Le théorème de Bézout : cours de maths en terminale S

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Le théorème de Bézout dans un cours d’arithmétique pour les élèves de terminale S spécialité.

I.Enoncé du théorème de Bézout :

Théorème :

a et b sont deux entiers naturels non nuls.Dire que a et b sont premiers entre eux équivaut à dire il existe deux entiers relatifs u et v tels que

au + bv = 1.

Démonstration :

1.Supposons qu’il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1 et prouvons que a et b sont premiers entre eux.

On note \Delta\,=PGCD(a,b)

\Delta divise a et b donc \Delta divise au + bv.

Comme au + bv  = 1, \Delta = 1 et a et b sont premiers entre eux.

2.Supposons que a et b premiers entre eux et démontrons que 1 s’écrit sous la forme au + bv.

Soit \varphi l’ensemble des nombres sous la forme au + bv avec u\,\in\,\mathbb{Z} et v\,\in\,\mathbb{Z}.

L’ensemble \varphi n’est pas vide car pour u = 1 et v = 0, a\in\varphi.Il en est de même pour b.

Ainsi \varphi contient des entiers strictement positive, et, parmi eux, un plus petit que tous les autres.

Notons m=au_1+bv_1 ce plus petit élément.

La division euclidienne de a par m s’écrit a=mq+r avec 0\leq\,\,r<m

soit r=a-mq=a-(au_1+bv_1)q=a(1-u_1q)+b(-v_1q).

Ainsi r\in\varphi.Or m est le plus petit entier strictement positif de \varphi donc r = 0.

Ainsi m divise a.On montre de même que m divise b.

Comme a et b sont premiers entre eux, m=1 et au_1+bv_1=1.

En pratique, comment trouver u et v ?

Pour déterminer les coefficient, on utilise l’algorithme d’Euclide.Donnons un exemple.

On cherche un couple (x;y) d’entiers relatifs tels que 89x+41y=1 (1).

89 et 41 sont premiers entre eux donc il existe deux entiers relatifs x et y vérifiant (1).

On pose a=89 et b=41.

89=41\times  \,2+7 donc 7=89-2\times  \,41=a-2b.

41=7\times  \,5+\,6 donc 6=41-7\times  \,5=b-5(a-2b)=11b-5a.

7=6\times  \,1\,+1 donc 1=7-6=a-2b-11b+5a=6a-13b.

Soit 89\times  \,6\,+41\times  (-13)=1.

Ainsi (x_0;y_0)=(6;-13) est solution de (1).

II.Une nouvelle caractérisation du PGCD

Théorème :

a et b sont deux entiers naturels non nuls.Dire que \Delta est le PGCD(a,b) équivaut à dire que \Delta est un diviseur de a et b et il existe deux entiers relatifs u et v tels que \Delta\,=au+bv.

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