Cette fiche de géométrie dans l’espace propose quinze exercices pour travailler les représentations paramétriques de droites et les équations cartésiennes de plans en terminale. Les premiers exercices font lire un point et un vecteur directeur, placer des points sur une droite ou reconnaître le bon système pour la droite (AB). Viennent ensuite des situations dans un cube ou dans un repère orthonormé : coordonnées des sommets, vecteur normal à un plan, équation d’un plan passant par un point donné.
La seconde partie approfondit la position relative de deux droites : parallélisme, point d’intersection, droites non coplanaires mises en évidence par un système sans solution. On y étudie aussi l’alignement de trois points dépendant de paramètres, l’existence d’un plan passant par trois points et enfin le projeté orthogonal d’un point sur un plan.
Cherche chaque exercice au brouillon en justifiant tes calculs, puis compare ta démarche avec le corrigé détaillé rédigé en bas de cette page d’exercices : il reprend toutes les questions, étape par étape, pour repérer tes erreurs et consolider les méthodes attendues au bac.
Exercice 1 (représentations paramétriques terminale)
Dans un repère orthonormé de l’espace, \((d)\) et \((d^{\prime})\) sont les droites de représentations paramétriques respectives :
\(\lbrace \begin{array}{l} x=1+2t\\ y=2+t\\ z=-1+2t\end{array}.\) \((t\in\mathbb{R})\) \(\lbrace \begin{array}{l} x=4t^{\prime}\\ y=-2-t^{\prime}\\ z=2+t^{\prime}\end{array}.\) \((t^{\prime}\in\mathbb{R})\)
a) Montrer que les droites \((d)\) et \((d^{\prime})\) ne sont pas parallèles.
b) Étudier l’intersection de \((d)\) et \((d^{\prime})\) en résolvant un système d’équations.
Exercice 2 :
\((d)\) et \((d^{\prime})\) sont deux droites de représentations paramétriques respectives :
\(\lbrace \begin{array}{l} x=1+2t\\ y=-3+t\\ z=5t\end{array}.\) \((t\in\mathbb{R})\) \(\lbrace \begin{array}{l} x=2-3t^{\prime}\\ y=-2t^{\prime}\\ z=1-t^{\prime}\end{array}.\) \((t^{\prime}\in\mathbb{R})\)
Indiquer oralement les coordonnées d’un point et d’un vecteur directeur de chacune des droites \((d)\) et \((d^{\prime})\).
Exercice 3 (représentations paramétriques terminale)
\((d)\) est la droite de représentation paramétrique :
\(\lbrace \begin{array}{l} x=-t+1\\ y=5+3t\\ z=-2-2t\end{array}.\) \((t\in\mathbb{R})\)
Déterminer mentalement les coordonnées de quatre points de la droite \((d)\).
Exercice 4 :
On donne les points :
\(A(1\,;\,2\,;\,1)\) et \(B(4\,;\,5\,;\,-2)\)
Parmi ces systèmes, une représentation paramétrique de la droite (AB) est :
\((1)\ \lbrace \begin{array}{l} x=1+3t\\ y=2+3t\\ z=1-3t\end{array}.\) \((t\in\mathbb{R})\)
\((2)\ \lbrace \begin{array}{l} x=3+t^{\prime}\\ y=3+2t^{\prime}\\ z=-3+t^{\prime}\end{array}.\) \((t^{\prime}\in\mathbb{R})\)
\((3)\ \lbrace \begin{array}{l} x=4+3m\\ y=5+3m\\ z=-2-3m\end{array}.\) \((m\in\mathbb{R})\)
\((4)\ \lbrace \begin{array}{l} x=4-k\\ y=5-k\\ z=-2+k\end{array}.\) \((k\in\mathbb{R})\)
Exercice 5 (représentations paramétriques terminale)
ABCDEFGH est le cube représenté ci-dessous.
a) Déterminer les coordonnées de chacun des sommets dans le repère \((A\,;\,\vec{AB},\,\vec{AD},\,\vec{AE})\) .
b) Déterminer une représentation paramétrique de chacune des droites (AG) et (BH).
Exercice 6 :
ABCDEFGH est le cube représenté ci-contre.
Pour chacun des plans ci-dessous, indiquer oralement deux vecteurs normaux.
a) (ABC)
b) (BCF)
c) (ADF)
Exercice 7 (représentations paramétriques terminale)
Déterminer une équation cartésienne du plan :
a) \((\mathscr{P})\) coloré en rouge passant par le point A et orthogonal à l’axe des ordonnées ;
b) \((\mathscr{Q})\) coloré en bleu passant par le point B et orthogonal à l’axe des cotes.
