théorèmes) en vous exerçant sur des milliers de documents disponibles sur Mathovore et chacun de ces exercices dispose de son corrigé.

Cours de maths en terminale à télécharger en PDF.
91
Des cours de maths en terminale que vous pouvez télécharger en PDF gratuitement puis les imprimer sur les très nombreux chapitres de ce niveau qui représente la dernière étape du lycée qui se conclue par les épreuves du baccalauréat durant 4 heures. Les leçons parcourent tous les chapitres comme les nombres,…
Les probabilités conditionnelles : cours de maths en terminale en PDF.
90
Cours sur les probabilités conditionnelles. Dans cette leçon, désigne un univers, A et B deux événements de et P une probabilité sur . I. Probabilités conditionnelles et arbres pondérés. 1. Probabilités conditionnelles. Définition : Si , la probabilité de B sachant A, notée , est définie par :. 2.Application aux…
La fonction exponentielle : cours de maths en terminale en PDF.
89
La fonction exponentielle avec un cours de maths en terminale où nous étudierons une première approche à l'aide des équations différentielles. Puis nous verrons les différentes propriétés, les définitions et limites usuelles de la fonction exponentielle et la courbe représentative de la fonction. I . Equation différentielle f ’ =…

Les dernières fiches mises à jour.

Voici les dernières ressources similaires à le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale en PDF. mis à jour sur Mathovore (des cours, exercices, des contrôles et autres), rédigées par notre équipe d'enseignants.

Mathovore c'est 2 566 948 cours et exercices de maths téléchargés en PDF.