Cette série de trente exercices d’arithmétique s’adresse aux élèves de terminale qui suivent la spécialité mathématiques. On y manipule la divisibilité dans \(\mathbb{Z}\), la division euclidienne, le PGCD et le PPCM, puis les grands théorèmes du programme : l’identité de Bézout et le lemme de Gauss, appliqués à des équations en nombres entiers et à des fractions irréductibles.
D’autres énoncés font travailler les congruences (restes des puissances de 5 modulo 13, divisibilité par 5), les changements de bases de numération, les nombres premiers avec les nombres de Mersenne et de Fermat, l’irrationalité de \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\), ainsi que de nombreuses démonstrations par récurrence ou par contraposée sur des sommes et des multiples. Le principe des tiroirs apparaît enfin dans un problème plus ouvert.
Pour progresser, cherchez chaque question au brouillon en rédigeant toutes les justifications, puis comparez votre démarche avec la correction détaillée de ces trente exercices. Des questions directes y côtoient des démonstrations plus longues : l’ensemble constitue un bon entraînement avant un devoir surveillé ou l’épreuve de spécialité du baccalauréat.
Exercice 1 – Arithmétique en terminale
1-Etablir que pour tout \((a,b,q)\in \mathbb{Z}^3\), \(\text{pgcd}(a,b) = \text{pgcd}(b,a-bq)\).
2-Montrer que pour tout \(n\in \mathbb{Z}\), \(\text{pgcd}(5n^3-n,n+2) = \text{pgcd}(n+2,38)\).
Exercice 2 – Démontrer qu’un entier est divisible par 3
n désigne un nombre entier naturel.
Démontrer que n(n+2)(n+4) est divisible par 3.
Exercice 3 – Démontrer la propriété suivante :
Soit a et b deux entiers naturels non nuls, alors on a :
PGCD(a ;b)×PPCM(a ;b) = a × b.
On admettra la propriété suivante :
Si a’ et b’ sont deux entiers naturels premiers entre eux alors PPCM(a’ ;b’) = a’×b’.
Exercice 4 – Système d’équations
Résoudre dans \(\mathbb{N}^2\) , le système :
\(\begin{cases} a^2-b^2=405 \\ 3\times \text{ppcm}(a;b)=ab \end{cases}\)
Exercice 5 – Montrer qu’un entier n’est jamais un nombre premier
On désigne par a et b deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.
1) Développer le carré \((a^2+2b^2)^2\).
2) En déduire que l’entier naturel \(a^4+4b^4\) n’est jamais un nombre premier.
Exercice 6 – Congruences
(a) Transformer 235 en écriture en base 2.
(b) Transformer \(\overline{101101}^{\,2}\) en écriture en base 10.
(c) Transformer 65 en écriture en base 5.
(d) Transformer \(\overline{231}^{\,7}\) en écriture en base 2.
Exercice 7 – Différence de cube
1. Démontrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}\) et \(y\in\mathbb{R}\), on a \(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\).
2. Résoudre l’équation \(x^3-y^3=127\) où les inconnues sont des entiers naturels.
Exercice 8 – Théorème de la division euclidienne dans Z
On note \(a\in\mathbb{Z}\,,\,b\in\mathbb{Z}^*\) .
D’après le théorème de la division euclidienne dans \(\mathbb{Z}\),
il existe \(q\in\mathbb{Z}\) et \(r\in\mathbb{N}\) tels que :
\(a=bq+r\) et \(0\leq\, r \lt |b|\).
Démontrer que le couple (q,r) est unique .
Exercice 9 – Problème sur les racines carrées
On note \(n\in\mathbb{N}^*\) tel que n soit le carré d’aucun entier.
Rappel : tout entier naturel admet une décomposition unique en produit de facteurs premiers .
On suppose que \(\sqrt{n}\in\mathbb{Q}\) et donc qu’il existe \(p\in \mathbb{N}\) et \(q\in \mathbb{N}^*\)
tels que \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) avec pgcd(p,q)=1.
1. Exprimer \(p^2\) en fonction de \(n\) et \(q\) .
2. Que peut-on dire des exposants des facteurs premiers figurant dans la décomposition de \(n\) ?
3. Conclure .
4. Démontrer par l’absurde que \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}\) .
Exercice 10 – Somme à calculer
On note \(x\in \mathbb{R}\setminus \{ \,-1,1 \}\).
Démontrer que pour tout \(n\in \mathbb{N}\) , on a :
\(\sum_{k=0}^{n}\frac{2^k}{x^{2^k}+1}=\frac{1}{x-1}-\frac{2^{n+1}}{x^{2^{n+1}}-1}\) .