Exercice 8 :
On se place dans le repère orthonormé \((A\,;\,\vec{AB},\,\vec{AD},\,\vec{AE})\).
a) Déterminer les coordonnées d’un vecteur normal au plan (BCF), puis au plan (BCE).
b) Déterminer une équation cartésienne du plan (BCF), puis du plan (BCE).
Exercice 9 (représentations paramétriques terminale)
On a placé quatre points A, B, C, D dans le repère orthonormé ci-dessous.
a) Lire les coordonnées des points A, B, C, D.
b) Démontrer que le vecteur \(\vec{n}(3\,;\,2\,;\,3)\) est normal au plan (ABC) ; puis que le vecteur \(\vec{m}(1\,;\,-1\,;\,1)\) est normal au plan (ABD).
c) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC), puis du plan (ABD).
d) Alix affirme « Le point \(E(-10\,;\,-15\,;\,-3)\) appartient à l’un des deux plans ».
A-t-elle raison ?
Exercice 10 :
\((d)\) et \((d^{\prime})\) sont les droites de représentations paramétriques respectives :
\(\lbrace \begin{array}{l} x=t\\ y=1+t\\ z=3-t\end{array}.\) \((t\in\mathbb{R})\) et \(\lbrace \begin{array}{l} x=2-t^{\prime}\\ y=t^{\prime}\\ z=-2+3t^{\prime}\end{array}.\) \((t^{\prime}\in\mathbb{R})\)
Déterminer mentalement lequel de ces systèmes on est amené à résoudre pour déterminer l’intersection de \((d)\) et \((d^{\prime})\).
\((1)\ \lbrace \begin{array}{l} t+t^{\prime}=2\\ t-t^{\prime}=1\\ t+3t^{\prime}=-5\end{array}.\) et \((2)\ \lbrace \begin{array}{l} t+t^{\prime}=2\\ t-t^{\prime}=-1\\ t+3t^{\prime}=5\end{array}.\)
Exercice 11 (représentations paramétriques terminale)
Voici les représentations paramétriques respectives de deux droites \((d)\) et \((d^{\prime})\) sécantes.
Déterminer leur point d’intersection.
\(\lbrace \begin{array}{l} x=1-t\\ y=2t\\ z=4\end{array}.\) \((t\in\mathbb{R})\) et \(\lbrace \begin{array}{l} x=2+t^{\prime}\\ y=-2-2t^{\prime}\\ z=t^{\prime}\end{array}.\) \((t^{\prime}\in\mathbb{R})\)
Exercice 12 :
\((d)\) et \((d^{\prime})\) sont les droites de représentations paramétriques respectives :
\(\lbrace \begin{array}{l} x=5-t\\ y=2+t\\ z=1-3t\end{array}.\) \((t\in\mathbb{R})\) et \(\lbrace \begin{array}{l} x=t^{\prime}\\ y=2-2t^{\prime}\\ z=1+t^{\prime}\end{array}.\) \((t^{\prime}\in\mathbb{R})\)
a) Démontrer que \((d)\) et \((d^{\prime})\) ne sont pas parallèles.
b) Démontrer que \((d)\) et \((d^{\prime})\) ne sont pas coplanaires en résolvant un système d’équations.
Exercice 13 (représentations paramétriques terminale)
a et b désignent des nombres réels.
On donne les points \(A(1\,;\,1\,;\,a),\ B(3\,;\,a\,;\,b),\ C(-3\,;\,b\,;\,2a+1)\).
On se propose de déterminer a et b afin que les points A, B, C soient alignés.
a) Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
b) Montrer que les points A, B, C sont alignés si, et seulement si,
\(\lbrace \begin{array}{l} b-1=-2(a-1)\\ a+1=-2(b-a)\end{array}.\)
c) Résoudre ce système et conclure en donnant les coordonnées de A, B, C.
Exercice 14 :
\((P)\) est un plan d’équation cartésienne :
\(ax+by+z+d=0\) (avec a, b et d nombres réels).
Existe-t-il des nombres a, b et d tels que les points \(A(3\,;\,1\,;\,2)\), \(B(-1\,;\,2\,;\,0)\) et \(C(0\,;\,0\,;\,-4)\) appartiennent au plan \((P)\) ?
Exercice 15 (représentations paramétriques terminale)
\((P)\) est le plan d’équation cartésienne :
\(2x+y-z+3=0\).
A est le point de coordonnées \((2\,;\,0\,;\,-1)\).
a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par A et perpendiculaire au plan \((P)\).
b) En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan \((P)\).
Bien travailler avec représentations paramétriques terminale
Tout d’abord, souligne les données utiles de chaque énoncé. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. De plus, un travail régulier sur représentations paramétriques terminale vaut mieux qu’une longue séance.
Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Représentation paramétrique sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec la récurrence : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.
