Exercices maths terminale S et ES

Nombres complexes : exercices Maths Terminale corrigés en PDF

Des exercices sur les nombres complexes en terminale S faisant intervenir la notion de conjugué, d’argument, les formules de Moivre et d’Euler ainsi que les écritures arithmétiques et géométriques.

Exercice 1 :

Mettre les nombres complexes sous la forme a + ib (a et b réels).

  1. (2-5i)(3+i)
  2. \frac{1}{i}
  3. \frac{3+2i}{1-i}
  4. 1+\frac{i-1}{i+1}
  5. (1+i)^3
  6. 1+i+i^2+i^3+i^4+i^5
  7. \frac{1+2i}{(2+i)(2-\sqrt{3}i)}

Exercice  2 :

Soit z=x+iy un nombre complexe (x et y réels).

On demande de calculer la partie réelle et la partie imaginaire de Z puis de déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que Z soit réel ou imaginaire pur.

  1. Z=\frac{z-i}{z+1-2i}
  2. Z=\frac{i(z+1)}{z-2i}
  3. Z=\frac{2+\overline{z}}{1+\overline{z}}

Exercice  3 :

Soit j=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}.

Calculer  j^2;j^3;1+j+j^2.

Corrigé de cet exercice

Exercice 4 : théorème de Von Aubel.

On considère un quadrilatère ABCD de sens direct.

On construit quatre carrés de centres respectifs P, Q, R et S qui s’appuient extérieurement sur les côtés [AB], [BC], [CD] et [DA] du quadrilatère ABCD (voir figure).

Le but du problème est de démontrer que les diagonales du quadrilatère PQRS sont perpendiculaires et de même longueur.

Théorème de Von Audel

On note a, b, c, d, p, q, r et s les affixes respectives des points A, B, C, D, P, Q, R et S dans un repère orthonormé  (O,\vec{e_1},\vec{e_2}) de sens direct.

  1. Démontrer que dans le carré construit sur [AB], on a p=\frac{a-ib}{1-i}.Etablir des relations analogues pour p, q, r et s en raisonnant dans les trois autres carrés.
  2. Calculer \frac{s-q}{r-p} puis conclure.

Corrigé de cet exercice

Exercices 5 : théorème de Napoléon.

On munit le plan d’un repère (O,\vec{e_1},\vec{e_2}) de sens direct.

Partie A : des caractérisations du triangle équilatéral.

On note j=e^{\frac{2i\pi}{3}}.Soient U, V et W trois points du plan d’affixes respectives u, v, w.

  1. Démontrer l’équivalence suivante : UVW est équilatéral de sens direct \Leftrightarrow\,u-v=-j^2(w-v).
  2. Démontrer l’équivalence suivante : UVW est équilatéral de sens direct \Leftrightarrow\,u+jv+j^2w=0.

Partie B : démonstration du théorème de Napoléon.

ABC est un triangle quelconque de sens direct.On construit les points P, Q et R tels que BPC, CQA et ARB soient des triangles équilatéraux  de sens direct.

On note U, V, W les centres de gravité de BPC, CQA et ARB respectivement.

Démontrer que UVW est équilatéral de même centre de gravité que ABC.

Théorème de Napoléon

Corrigé de cet exercice

Exercice 6 : montrer qu’un complexe est un réel ou imaginaire pur.

Démontrer les équivalences suivantes :

  1. Z\,reel\Leftrightarrow\,Z=\overline{Z}.
  2. Z\in\mathbb{R}\Leftrightarrow\,(Z=0\,ou\,arg(Z)=0[\pi]).
  3. Z\,imaginaire\,pur\Leftrightarrow\,Z+\overline{Z}=0.

Corrigé de cet exercice

Exercice 7 : racines de l’unité et applications.

Soit un entier naturel.On appelle racine nièmes de l’unité tout nombre complexe tel que z^n=1.

On note U_n l’ensemble des racines nièmes de l’unité.Par exemple U_2=\,\{\,-1;1\,\,\}.

1.Démontrer que  U_n={e^{\frac{2ik\pi}{n}},k\in\,\{\,0,1,2,...,n-1\,\,\}}.

démontrer que la somme des racines nièmes de l’unité est nulle.

Démontrer que, dans un repère orthonormal direct (O,\vec{e_1},\vec{e_2}), les images A_k(0<k<n-1) des nombres w_k={e^{\frac{2ik\pi}{n}}\,} sont les sommets d’un polygone régulier.

Corrigé de cet exercice

Exercice 8 : lieu de points.

Soit z un nombre complexe différent de 1.On note M le point du plan complexe d’affixe z.

On pose Z=\frac{z+1}{z-1}.

Déterminer l’ensemble :

1.E des poins M tels que Z soit réel.

2.F des points M tels que \,|Z\,\,|=1.

