Cours maths terminale

Le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale S

Le raisonnement par récurrence dans un cours de maths en terminale S et la rédaction de la démonstration.

1.Principe de récurrence et ses axiomes :

Axiome :

Soit P(n) une propriété qui dépend d’un entier naturel n.

Si les deux conditions suivantes sont réunies :
,
• P(n) est vraie pour le rang n = 0 ;

• Si pour tout entier n, P(n) est vérifiée implique P(n+1) est vérifiée ;

Alors pour tout entier n, P(n) est vraie.

Exemple :

On considère la suite U_n définie par :
\forall n \in \mathbb{N} \,,\,\{{U_0=1\atop U_{n+1}=\frac{1}{4}U_n+3}
Montrons par récurrence, sur l’entier n, que :
\forall n \in \mathbb{N} \,,\,U_n\,\le\,4
Soit la propriété de récurrence suivante :
\fbox{P(n):''Pour\,\,n \in \mathbb{N} \,,\,U_n\,\le\,4''}
Initialisation :

Montrons que P(0) est vraie.

D’après les hypothèses, U_0=1\,\le\,4

Donc P(0) vraie .

Hérédité de la propriété :

Supposons qu’il existe un entier n \in \mathbb{N} tel que P(n) soit vraie.

Montrons que P(n+1) reste vraie .

Comme P(n) est vraie.

alors U_n\,\le\,4

\frac{1}{4}U_n\,\le\,\frac{4}{4}

\frac{1}{4}U_n\,+\,3\,\le\,1+3

U_{n+1}\,\le\,4

donc P(n+1) est vraie .

Conclusion :

(P(0); \forall n \in \mathbb{N}\,,\,P(n)\Longrightarrow\,\,P(n+1))

donc d’après le principe de récurrence :

 \fbox{\forall n \in \mathbb{N}\,,\,\,,\,U_n\,\le\,4)}


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