Contrôle de maths Terminale : espérance, variance et concentration

Exercice 1 : Le jeu de la roue (4 points)

Calculatrice autorisée.

À la kermesse d’un lycée, une partie de roue coûte 2 €. Selon la case sur laquelle la roue s’arrête, le joueur récupère 0 €, 2 €, 5 € ou 12 €. On note G le gain algébrique du joueur, en euros (somme récupérée moins la mise). La loi de G est donnée ci-dessous, où p est un réel.

1. Détermine la valeur de p. (0,5 point)
2. Calcule l’espérance \(E(G)\). (1 point)
3. Calcule la variance \(V(G)\) puis l’écart type \(\sigma(G)\), arrondi au centième. (1,5 point)
4. Le jeu est-il favorable au joueur ou à l’organisateur ? Explique ce que signifie \(E(G)\) pour l’organisateur qui fait tourner la roue 400 fois dans la journée. (1 point)

Exercice 2 : Des degrés Celsius aux degrés Fahrenheit (3 points)

La température de midi, en degrés Celsius, relevée chaque jour de juin dans une ville est modélisée par une variable aléatoire T d’espérance \(E(T) = 20\) et de variance \(V(T) = 4\). Un site américain affiche cette température en degrés Fahrenheit : \(F = 1{,}8\,T + 32\).

1. Calcule \(E(F)\). (1 point)
2. Calcule \(V(F)\) et \(\sigma(F)\). (1,5 point)
3. Explique pourquoi le nombre 32 n’intervient pas dans le calcul de \(V(F)\). (0,5 point)

Exercice 3 : Temps d’attente au snack (4 points)

Dans un snack, la préparation d’un menu se fait en deux étapes : le sandwich, puis la boisson. On note X la durée de préparation du sandwich et Y celle de la boisson, en minutes. On sait que \(E(X) = 3\), \(V(X) = 0{,}64\), \(E(Y) = 1\) et \(V(Y) = 0{,}36\). Les variables X et Y sont indépendantes. On pose \(T = X + Y\), durée totale de préparation d’un menu.

1. Calcule \(E(T)\), \(V(T)\) et \(\sigma(T)\). Quelle hypothèse est indispensable pour le calcul de \(V(T)\) ? (1,5 point)
2. Pendant le service de midi, le snack prépare 30 menus. Les durées de préparation \(T_1\), \(T_2\), etc., \(T_{30}\) sont indépendantes et suivent toutes la même loi que T. On note \(S = T_1 + T_2 + T_3 + \text{etc.} + T_{30}\). Calcule \(E(S)\), \(V(S)\) et \(\sigma(S)\), arrondi au dixième. (1,5 point)
3. On note \(M = \dfrac{S}{30}\) la durée moyenne de préparation d’un menu sur ce service. Calcule \(E(M)\) et \(V(M)\). Que remarques-tu en comparant \(V(M)\) et \(V(T)\) ? (1 point)

Exercice 4 : Paquets de pâtes (4 points)

Une machine remplit des paquets de pâtes. La masse d’un paquet, en grammes, est une variable aléatoire X d’espérance \(E(X) = 500\) et d’écart type \(\sigma(X) = 4\).

1. À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majore \(P(|X – 500| \geq\, 10)\). (1 point)
2. Déduis-en une minoration de la probabilité qu’un paquet ait une masse strictement comprise entre 490 g et 510 g. (1 point)
3. Détermine le plus petit réel \(\delta\) strictement positif pour lequel l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev garantit \(P(|X – 500| \geq\, \delta) \leq\, 0{,}04\). (1 point)
4. Sur un contrôle de 1 000 paquets, \(5\,\%\) ont une masse hors de l’intervalle \(]490\,;510[\). Ce résultat contredit-il la question b ? Explique. (1 point)

Exercice 5 : La pièce imprimée en 3D (5 points)

Léo a fabriqué une pièce de monnaie avec une imprimante 3D. Elle n’est peut-être pas équilibrée : on note p la probabilité, inconnue, d’obtenir pile. Il lance la pièce n fois ; on note \(X_i\) la variable qui vaut 1 si le i-ième lancer donne pile et 0 sinon, et \(M_n\) la moyenne de \(X_1\), \(X_2\), etc., \(X_n\), c’est-à-dire la fréquence de pile. Les lancers sont indépendants.

1. On rappelle que \(V(X_i) = p(1 – p)\). En étudiant la fonction \(f : x \mapsto x(1 – x)\) sur \([0\,;1]\), montre que \(V(X_i) \leq\, \dfrac{1}{4}\). (1 point)
2. L’inégalité de concentration donne, pour tout réel \(\delta > 0\) : \(P(|M_n – p| \geq\, \delta) \leq\, \dfrac{V(X_1)}{n\delta^2}\). Pour \(n = 1000\) et \(\delta = 0{,}05\), montre que \(P(|M_n – p| \geq\, 0{,}05) \leq\, 0{,}1\) et traduis ce résultat par une phrase. (1,5 point)
3. Détermine un nombre de lancers n qui garantit, quelle que soit la valeur de p, que \(P(|M_n – p| \geq\, 0{,}02) \leq\, 0{,}05\). (1,5 point)
4. Léo a simulé 2 000 lancers ; la figure donne la fréquence de pile en fonction du nombre de lancers. Énonce la loi des grands nombres et propose, à l’aide de la figure, une estimation de p. (1 point)

Réviser avant le contrôle : espérance, variance et concentration

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Les probabilités conditionnelles » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés probabilités.

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