Exercice 11 – Calcul d’une somme
Démontrer par récurrence que pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\) ,
on a \(\sum_{k=1}^{n}(-1)^kk=\frac{(-1)^n(2n+1)-1}{4}\) .
Exercice 12 – Puissance, arithmétique et raisonnement par récurrence
On note x un réel positif .
Démontrer par récurrence que pour tout entier \(n\in \mathbb{N}\) , on a \((1+x)^n\geq\, 1+nx\) .
Exercice 13 – Contraposée et raisonnement par récurrence
On note \(n\in \mathbb{N}^*\) .
Le but de cet exercice est de montrer par contraposition la propriété suivante :
Si l’entier \(n^2-1\) n’est pas divisible par 8 alors l’entier n est pair .
1. Ecrire la contraposée de la proposition précédente .
2. En remarquant qu’un entier impair n s’écrit sous la forme \(n=4k+r\)
avec \(k \in \mathbb{N}\) et \(r \in \{1,3\}\) (à justifier), prouver la contraposée .
3. Que peut-on en déduire ?
Exercice 14 – Multiple d’un nombre
Montrer que, pour tout entier \(n\geq\, 0\), \(n^3-n\) est un multiple de 3 .
Exercice 15 -Raisonnement par récurrence
1. Développer, réduire et ordonner \((n+1)^5\).
2. En déduire que pour tout entier \(n\geq\, 0\) , \(n^5-n\) est un multiple de 5 .
Exercice 16 -Somme des cubes
1. Montrer que \(\forall n\in\mathbb{N}^*\,,\,S=\sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\) .
2. En déduire la valeur de \(A=1^3+2^3+3^3+…+10^3\) .
Exercice 17 -Multiple d’un nombre
Montrer que pour tout entier \(n\geq\, 0\), \(n^3-n\) est un multiple de 3.
Exercice 18 -Bac s spécialité et arithmétique
Soit n un entier naturel .
1. Trouver suivant les valeurs de n, les restes de la division de \(5^n\) par 13 .
2. En déduire que \(1981^{1981}-5\) est divisible par 13.
3. Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre \(N=31^{4n+1}+18^{4n-1}\) est divisible par 13 .
Exercice 19 – Problème sur l’arithmétique
Soit n un entier relatif et \(a=5n^3+n\). Montrer que a est divisible par 3.
Exercice 20
Soit n un entier naturel.
Montrer que \(3^{3n+2}+2^{n+4}\equiv 0\ [5]\).
Exercice 21
Soit p un nombre entier naturel impair. Montrer que la somme de p entiers naturels consécutifs est un multiple de p.
Exercice 22
Indice : Théorème de Bézout
Soit x un réel. Montrer que si \(x^7\) et \(x^{12}\) sont des nombres rationnels, alors x l’est également.
Exercice 23
Indice: Lemme de Gauss
Résoudre dans \(\mathbb{N}^*\) l’équation :
\[\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}-\dfrac{3}{z}=1\]
Exercice 24
Soit n un entier naturel.
Montrer que la fraction \(\dfrac{21n+4}{14n+3}\) est irréductible.
Exercice 25 – Nombres de Mersenne
Soit n un entier naturel non nul.
On considère les nombres de la forme : \(M_n=2^n-1\) dits nombres de Mersenne.
1. Montrer que \(M_2,\ M_3,\ M_5,\ M_7\) sont des nombres premiers.
2. Montrer que si p est un diviseur de n, alors \(M_n\) est divisible par \(2^p-1\) .
En déduire que si \(M_n\) est un nombre premier alors n l’est également.
3. Etudier la réciproque.
Exercice 26
Trouver tous les couples (a,b) d’entiers naturels vérifiant : ppcm(a,b) = 40 et a+b=60
Exercice 27
Soit a et b deux entiers naturels.
Montrer que si pgcd(a,b) = 1 alors pgcd(a,b²) = 1
Exercice 28
Soit n un entier naturel impair,
Montrer que parmi (n-1)²+1 entiers, il en existe n dont la somme est un multiple de n.
Exercice 29
Soit n un entier naturel
1. Démontrer que n²+5n+4 et n²+3n+2 sont divisibles par (n+1)
2. Déterminer l’ensemble des valeurs de n pour lesquelles 3n²+15n+19 est divisible par n+1
3. En déduire que pour tout entier naturel n, 3n²+15n+19 n’est pas divisible par n²+3n+2.
Exercice 30 – Nombres de Fermat .
Soit n un entier naturel .
a. Montrer que si \(2^n+1\) est premier, alors n est une puissance de 2
b. On pose \(F_n=2^{2^n}+1\) (nombres de Fermat). Montrer que les \(F_n\) sont deux à deux premiers entre eux.
