Représentations paramétriques et équations cartésiennes : exercices de maths en terminale en PDF.

Mis à jour le 2 avril 2025

✏️Exercices

Terminale • Lycée

Représentations paramétriques et équations cartésiennes

⏱️ Temps de travail : 20-45 min

🎯 Niveau : Lycée

📱 Format : Gratuit

📄 PDF : Disponible

Représentations paramétriques et équations cartésiennes avec des exercices de maths en terminale corrigés en PDF. Nous utiliserons les différentes propriétés et les coordonnées du vecteur normal à un plan. Ces exercices disposent de leur correction afin que les élèves puissent repérer leurs erreurs.

Exercice 1 :

Dans un repère orthonormé de l’espace, et sont les droites de représentations paramétriques
respectives :

$\{\begin{matrix}\,x=1+2t\\\,y=2+t\,\\\,z=-1+2t\,\end{matrix}.$ $(t\in\mathbb{R})$ $\{\begin{matrix}\,x=4t'\\\,y=-2-t'\,\\\,z=2+t'\,\end{matrix}.$ $(t\in\mathbb{R})$ $(t'\in\mathbb{R})$

a) Montrer que les droites et ne sont pas parallèles.
b) Étudier l’intersection de et en résolvant un système d’équations.

Exercice 2 :

et $(d\,')$ sont deux droites de représentations paramétriques respectives :

$\{\begin{matrix}\,x=1+2t\\\,y=-3+t\,\\\,z=5t\,\end{matrix}.$ $(t\in\mathbb{R})$ $\{\begin{matrix}\,x=2-3t'\\\,y=-2t'\,\\\,z=1-t'\,\end{matrix}.$ $(t'\in\mathbb{R})$

Indiquer oralement les coordonnées d’un point et d’un vecteur directeur de chacune des droites et $(d\,')$ .

Exercice 3 :

est la droite de représentation paramétrique :

$\{\begin{matrix}\,x=-t+1\\\,y=5+3t\,\\\,z=-2-2t\,\end{matrix}.$ $(t\in\mathbb{R})$

Déterminer mentalement les coordonnées de quatre points de la droite .

Exercice 4 :

On donne les points :

Parmi ces systèmes, une représentation paramétrique de la droite (AB) est :

$(1)\{\begin{matrix}\,x=1+3t\\\,y=2+3t\,\\\,z=1-3t\,\end{matrix}.$ $(t\in\mathbb{R})$

$(2)\{\begin{matrix}\,x=3+t'\\\,y=3+2t'\,\\\,z=-3+t'\,\end{matrix}.$ $(t'\in\mathbb{R})$

$(3)\{\begin{matrix}\,x=4+3m\\\,y=5+3m\,\\\,z=-2-3m\,\end{matrix}.$ $(m\in\mathbb{R})$

$(4)\{\begin{matrix}\,x=4-k\\\,y=5-k\,\\\,z=-2+k\,\end{matrix}.$ $(k\in\mathbb{R})$

Exercice 5 :

ABCDEFGH est le cube représenté ci-dessous.
a) Déterminer les coordonnées de chacun des sommets dans le repère $(A\,;\,\vec{AB},\,\vec{AD},\,\vec{AE})$ .

b) Déterminer une représentation paramétrique de chacune des droites (AG) et (BH).

Exercice 6 :

ABCDEFGH est le cube représenté ci-contre.
Pour chacun des plans ci-dessous, indiquer oralement deux vecteurs normaux.
a) (ABC)

b) (BCF)

c) (ADF)

Exercice 7 :

Déterminer une équation cartésienne du plan :
a) coloré en rouge passant par le point A et orthogonal à l’axe des ordonnées ;
b) $(\wp\,)$ coloré en bleu passant par le point B et orthogonal à l’axe des côtes.

Exercice 8 :

On se place dans le repère orthonormé $(A\,;\,\vec{AB},\,\vec{AD},\,\vec{AE})$ .
a) Déterminer les coordonnées d’un vecteur normal au plan (BCF), puis au plan (BCE).

b) Déterminer une équation cartésienne du plan (BCF), puis du plan (BCE).

Exercice 9 :

On a placé quatre points A, B, C, D dans le repère orthonormé ci-dessous.

a) Lire les coordonnées des points A, B, C, D.
b) Démontrer que le vecteur $\vec{n}(3\,;\,2\,;\,3)$ est normal au plan (ABC) ; puis que le vecteur $\vec{\,m}(1\,;\,-\,1\,;\,1)$ est normal au plan (ABD).
c) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC), puis du plan (ABD).
d) Alix affirme « Le point $E(-\,10\,;-15;-3)$ appartient à l’un des deux plans ».

A-t-elle raison ?

Exercice 10 :

et $(d\,')$ sont les droites de représentations paramétriques respectives :

$\{\begin{matrix}\,x=t\\\,y=1+t\,\\\,z=3-t\,\end{matrix}.$ $(t\in\mathbb{R})$ et $\{\begin{matrix}\,x=2-t'\\\,y=t'\,\\\,z=-2+3t'\,\end{matrix}.$ $(t'\in\mathbb{R})$

Déterminer mentalement lequel de ces systèmes on est amené à résoudre pour déterminer l’inter
section de et $(d\,')$ .

$(1)\{\begin{matrix}\,t+t'=2\\\,t-t'=1\,\\\,t+3t'=-5\,\end{matrix}.$ et $(2)\{\begin{matrix}\,t+t'=2\\\,t-t'=-1\,\\\,t+3t'=5\,\end{matrix}.$

Exercice 11 :

Voici les représentations paramétriques respectives de deux droites et $(d\,')$ sécantes.
Déterminer leur point d’intersection.

$\{\begin{matrix}\,x=1-t\\\,y=2t\,\\\,z=4\,\end{matrix}.$ $(t\in\mathbb{R})$ et $\{\begin{matrix}\,x=2+t'\\\,y=-2-2t'\,\\\,z=t'\,\end{matrix}.$ $(t'\in\mathbb{R})$

Exercice 12 :

et $(d\,')$ sont les droites de représentations paramétriques respectives :

$\{\begin{matrix}\,x=5-t\\\,y=2+t\,\\\,z=1-3t\,\end{matrix}.$ $(t\in\mathbb{R})$ et $\{\begin{matrix}\,x=t'\\\,y=2-2t'\,\\\,z=1+t'\,\end{matrix}.$ $(t'\in\mathbb{R})$

a) Démontrer que et $(d\,')$ ne sont pas parallèles.
b) Démontrer que et $(d\,')$ ne sont pas coplanaires en résolvant un système d’équations.

Exercice 13 :

a et b désignent des nombres réels.

On donne les points $A(1\,;\,1\,;\,a),\,B(3\,;\,a\,;\,b),\,C(-3;b;\,2a\,+\,1)$ .

On se propose de déterminer a et b afin que les points A, B, C soient alignés.

a) Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .
b) Montrer que les points A, B, C sont alignés si, et seulement si,

$\{\begin{matrix}\,b-1=-2(a+1)\\\,a+1=-2(b-a)\,\end{matrix}.$

c) Résoudre ce système et conclure en donnant les coordonnées de A, B, C.

Exercice 14 :

est un plan d’équation cartésienne :
$ax\,+\,by\,+\,z\,+\,d\,=\,0$ (avec a et b nombres réels).
Existe-t-il des nombres a et b tels que les points appartiennent
au plan .

Exercice 15 :

est le plan d’équation cartésienne :

.
A est le point de coordonnées $(2\,;\,0;-1).$
a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par A et perpendiculaire au plan .
b) En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan .

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