Ce contrôle de maths de Terminale porte sur le thème suivant : limites par croissances comparées.
Ce sujet type bac est consacré aux limites qui font intervenir la fonction exponentielle. Tu appliqueras les croissances comparées de \(e^x\) et de \(x^n\) pour lever des formes indéterminées, puis tu calculeras des limites de fonctions composées. Un exercice demande d’utiliser les théorèmes de comparaison et des gendarmes avec des fonctions comme \(x + \sin(x)\).
Le problème final étudie la fonction \(f(x) = (2x – 1)e^{-x}\) : limites aux bornes, asymptote, dérivée et variations, signe et lecture de la courbe. Durée : une heure, calculatrice autorisée.
- Niveau : Terminale
- Chapitre : Limites et asymptotes
- Durée conseillée : 1 heure
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 5 points ; exercice 2 : 3 points ; exercice 3 : 4 points ; exercice 4 : 8 points)
- Compétences évaluées :
- Calculer : utiliser les croissances comparées de la fonction exponentielle et des puissances
- Chercher : lever une forme indéterminée en factorisant par le terme qui l’emporte
- Raisonner : appliquer la limite d’une composée et les théorèmes de comparaison et des gendarmes
- Représenter : relier les limites et les variations d’une fonction à sa courbe
- Communiquer : interpréter une limite en termes d’asymptote et de position de courbe
Exercice 1 : Croissances comparées (5 points)
Calculatrice autorisée.
Déterminer les limites suivantes en justifiant.
- \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^3}\) (1 point)
- \(\lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x}\) (1 point)
- \(\lim_{x \to -\infty} x e^x\) (1 point)
- \(\lim_{x \to +\infty} (e^x – x^2)\) (1 point)
- \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3e^x + x}{e^x + x^2}\) (1 point)
Exercice 2 : Limites de fonctions composées (3 points)
Déterminer les limites suivantes en précisant les étapes de la composition.
- \(\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2 + 1}\) (1 point)
- \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt{\dfrac{4x + 1}{x + 2}}\) (1 point)
- La limite de \(e^{\frac{1}{x}}\) quand \(x\) tend vers 0 par valeurs supérieures, puis par valeurs inférieures. (1 point)
Exercice 3 : Comparaison et encadrement (4 points)
- Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x + \sin(x)\). Montrer que, pour tout réel \(x\), \(x – 1 \leq\, f(x) \leq\, x + 1\), puis en déduire les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\). (2 points)
- Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(g(x) = \dfrac{x + \sin(x)}{x}\). Déterminer \(\lim_{x \to +\infty} g(x)\). (1,5 point)
- Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = \cos(x)\, e^{-x}\). Déterminer \(\lim_{x \to +\infty} h(x)\). (0,5 point)
Exercice 4 : Étude d’une fonction exponentielle (8 points)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (2x – 1)e^{-x}\). Sa courbe \(\mathcal{C}_f\) est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal.
- Déterminer la limite de \(f\) en \(-\infty\). (1 point)
- Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\) (on pourra écrire \(f(x) = 2 \times \dfrac{x}{e^x} – e^{-x}\)). Interpréter graphiquement ce résultat. (2 points)
- Déterminer \(\lim_{x \to +\infty} x f(x)\). (1 point)
- Montrer que, pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x) = (3 – 2x)e^{-x}\). En déduire le tableau de variations complet de \(f\) (avec les limites) et la valeur exacte de son maximum, puis une valeur approchée à \(10^{-2}\) près. (2,5 points)
- Étudier le signe de \(f(x)\) selon les valeurs de \(x\). En déduire la position de \(\mathcal{C}_f\) par rapport à l’axe des abscisses et vérifier la cohérence avec la figure. (1,5 point)
Réviser avant le contrôle : limites par croissances comparées
Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Les limites et les asymptotes » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés limite de fonctions.
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