Représentations paramétriques et équations cartésiennes : exercices de maths en terminale en PDF.

Mis à jour le 2 avril 2025

Accueil >> Lycée >> Maths Terminale >> Exercices de maths >> Exercices en Terminale >> Représentations paramétriques et équations cartésiennes : exercices de maths en terminale en PDF.

✏️Exercices
Terminale • Lycée
Représentations paramétriques et équations cartésiennes
⏱️ Temps de travail : 20-45 min
🎯 Niveau : Lycée
📱 Format : Gratuit
📄 PDF : Disponible
Représentations paramétriques et équations cartésiennes avec des exercices de maths en terminale corrigés en PDF. Nous utiliserons les différentes propriétés et les coordonnées du vecteur normal à un plan. Ces exercices disposent de leur correction afin que les élèves puissent repérer leurs erreurs.

Exercice 1 :

Dans un repère orthonormé de l’espace, (d) et (d') sont les droites de représentations paramétriques
respectives :

\{\begin{matrix}\,x=1+2t\\\,y=2+t\,\\\,z=-1+2t\,\end{matrix}.    (t\in\mathbb{R})     \{\begin{matrix}\,x=4t'\\\,y=-2-t'\,\\\,z=2+t'\,\end{matrix}. (t\in\mathbb{R})(t'\in\mathbb{R})

a) Montrer que les droites (d) et (d') ne sont pas parallèles.
b) Étudier l’intersection de (d) et (d') en résolvant un système d’équations.

Exercice 2 :

(d) et (d\,') sont deux droites de représentations paramétriques respectives :

\{\begin{matrix}\,x=1+2t\\\,y=-3+t\,\\\,z=5t\,\end{matrix}.    (t\in\mathbb{R})     \{\begin{matrix}\,x=2-3t'\\\,y=-2t'\,\\\,z=1-t'\,\end{matrix}. (t'\in\mathbb{R})

Indiquer oralement les coordonnées d’un point et d’un vecteur directeur de chacune des droites (d) et (d\,').

Exercice 3 :

(d) est la droite de représentation paramétrique :

\{\begin{matrix}\,x=-t+1\\\,y=5+3t\,\\\,z=-2-2t\,\end{matrix}.    (t\in\mathbb{R})

Déterminer mentalement les coordonnées de quatre points de la droite (d).

Exercice 4 :

On donne les points :

A(1;2;1)  et B(4;5;-2)

Parmi ces systèmes, une représentation paramétrique de la droite (AB) est :

(1)\{\begin{matrix}\,x=1+3t\\\,y=2+3t\,\\\,z=1-3t\,\end{matrix}.    (t\in\mathbb{R})

(2)\{\begin{matrix}\,x=3+t'\\\,y=3+2t'\,\\\,z=-3+t'\,\end{matrix}.    (t'\in\mathbb{R})

(3)\{\begin{matrix}\,x=4+3m\\\,y=5+3m\,\\\,z=-2-3m\,\end{matrix}.    (m\in\mathbb{R})

(4)\{\begin{matrix}\,x=4-k\\\,y=5-k\,\\\,z=-2+k\,\end{matrix}.    (k\in\mathbb{R})

Exercice 5 :

ABCDEFGH est le cube représenté ci-dessous.
a) Déterminer les coordonnées de chacun des sommets dans le repère (A\,;\,\vec{AB},\,\vec{AD},\,\vec{AE}) .

b) Déterminer une représentation paramétrique de chacune des droites (AG) et (BH).

Exercice 6 :

ABCDEFGH est le cube représenté ci-contre.
Pour chacun des plans ci-dessous, indiquer oralement deux vecteurs normaux.
a) (ABC)

b) (BCF)

c) (ADF)

Exercice 7 :

Déterminer une équation cartésienne du plan :
a) (P) coloré en rouge passant par le point A et orthogonal à l’axe des ordonnées ;
b) (\wp\,) coloré en bleu passant par le point B et orthogonal à l’axe des côtes.

Exercice 8 :

On se place dans le repère orthonormé (A\,;\,\vec{AB},\,\vec{AD},\,\vec{AE}).
a) Déterminer les coordonnées d’un vecteur normal au plan (BCF), puis au plan (BCE).

b) Déterminer une équation cartésienne du plan (BCF), puis du plan (BCE).

