Le théorème de Bézout : cours de maths en terminale S

cours maths terminale
Le théorème de Bézout dans un cours d’arithmétique pour les élèves de terminale S spécialité.

I.Enoncé du théorème de Bézout :

Théorème :

a et b sont deux entiers naturels non nuls.Dire que a et b sont premiers entre eux équivaut à dire il existe deux entiers relatifs u et v tels que

au + bv = 1.

Démonstration :

1.Supposons qu’il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1 et prouvons que a et b sont premiers entre eux.

On note \Delta\,=PGCD(a,b)

\Delta divise a et b donc \Delta divise au + bv.

Comme au + bv  = 1, \Delta = 1 et a et b sont premiers entre eux.

2.Supposons que a et b premiers entre eux et démontrons que 1 s’écrit sous la forme au + bv.

Soit \varphi l’ensemble des nombres sous la forme au + bv avec u\,\in\,\mathbb{Z} et v\,\in\,\mathbb{Z}.

L’ensemble \varphi n’est pas vide car pour u = 1 et v = 0, a\in\varphi.Il en est de même pour b.

Ainsi \varphi contient des entiers strictement positive, et, parmi eux, un plus petit que tous les autres.

Notons m=au_1+bv_1 ce plus petit élément.

La division euclidienne de a par m s’écrit a=mq+r avec 0\leq\,\,r<m

soit r=a-mq=a-(au_1+bv_1)q=a(1-u_1q)+b(-v_1q).

Ainsi r\in\varphi.Or m est le plus petit entier strictement positif de \varphi donc r = 0.

Ainsi m divise a.On montre de même que m divise b.

Comme a et b sont premiers entre eux, m=1 et au_1+bv_1=1.

En pratique, comment trouver u et v ?

Pour déterminer les coefficient, on utilise l’algorithme d’Euclide.Donnons un exemple.

On cherche un couple (x;y) d’entiers relatifs tels que 89x+41y=1 (1).

89 et 41 sont premiers entre eux donc il existe deux entiers relatifs x et y vérifiant (1).

On pose a=89 et b=41.

89=41\times  \,2+7 donc 7=89-2\times  \,41=a-2b.

41=7\times  \,5+\,6 donc 6=41-7\times  \,5=b-5(a-2b)=11b-5a.

7=6\times  \,1\,+1 donc 1=7-6=a-2b-11b+5a=6a-13b.

Soit 89\times  \,6\,+41\times  (-13)=1.

Ainsi (x_0;y_0)=(6;-13) est solution de (1).

II.Une nouvelle caractérisation du PGCD

Théorème :

a et b sont deux entiers naturels non nuls.Dire que \Delta est le PGCD(a,b) équivaut à dire que \Delta est un diviseur de a et b et il existe deux entiers relatifs u et v tels que \Delta\,=au+bv.

4/5 - (9 votes)

Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «le théorème de Bézout : cours de maths en terminale S» au format PDF.




Télécharger nos applications gratuites avec tous les cours,exercices corrigés.

Application Mathovore sur Google Play Store. Application Mathovore sur Apple Store.

D'autres fiches similaires à le théorème de Bézout : cours de maths en terminale S.

Mathovore vous permet de réviser en ligne et de progresser en mathématiques tout au long de l'année scolaire.
De nombreuses ressources destinées aux élèves désireux de combler leurs lacunes en maths et d'envisager une progression constante. Tous les cours en primaire, au collège, au lycée mais également, en maths supérieures et spéciales ainsi qu'en licence sont disponibles sur notre sites web de mathématiques.
Des documents similaires à le théorème de Bézout : cours de maths en terminale S à télécharger ou à imprimer gratuitement en PDF avec tous les cours de maths du collège au lycée et post bac rédigés par des enseignants de l'éducation nationale.
Vérifiez si vous avez acquis le contenu des différentes leçons (définition, propriétés, téhorèmpe) en vous exerçant sur des milliers d'exercices de maths disponibles sur Mathovore et chacun de ces exercices dispose de son corrigé.
En complément des cours et exercices sur le thème le théorème de Bézout : cours de maths en terminale S, les élèves de troisième pourront réviser le brevet de maths en ligne ainsi que pour les élèves de terminale pourront s'exercer sur les sujets corrigé du baccalauréat de maths en ligne.
  • 92
    Arithmétique : cours de maths en terminale S spécialité L'arithmétique dans un cours de maths en terminale S spécialité.Ce cours fait intervenir les notions de divisibilité, multiples, diviseurs, congruences, les nombres premiers et la décomposition en facteur premier d'un nombre entier.Egalement la division Euclidienne, le théorème de Bézout et le théorème de Gauss. I. Divisibilité : Définition : Soient…
  • 92
    Le théorème de Gauss : cours de maths en terminale S Un cours d'arithmétique sur le théorème de Gauss en terminale S spécialité. I. Enoncé du théorème de Gauss Théorème : a,b et c sont des entiers strictement positifs tels que a divise le produit bc et a est premier avec b.Alors a divise c. Autrement dit : si un entier…
  • 92
    Divisibilité et congruences : cours de maths en terminale S spécialité Un cours d'arithmétique en terminale S spécialité sur la divisibilité et les congruences.Dans cette leçon, nous aborderons la divisibilité dans  et la division euclidienne dans  et  ainsi que les entiers congrus modulo n et les propriétés des congruences. I.Divisibilité et division euclidienne 1.Divisibilité dans Z Définition : a et b sont deux entiers relatifs…
  • 88
    PGCD de deux entiers naturels : cours de maths en terminale S Le PGCD deux deux entiers naturels, dans ce cours de maths en terminale S spécialité, nous aborderons l'algorithme d'Euclide et les nombres premiers entre eux. I.Le plus grand commun diviseur ( PGCD ) 1.Le PGCD de deux entiers naturels Par convention, lorsqu'on parlera de diviseurs d'un entier naturel, il s'agira…
  • 87
    Matrices et opérations : cours de maths en terminale S spécialité Matrices et opérations en terminale spécialité. Cours de maths en terminale S spécialité sur les matrices. I. Notion de matrices : Définition : n et p désignent des nombres entiers naturels non nuls. Une matrice de format ( ou taille ) (n,p) est un tableau de nombres réels à n…


Retrouvez nos cours de maths et exercices corrigés sur notre chaîne YouTube.

Inscription gratuite à Mathovore.  Mathovore c'est 2 364 941 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 181 071 membres.
Rejoignez-nous : inscription gratuite.