Le théorème de Bézout : cours de maths en terminale spécialité en PDF.
Mis à jour le 23 août 2025
I.Enoncé du théorème de Bézout :
Soient a et b sont deux entiers naturels non nuls.
Dire que a et b sont premiers entre eux équivaut à dire il existe deux entiers relatifs u et v tels que 
Démonstration :
1.Supposons qu’il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1 et prouvons que a et b sont premiers entre eux.
On note 
Comme au + bv = 1,
2.Supposons que a et b premiers entre eux et démontrons que 1 s’écrit sous la forme au + bv.
Soit 
L’ensemble
Ainsi
Notons 
La division euclidienne de a par m s’écrit 
soit 
Ainsi 
Ainsi m divise a.On montre de même que m divise b.
Comme a et b sont premiers entre eux, m=1 et 
En pratique, comment trouver u et v ?
Pour déterminer les coefficient, on utilise l’algorithme d’Euclide.
Donnons un exemple.
On cherche un couple (x;y) d’entiers relatifs tels que 89x+41y=1 (1).
89 et 41 sont premiers entre eux donc il existe deux entiers relatifs x et y vérifiant (1).
On pose a=89 et b=41.
Soit 
Ainsi 
II.Une nouvelle caractérisation du PGCD
a et b sont deux entiers naturels non nuls.Dire que
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