Ce contrôle de maths de Terminale porte sur le thème suivant : étude d’une fonction trigonométrique.
Ce sujet type bac te fait mener de bout en bout l’étude d’une fonction trigonométrique. Tu commences par la parité et la périodicité, qui permettent de réduire l’intervalle d’étude, puis tu dérives des fonctions comme \(\sin(ax+b)\) ou \(\cos^2 x\). Le cœur du sujet est l’étude de \(f(x) = \cos(2x) + 2\cos x\) : factorisation de la dérivée, signe lu sur le cercle trigonométrique, tableau de variations, tangente et équation \(f(x) = 0\).
Le dernier exercice applique ces outils à l’oscillation d’un ressort. Prévois deux heures, calculatrice autorisée, et rédige chaque justification comme le jour du bac.
- Niveau : Terminale
- Chapitre : Fonctions sinus et cosinus
- Durée conseillée : 2 heures
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 3 points ; exercice 2 : 3 points ; exercice 3 : 8 points ; exercice 4 : 6 points)
- Compétences évaluées :
- Raisonner : justifier la parité et la périodicité pour réduire l’intervalle d’étude
- Calculer : dériver des fonctions composées avec sinus et cosinus
- Représenter : lire le signe d’une expression sur le cercle trigonométrique et dresser un tableau de variations
- Modéliser : interpréter l’étude d’un signal périodique en termes physiques
Exercice 1 : Parité et périodicité (3 points)
Calculatrice autorisée.
- D’abord, montre que la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = x\sin x\) est paire. (1 point)
- Ensuite, montre que la fonction \(k\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(k(x) = \sin(2x) + \cos(4x)\) est périodique de période \(\pi\). (1 point)
- Enfin, justifie que la fonction \(m : x \mapsto \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}\) est définie sur \(\mathbb{R}\), puis montre qu’elle est impaire. (1 point)
Exercice 2 : Dériver des fonctions trigonométriques (3 points)
Calcule la dérivée de chacune des fonctions suivantes, car elles sont définies et dérivables sur \(\mathbb{R}\).
- \(f_1(x) = 3\sin(2x – \dfrac{\pi}{4})\) (1 point)
- \(f_2(x) = \cos^2 x\), c’est-à-dire \(f_2(x) = (\cos x)^2\) (1 point)
- \(m(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}\) (la fonction de l’exercice 1) : donne alors \(m^{\prime}(x)\) sous la forme la plus simple possible. (1 point)
Exercice 3 : Étude complète d’une fonction (8 points)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \cos(2x) + 2\cos x\). Sa courbe représentative, notée \(\mathcal{C}_f\), est tracée ci-dessous sur \([-\pi \,;\, \pi]\).
Rappel : pour tout réel \(x\), \(\sin(2x) = 2\sin x\cos x\) et \(\cos(2x) = 2\cos^2 x – 1\).
- D’abord, montre que \(f\) est périodique de période \(2\pi\) et qu’elle est paire. Explique alors pourquoi il suffit d’étudier \(f\) sur l’intervalle \([0 \,;\, \pi]\). (1,5 point)
- Ensuite, prouve que, pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x) = -2\sin x\,(2\cos x + 1)\). (1,5 point)
- Étudie le signe de \(f^{\prime}(x)\) sur \([0 \,;\, \pi]\) en t’aidant du cercle trigonométrique. Puis dresse le tableau de variations de \(f\) sur \([0 \,;\, \pi]\) avec les valeurs exactes. (2 points)
- Détermine une équation de la tangente \(T\) à \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse \(\dfrac{\pi}{2}\). (1 point)
- Montre que l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([0 \,;\, \pi]\). Combien de solutions admet-elle alors dans \([-\pi \,;\, \pi]\) ? (1 point)
- Enfin, en posant \(X = \cos x\), montre que \(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3} – 1}{2}\). Donne ensuite un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(10^{-2}\). (1 point)
Exercice 4 : Oscillation d’un ressort (6 points)
Une masse accrochée à un ressort horizontal oscille sans frottement autour de sa position d’équilibre. Sa position (son élongation), en centimètres, à l’instant \(t\) en secondes, est donnée par :
\[x(t) = 6\cos(\pi t – \dfrac{\pi}{3}), \text{ pour } t \in [0 \,;\, 2].\]
Ainsi, la valeur \(x(t) = 0\) correspond à la position d’équilibre. De plus, la vitesse de la masse à l’instant \(t\), en cm/s, est \(v(t) = x^{\prime}(t)\).
- Justifie que la fonction \(t \mapsto 6\cos(\pi t – \dfrac{\pi}{3})\), définie sur \(\mathbb{R}\), est périodique de période 2. Que représente donc cette période pour le ressort ? (1 point)
- Calcule la position de la masse à l’instant \(t = 0\). (0,5 point)
- Puis exprime \(v(t)\) en fonction de \(t\). (1 point)
- Détermine les instants de \([0 \,;\, 2]\) où la masse passe par sa position d’équilibre. (1,5 point)
- Montre que, pour tout \(t\), \(|v(t)| \leq\, 6\pi\). À quels instants de \([0 \,;\, 2]\) cette vitesse maximale est-elle atteinte ? Donne ensuite sa valeur arrondie au dixième. (1 point)
- Enfin, dresse le tableau de variations de \(x\) sur \([0 \,;\, 2]\). Donne alors l’élongation maximale de la masse de part et d’autre de sa position d’équilibre. (1 point)
Réviser avant le contrôle : étude d’une fonction trigonométrique
Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Fonctions sinus et cosinus » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés les fonctions sinus et cosinus.
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