Théorème de Bézout: cours d'arithmétique en terminale S spécialité.

Sommaire de cette fiche

1 I.Enoncé du théorème de Bézout :
2 II.Une nouvelle caractérisation du PGCD

Le théorème de Bézout dans un cours d’arithmétique pour les élèves de terminale S spécialité.

I.Enoncé du théorème de Bézout :

Théorème :

a et b sont deux entiers naturels non nuls.Dire que a et b sont premiers entre eux équivaut à dire il existe deux entiers relatifs u et v tels que

au + bv = 1.

Démonstration :

1.Supposons qu’il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1 et prouvons que a et b sont premiers entre eux.

On note $\Delta\,=PGCD(a,b)$

$\Delta$ divise a et b donc $\Delta$ divise au + bv.

Comme au + bv = 1, $\Delta$ = 1 et a et b sont premiers entre eux.

2.Supposons que a et b premiers entre eux et démontrons que 1 s’écrit sous la forme au + bv.

Soit $\varphi$ l’ensemble des nombres sous la forme au + bv avec $u\,\in\,\mathbb{Z}$ et $v\,\in\,\mathbb{Z}$ .

L’ensemble $\varphi$ n’est pas vide car pour u = 1 et v = 0, $a\in\varphi$ .Il en est de même pour b.

Ainsi $\varphi$ contient des entiers strictement positive, et, parmi eux, un plus petit que tous les autres.

Notons ce plus petit élément.

La division euclidienne de a par m s’écrit avec $0\leq\,\,r<m$

soit .

Ainsi $r\in\varphi$ .Or m est le plus petit entier strictement positif de $\varphi$ donc r = 0.

Ainsi m divise a.On montre de même que m divise b.

Comme a et b sont premiers entre eux, m=1 et .

En pratique, comment trouver u et v ?

Pour déterminer les coefficient, on utilise l’algorithme d’Euclide.Donnons un exemple.

On cherche un couple (x;y) d’entiers relatifs tels que 89x+41y=1 (1).

89 et 41 sont premiers entre eux donc il existe deux entiers relatifs x et y vérifiant (1).

On pose a=89 et b=41.

$89=41\times \,2+7$ donc $7=89-2\times \,41=a-2b$ .

$41=7\times \,5+\,6$ donc $6=41-7\times \,5=b-5(a-2b)=11b-5a$ .

$7=6\times \,1\,+1$ donc .

Soit $89\times \,6\,+41\times (-13)=1$ .

Ainsi est solution de (1).

II.Une nouvelle caractérisation du PGCD

Théorème :

a et b sont deux entiers naturels non nuls.Dire que $\Delta$ est le équivaut à dire que $\Delta$ est un diviseur de a et b et il existe deux entiers relatifs u et v tels que $\Delta\,=au+bv$ .

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