Arithmétique : exercices en terminale spécialité de maths corrigés en PDF.

Mis à jour le 23 mars 2025

Sommaire

✏️Exercices

Terminale • Lycée

Arithmétique

⏱️ Temps de travail : 20-45 min

🎯 Niveau : Lycée

📱 Format : Gratuit

📄 PDF : Disponible

L’arithmétique à travers des exercices de maths en terminale corrigés pour les élèves suivants l’enseignement de spécialité. Vous trouverez les différentes propriétés du cours à appliquer ainsi que le théorème de Gauss et le théorème de Bézout.

Exercice 1 – Arithmétique en terminale

1-Etablir que pour tout $(a,b,q)\in \mathbb{Z}^3 ,pgcd(a,b) = pgcd(b,a-bq)$
2-Montrer que pour tout $n\in \mathbb{Z} , pgcd(5n^ 3 -n,n+2) = pgcd(n+2,38)$

Exercice 2 – Démontrer qu’un entier est divisible par 3

n designe un nombre entier naturel.
Demontrer que n(n+2)(n+4) est divisible par 3.

Exercice 3 – Démontrer la propriété suivante :

Soit a et b deux entiers naturels non nuls, alors on a :
PGCD(a ;b)×PPCM(a ;b) = a × b.

On admettra la propriété suivante :

Si a’ et b’ sont deux entiers naturels premiers entre eux alors PPCM(a’ ;b’) = a’×b’.

Exercice 4 – Système d’équations
Résoudre dans $\mathbb{N}^2$ , le système :
$\{ a^2-b^2=405\\3\times ppcm(a;b)=ab .$

Exercice 5 – Montrer qu’un entier n’est jamais un nombre premier

On désigne par a et b deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.
1) Développer le carré .
2) En déduire que l’entier naturel n’est jamais un nombre premier.

Exercice 6 – Congruences

Exercice 7 – Différence de cube
1. Démontrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$ et $y\in\mathbb{R}$ ,on a .
2. résoudre l’équation où les inconnues sont des entiers naturels .

Exercice 8 – Théorème de la division euclidienne dans Z
On note $a\in\mathbb{Z}\,,\,b\in\mathbb{Z}^*$ .
D’après le théorème de la divison euclidienne dans $\mathbb{Z}$ ,
il existe $q\in\mathbb{Z}$ et $r\in\mathbb{N}$ tels que :
$a=bq+r\,et\,0\leq\, r\leq\, | b |$ .
Démontrer que le couple (q,r) est unique .

Exercice 9 – Problème sur les racines carrées
On note $n\in\mathbb{N}^*$ tel que n soit le carré d’aucun entier.
Rappel : tout entier naturel admet une décomposition unique en produit de facteurs premiers .
On suppose que $\sqrt{n}\in\mathbb{Q}$ et donc qu’il existe $p\in \mathbb{N}$ et $q\in \mathbb{N}^*$
tels que $\sqrt{n}=\frac{p}{q}$ avec pgcd(p,q)=1.
1. Exprimer en fonction de et .
2. Que peut-on dire des exposants des facteurs premiers figurant dans la décomposition de ?
3. Conclure .
4. Démontrer par l’absurde que $\sqrt{2}+\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}$ .

Exercice 10 – Somme à calculer
On note $x\in \mathbb{R}\setminus \{ \,-1,1 \}$ .
Démontrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ , on a :
$\sum_{k=0}^{n}\frac{2^k}{{x^2}^k+1}=\frac{1}{x-1}-\frac{2^{n+1}}{x^{2^{n+1}}-1}$ .

Exercice 11 – Calcul d’une somme
Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}^*$ ,
on a $\sum_{k=1}^{n}(-1)^kk=\frac{(-1)^n(2n+1)-1}{4}$ .

Exercice 12 – Puissance, arithmétique et raisonnement par récurrence
On note x un réel positif .
Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\in \mathbb{N}$ , on a $(1+x)^n\geq\, 1+nx$ .