Exercice 9 :

On a placé quatre points A, B, C, D dans le repère orthonormé ci-dessous.

a) Lire les coordonnées des points A, B, C, D.
b) Démontrer que le vecteur \vec{n}(3\,;\,2\,;\,3) est normal au plan (ABC) ; puis que le vecteur \vec{\,m}(1\,;\,-\,1\,;\,1) est normal au plan (ABD).
c) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC), puis du plan (ABD).
d) Alix affirme « Le point E(-\,10\,;-15;-3) appartient à l’un des deux plans ».

A-t-elle raison ?

Exercice 10 :

(d) et (d\,') sont les droites de représentations paramétriques respectives :

\{\begin{matrix}\,x=t\\\,y=1+t\,\\\,z=3-t\,\end{matrix}.    (t\in\mathbb{R})   et  \{\begin{matrix}\,x=2-t'\\\,y=t'\,\\\,z=-2+3t'\,\end{matrix}.    (t'\in\mathbb{R})

Déterminer mentalement lequel de ces systèmes on est amené à résoudre pour déterminer l’inter
section de (d) et (d\,').

(1)\{\begin{matrix}\,t+t'=2\\\,t-t'=1\,\\\,t+3t'=-5\,\end{matrix}.      et  (2)\{\begin{matrix}\,t+t'=2\\\,t-t'=-1\,\\\,t+3t'=5\,\end{matrix}.

Exercice 11 :

Voici les représentations paramétriques respectives de deux droites (d) et (d\,') sécantes.
Déterminer leur point d’intersection.

\{\begin{matrix}\,x=1-t\\\,y=2t\,\\\,z=4\,\end{matrix}.    (t\in\mathbb{R})   et  \{\begin{matrix}\,x=2+t'\\\,y=-2-2t'\,\\\,z=t'\,\end{matrix}.    (t'\in\mathbb{R})

Exercice 12 :

(d) et (d\,') sont les droites de représentations paramétriques respectives :

\{\begin{matrix}\,x=5-t\\\,y=2+t\,\\\,z=1-3t\,\end{matrix}.    (t\in\mathbb{R})   et  \{\begin{matrix}\,x=t'\\\,y=2-2t'\,\\\,z=1+t'\,\end{matrix}.    (t'\in\mathbb{R})

a) Démontrer que (d) et (d\,') ne sont pas parallèles.
b) Démontrer que (d) et (d\,')  ne sont pas coplanaires en résolvant un système d’équations.

Exercice 13 :

a et b désignent des nombres réels.

On donne les points A(1\,;\,1\,;\,a),\,B(3\,;\,a\,;\,b),\,C(-3;b;\,2a\,+\,1).

On se propose de déterminer a et b afin que les points A, B, C soient alignés.

a) Déterminer les coordonnées des vecteurs \vec{AB} et \vec{AC}.
b) Montrer que les points A, B, C sont alignés si, et seulement si,

\{\begin{matrix}\,b-1=-2(a+1)\\\,a+1=-2(b-a)\,\end{matrix}.

c) Résoudre ce système et conclure en donnant les coordonnées de A, B, C.

Exercice 14 :

(P) est un plan d’équation cartésienne :
ax\,+\,by\,+\,z\,+\,d\,=\,0 (avec a et b nombres réels).
Existe-t-il des nombres a et b tels que les points A(3;1;2);B(-1;2;0);C(0;0;-4) appartiennent
au plan (P).

Exercice 15 :

(P) est le plan d’équation cartésienne :

2x+y-z+3=0.
A est le point de coordonnées (2\,;\,0;-1).
a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \Delta passant par A et perpendiculaire au plan (P).
b) En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan (P).

4.8/5 - (22477 votes)
×12

L’équipe Mathovore

Contenu mis à jour quotidiennement
12 Enseignants Titulaires

Collectif d'enseignants titulaires de l'Éducation Nationale, spécialisés en mathématiques en primaire, au collège, au lycée et post-bac.
Notre équipe collaborative enrichit constamment nos ressources pédagogiques.

12 Professeurs
200+ Années cumulées
Quotidien Mise à jour

Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement :

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «représentations paramétriques et équations cartésiennes : exercices de maths en terminale en PDF.» au format PDF.


Nos applications

Téléchargez gratuitement la dernière version de nos applications.
Application Mathovore sur Google Play Store. Application Mathovore sur Apple Store.


Inscription gratuite à Mathovore.  Mathovore c'est 14 122 542 cours et exercices de maths téléchargés en PDF.