L’arithmétique et le théorème de Bézout dans un cours de maths en terminale spécialité.
I.Enoncé du théorème de Bézout :
Théorème :
Soient a et b sont deux entiers naturels non nuls.
Dire que a et b sont premiers entre eux équivaut à dire il existe deux entiers relatifs u et v tels que .
Démonstration :
1.Supposons qu’il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1 et prouvons que a et b sont premiers entre eux.
On note
divise a et b donc divise au + bv.
Comme au + bv = 1, = 1 et a et b sont premiers entre eux.
2.Supposons que a et b premiers entre eux et démontrons que 1 s’écrit sous la forme au + bv.
Soit l’ensemble des nombres sous la forme au + bv avec et .
L’ensemble n’est pas vide car pour u = 1 et v = 0, .Il en est de même pour b.
Ainsi contient des entiers strictement positive, et, parmi eux, un plus petit que tous les autres.
Notons ce plus petit élément.
La division euclidienne de a par m s’écrit avec
soit .
Ainsi .Or m est le plus petit entier strictement positif de donc r = 0.
Ainsi m divise a.On montre de même que m divise b.
Comme a et b sont premiers entre eux, m=1 et .
En pratique, comment trouver u et v ?
Pour déterminer les coefficient, on utilise l’algorithme d’Euclide.
Donnons un exemple.
On cherche un couple (x;y) d’entiers relatifs tels que 89x+41y=1 (1).
89 et 41 sont premiers entre eux donc il existe deux entiers relatifs x et y vérifiant (1).
On pose a=89 et b=41.
donc .
donc .
donc .
Soit .
Ainsi est solution de (1).
II.Une nouvelle caractérisation du PGCD
Théorème :
a et b sont deux entiers naturels non nuls.Dire que est le équivaut à dire que est un diviseur de a et b et il existe deux entiers relatifs u et v tels que .
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