3.G des points M tels que arg(Z)=\frac{\pi}{2}[2\pi].

Corrigé de cet exercice

Exercice 9 : identité du parallélogramme.

Démontrer que pour tous nombres complexes Z et Z ‘, on a :

\,|Z+Z'\,\,|^2+\,|Z-Z'\,\,|^2=2\,|Z\,\,|^2+2\,|Z'\,\,|^2

Indication : utiliser la relation \,|Z\,|^2=Z\overline{Z}
Interpréter géométriquement.

Corrigé de cet exercice

Exercice 10 : utilisation des nombres complexes.

Soient a, b nombres entiers relatifs.On suppose que a et b sont la somme de deux carrés :

il existe x, y \in\,\mathbb{Z} tels que a=x^2+y^2 et il existe z,t\in\,\mathbb{Z} tels que b=z^2+t^2.

Démontrer que le produit ab est encore la somme de deux carrés.

Indice : écrire (x^2+y^2)=\,|x+iy\,\,|^2.

Corrigé de cet exercice

Exercice 11 : écriture complexe d’une transformation.

1. Soit f la transformation du plan complexe qui à M(z) associe M ‘ (z) tel que  z'=az+3i.

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f lorsque a = 2, puis lorsque a = – i.

2. On donne A(1), B(2+i), A ‘ (2i) et B ‘ (1+i).

Vérifier que AB=A’B’.

Démontrer qu’il existe une unique rotation r telle que r(A) = A’ et r(B) = B’.La déterminer..

Corrigé de cet exercice

Exercice 12 : calcul de cosinus et sinus.

1.Résoudre dans \mathbb{C}\,\times \,\mathbb{C}, le système suivant :

\{\begin{matrix}\,u+v\,=-\frac{1}2{\,\\\,uv=-\frac{1}{4}\,\end{matrix}.

2. On pose w=e^{\frac{2i\pi}{5}}.

Démontrer que w^0+w^1+w^2+w^3+w^4+w^5=0.

En déduire, à l’aide des formules d’Euler, que :

cos\,(\,\frac{2\pi}{5}\,\,)+cos\,(\,\frac{4\pi}{5}\,\,)=-\frac{1}{2}

Corrigé de cet exercice

Exercice 13 : extrait du bac.

Soient les nombres complexes  z_1=\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2} et  z_2=1-i .

1. Mettre sous forme trigonométrique  z_1\,,\,z_2\,,\,Z=\frac{z_1}{z_2} .

En déduire que :

 cos(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} et  sin(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} .

3. On considere l’équation d’inconnue réelle x :

 (\sqrt{6}+\sqrt{2})cos x+(\sqrt{6}-\sqrt{2})sin x=2

a. Résoudre cette équation dans  \mathbb{R} .

b. Placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique .

Corrigé de cet exercice

Somme de modules

On considère un nombre complexe z de module 1   (|z|=1)

Montrer que :

|1 + z|² + |1 – z|² = 4

Corrigé de cet exercice

Forme algébrique

I.1)Quelle est la forme la forme algébrique de \sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{2}}e^{i\frac{\pi }{4}}?

I.2) Quelle est la forme algébrique de \frac{2}{3}\frac{e^{i\frac{\pi }{2}}}{e^{i\frac{\pi }{3}}}?

II.1)Factoriser astucieusement Z = z²+9

II.2)Idem Z=z²+5

II.3)Z = z²+1

III.1) Quelle est la transformation associée à la fonction z \mapsto z+a avec z et a appartenant à \mathbb{C}, z de la forme x+iy, x, y appartiennent à \mathbb{R}

III.2) Quelle est la transformation associée à la fonction z \mapsto -z avec z appartient à \mathbb{C}

III.3) Quelle est la transformation associée à la fonction z \mapsto izavec z appartient à \mathbb{C}

Corrigé de cet exercice

Nombres complexes extrait de sujet du bac S

Le plan complexe est rapporté est rapporté à un repère orthonormal (O,\vec{u},\vec{v})

Soit (C ) le cercle de centre O et de rayon 1.
On considère le point A de (C ) d’affixe z_A=e^{i\frac{\pi}{3}}
1) Déterminer l’affixe z_B du point B image de A par la rotation de centre O et d’angle \frac{2\pi}{3}.
Déterminer l’affixe z_C du point C image de B par la rotation de centre O et d’angle \frac{2\pi}{3}.
2. a) Justifier que (C ) est le cercle circonscrit au triangle ABC.
Construire les points A, B et C sur la feuille de papier millimétré.
b) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
3) Soit h l’homothétie de centre O et de rapport −2.
a) Compléter la figure en plaçant les points P, Q et R images respectives des points A, B et C
par h.
b) Quelle est la nature du triangle P QR ? Justifier.
4) Dans cette question, le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche
même si elle n’aboutit pas.
a) Donner l’écriture complexe de h.
b) Calculer z_A + z_B + z_C.
En déduire que A est le milieu du segment [QR].
c) Que peut-on dire de la droite (QR) par rapport au cercle (C ) ?