Exercice 13 – Contraposée et raisonnement par récurrence
On note $n\in \mathbb{N}^*$ .
Le but de cet exercice est de montrer par contraposition la propriété suivante :
Si l’entier n’est pas divisible par 8 alors l’entier n est pair .
1. Ecrire la contraposée de la proposition précédente .
2. En remarquant qu’un entier impair n s’écrit sous la forme
avec $k \in \mathbb{N}$ et $r \in \{1,2,3 \}$ ( à justifier).Prouver la contraposée .
3. Que peut-on en déduire ?

Exercice 14 – Multiple d’un nombre
Montrer que, pour tout entier $n\geq\, 0$ , est un multiple de 3 .

Exercice 15 -Raisonnement par récurrence
1. Développer, réduire et ordonner .
2. En déduire que pour tout entier $n\geq\, 0$ , est un multpile de 5 .

Exercice 16 -Somme des cubes
1. Montrer que $\foralln\in\mathbb{N}^*\,,\,S=\sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ .
2. En déduire la valeur de .

Exercice 17 -Multiple d’un nombre
Montrer que pour tout entier $n\geq\,0\,,\,n^3-n$ est un multiple de 3.

Exercice 18 -Bac s spécialité et arithmétique
Soit n un entier naturel .
1. trouver suivant les valeurs de n, les restes de la division de par 13 .
2. En déduire que $1981^{1981}-5$ est divisible par 13.
3. Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre $N=31^{4n+1}+18^{4n-1}$ est divisible par 13 .

Exercice 19 – Problème sur l’arithmétique

Soit n un entier relatif et . Montrer que a est divisible par 3.

Exercice 20
Soit n un entier naturel
Montrer que

Exercice 21
Soit p un nombre entier naturel impair. Montrer que la somme de p entiers naturels consécutifs est un multiple de p.

Exercice 22
Indice : Théorème de Bézout
Soit x un réel. Montrer que si et sont des nombres rationnels, alors x l’est également.

Exercice 23
Indice: Lemme de Gauss
Résoudre dans N* l’équation :

Exercice 24
Soit n un entier naturel

Exercice 25 – Nombres de Mersenne
Soit n un entier naturel non nul.
On considère les nombre de la forme : dits nombres de Mersenne.
1. Montrer que sont des nombres premiers.
2. Montrer que si p est un diviseur de n, alors est divisible par .
En déduire que si est un nombre premier alors n l’est également.
3. Etudier la réciproque.

Exercice 26
Trouver tous les couples (a,b) d’entiers naturels vérifiant : ppcm(a,b) = 40 et a+b=60

Exercice 27
Soit a et b deux entiers naturels.
Montrer que si pgcd(a,b) = 1 alors pgcd(a,b²) = 1

Exercice 28
Soit n un entier naturel impair,
Montrer que parmi (n-1)²+1 entiers, il en existe n dont la somme est un multiple de n.

Exercice 29
Soit n un entier naturel
1. Démontrer que n²+5n+4 et n²+3n+2 sont divisibles par (n+1)
2. Déterminer l’ensemble des valeurs de n pour lesquelles 3n²+15n+19 est divisible par n+1
3. En déduire que pour tout entier naturel n, 3n²+15n+19 n’est pas divisible par n²+3n+2.

Exercice 30 – Nombres de Fermat .
Soit n un entier naturel .
a. Montrer que si est premier, alors n est une puissance de 2
b. On pose (nombres de Fermat). Montrer que les sont deux à deux premiers entre eux.

4.2/5 - (28078 votes)

×12

L’équipe Mathovore

Contenu mis à jour quotidiennement

12 Enseignants Titulaires

Collectif d'enseignants titulaires de l'Éducation Nationale, spécialisés en mathématiques en primaire, au collège, au lycée et post-bac.
Notre équipe collaborative enrichit constamment nos ressources pédagogiques.

12 Professeurs

200+ Années cumulées

Quotidien Mise à jour

Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement :

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «arithmétique : exercices en terminale spécialité de maths corrigés en PDF.» au format PDF.

Ressources de terminale

Nos applications

Téléchargez gratuitement la dernière version de nos applications.

Mathovore c'est 14 122 542 cours et exercices de maths téléchargés en PDF.

Arithmétique : exercices en terminale spécialité de maths corrigés en PDF.

L’équipe Mathovore

12 Enseignants Titulaires

Ressources de terminale

Cours de terminale

Exercices de terminale

Baccalauréat