Corrigé de cet exercice

Exercice Bac S Asie :

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O,\vec{u},\vec{v}).

On prendra pour le dessin    \| \vec{u} \|=4\,cm.
M est un point d’affixe z non nul.
On désigne par M′ le point d’affixe z'=-\frac{1}{z} .
où z désigne le conjugué du nombre complexe z.
Partie A. Quelques propriétés
1) Soit z un nombre complexe non nul.
Déterminer une relation entre les modules de z et z′, puis
une relation entre les arguments de z et z′.
2) Démontrer que les points O, M et M′ sont alignés.
3) Démontrer que pour tout nombre complexe z non nul, on a l’égalité :
\overline{z'+1}=\frac{1}{z}(z-1)
Partie B. Construction de l’image d’un point
On désigne par A et B les deux points d’affixes respectives 1 et −1.
On note C l’ensemble des points M du plan dont l’affixe vérifie :
|z − 1| = 1.
1) Quelle est la nature de l’ensemble C ?
2) Soit M un point de C d’affixe z, distinct du point O.
a) Démontrer que |z′ + 1| = |z′|.
Interpréter géométriquement cette égalité.
b) Est-il vrai que si z′  vérifie l’égalité |z′ + 1| = |z′’|, alors z vérifie l’égalité |z − 1| = 1 ?
3) Tracer l’ensemble C sur une figure.
Si M est un point de C , décrire et réaliser la construction du point M′ .
.

Corrigé de cet exercice

Nombres complexes Bac S Pondichéry

Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances.

 Partie A
On suppose connus les résultats suivants :
1. Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes z_Az_B et z_C trois points A, B et C.
Alors  |\frac{z_B-z_C}{z_A-z_C} |=\frac{CB}{CA}\,et\,arg ( \frac{z_B-z_C}{z_A-z_C} )=(\vec{CA},\vec{CB})\,\,[2\pi]
2. Soit z un nombre complexe et \alpha un réel : z=e^{i\theta }
si et seulement si |z| = 1 et arg(z) = θ + 2kπ, où
k est un entier relatif.
Démonstration de cours :
Démontrer que la rotation r d’angle α et de centre Ω d’affixe ω est la
transformation du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M′ d’affixe z′
tel que     z'-w=e^{i\alpha }(z-w)
Partie B
Dans un repère orthonormal direct du plan complexe (O,\vec{u},\vec{v}) d’unité graphique 2 cm,
on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives :
z_A=-\sqrt{3}-i\,;\,z_B=1-i\sqrt{3},z_C= \sqrt{3}-i,z_D=-1+i \sqrt{3}
3.
1. a. Donner le module et un argument pour chacun des quatre nombres complexes z_Az_B , z_C et z_D.
b. Comment construire à la règle et au compas les points A, B, C et D dans le repère (O,\vec{u},\vec{v}) ?
c. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
2. On considère la rotation r de centre B et d’angle -\frac{\pi}{3} .
Soient E et F les points du plan  définis par : E = r(A) et F = r(C).
a. Comment construire à la règle et au compas les points E et F dans le repère précédent ?
b. Donner l’écriture complexe de r.
c. Déterminer l’affixe du point E.

Corrigé de cet exercice

Equations complexes Bac S France

 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O,\vec{u},\vec{v}); l’unité graphique est 1 cm.
1) Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation :
z^2+4z+8=0
On donnera les solutions sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.
2) On note A et B les points du plan d’affixes respectives :
a = 2 − 2i et b = −a.
a) Déterminer l’affixe c du point C, image du point B par la rotation de centre O et d’angle \frac{\pi}{2}.
b) On note D l’image de C par la rotation de centre A et d’angle \frac{\pi}{2}.
Démontrer que l’affixe d du point D est d = 2 − 6i.
c) Placer les points C et D sur le graphique.
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
3) \alpha étant un nombre réel non nul, on désigne par G_\alpha le barycentre du système :
{(A, 1),(B, −1),(C,\alpha)}.
a) Exprimer le vecteur \vec{CG_\alpha }  en fonction du vecteur \vec{BA} .
b) En déduire l’ensemble des points G_\alpha lorsque \alpha décrit l’ensemble des réels non nuls.
Construire cet ensemble.
c) Pour quelle valeur de \alpha a-t-on G_\alpha = D ?
4) On suppose dans cette question que \alpha= 2.
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative non fructueuse, sera
prise en compte dans l’évaluation.
Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que :
 \| \vec{MA}-\vec{MB}+2\vec{MC} \|=4\sqrt{2}

Corrigé de cet exercice

Etude d’une application

La feuille annexe donnée portera les constructions demandées au cours de l’exercice.

 Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct(O,\vec{u},\vec{v}), le point A a pour affixe i.
On nomme f l’application qui, à tout point M d’affixe z avecz\neq i associe le point M′
d’affixe z′’ telle que :
z'=\frac{-z^2}{z-i}
Le but de l’exercice est de construire géométriquement le point M′
connaissant le point M.
1) Un exemple.
On considère un point K d’affixe 1 + i.
a) Placer le point K.
b) Déterminer l’affixe du point K’ image de K par f.
c) Placer le point K′.
2) Des points pour lesquels le problème ne se pose pas.
a) On considère le point L d’affixe \frac{i}{2} .
 Déterminer son image L′  par f. Que remarque-t-on ?
b) Un point est dit invariant par f s’il est confondu avec son image.
Démontrer qu’il existe deux points invariants par f dont on déterminera les affixes.
3) Un procédé de construction.
On nomme G l’isobarycentre des points A, M, et M′ , et g l’affixe de G.
a) Vérifier l’égalité g=\frac{1}{3(z-i)}.
b) En déduire que si M est un point du cercle de centre A de rayon r, alors G est un point
du cercle de centre O de rayon \frac{1}{3r} .
c) Démontrer quearg\, g=-(\vec{u},\vec{AM}) .
d) Sur la feuille annexe, on a marqué un point D sur le cercle de centre A et de rayon \frac{1}{2} .
On nomme D′   l’image de D par f.
Déduire des questions précédentes la construction du point D′
et la réaliser sur la figure annexe .
Document annexe :

Corrigé de cet exercice

Affirmations vraies ou fausses

L’exercice comporte quatre affirmations repérées par les lettres a), b), c) et d). Indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie ou fausse.

Soient A le point d’affixe a=1-i et B le point d’affixe b=2i-3.

A tout point M d’affixe z, avec z différent de b, on associe le point M’ d’affixe:

Z=\frac{z-1+i\,}{z+3-2i}.

a) L’ensemble des points M d’affixe z tels que Z soit réel est le segment [AB].

b)Pour tout z différent de -3+2i et de -3-2i, on obtient la forme algébrique de Z par le calcul:

\frac{(z-1+i)(z+3+2i)\,}{(z+3-2i)(z+3+2i)}.

c)L’ensemble des point M’ d’affixe z tels que M’ soit un point de l’axe des ordonnées et le cercle d’équation (x+1)^2\,+\,(y-\frac{1}{2})^2=\frac{25}{4} , sauf le point B.

d) Soit z0 une solution de l’équation Z=\frac{\,z-1+i\,}{z+3-2i}=i (on admet l’existence d’une telle solution).

Le point M0 d’affixe z0 est un point de la médiatrice de [AB]

Corrigé de cet exercice

Complexes, argument et module

Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct (O,u,v) unité graphique 2 cm.
On appelle A et B les points du plan d’affixes respectives a=1 et b=-1
On considère l’application f qui, a tout point M différent du point B, d’affixe z, fait correspondre le point M’ d’affixe z’ définie par z'=\frac{z-1}{z+1}  .
1. Déterminer les points invariants de f.

2. a) montrer que, pour tout nombre complexe z différent de -1, (z'-1)(z+1)=-2.
b) En déduire une relation entre |z'-1| et |z+1|, puis entre arg (z’-1) et arg (z+1), pour tout nombre complexe z diffèrent de -1.

3. Montrer que si M appartient  au cercle (C) de centre B et de rayon 2, alors M’ appartient au cercle (C’) de centre A et de rayon 1.

4.Soit le point P d’affixe P=-2+i\sqrt{3}.
a) Déterminer la forme trigonométrique de (p+1)
b) montrer que le point P appartient au cercle (C)

Corrigé de cet exercice

Problème

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; u, v) (unité graphique: 4cm).

On note A, B et C les points d’affixes respectives 2 i, – 1 et i.

 On considère l’application f qui, à tout point M diffèrent de A et d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z ’ tel que :
z'=\frac{z+1}{z-2i}
1.
a. Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.
b. Déterminer l’affixe du point C’, image de C par f . Quelle est la nature du quadrilatère ACBC’ ?
c. Montrer que le point C admet un unique antécédent par f , que l’on appellera C ». Quelle est la nature du triangle BCC » ?
2. Donner une interprétation géométrique du module et d’un argument de z ’ (lorsque celui-ci existe).
3.Déterminer en utilisant la question précédente, les ensembles suivants :
a. l’ensemble E_0 des point M dont les images par f ont pour affixe un nombre réel strictement négatif;
b. l’ensemble E_1 des point M dont les images par f ont pour affixe un nombre imaginaire pur non nul;
c. l’ensemble E_2 des points M dont les images appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1.

Corrigé de cet exercice


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