Logarithmes : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.

Les fonctions logarithmes à travers des exercices de maths en terminale corrigés. L’élève devra connaître la définition d’une fonction logarithme ainsi que toutes les règles et les propriétés de calculs. Savoir calculer une limite aux bornes de son ensemble de définition puis, tracer sa courbe après avoir étudier sa fonction dérivée.

Exercice 1

• Exprimer en fonction de ln 2 et ln 3 :
$ln\,72\,;\,ln\frac{1}{8}\,;\,\frac{1}{8}ln\,256\,.$
• Exprimer en fonction de ln 2 et ln 5 :
$ln\,250\,;\,ln200\,;\,ln1,25\,;ln\,10^{-4}\,.$

Exercice 2
Simplifier les expressions suivantes :
$a=ln\,e^2+ln\sqrt{e};b=ln(e\sqrt{e});c=lne+ln(\frac{1}{e});d=lne^2-lne^{-2}\,.$

Exercice 3
Soit n un entier naturel non nul et a un nombre réel strictement positif.
Calculer la somme :
$S=lna^n+lna^{n-1}+...+lna+ln1+ln\frac{1}{a}+...+ln\frac{1}{a^{n-1}}+ln\frac{1}{a^n}\,.$

Exercice 4
Etudier les limites suivantes :
a. $\lim_{x\to +\infty} ln(1+x^2) \,.$
b. $\lim_{x\to +\infty} ln(1+\frac{1}{x^2}) \,.$
c. $\lim_{x\to -3} ln(3-2x-x^2) \,.$
d. $\lim_{x\to -1} ln(\frac{2x+3}{x+1}) \,.$
d. $\lim_{x\to +\infty} ln(\frac{2x+3}{x+1}) \,.$
e. $\lim_{x\to 0} ln(cosx) \,.$
f. $\lim_{x\to +\infty} \frac{xlnx}{x+1} \,.$

Exercice 5 : recherche d’asymptotes.
Indiquer l’ensemble de définition de la fonction f, puis étudier les limites aux bornes de cet ensemble.
Préciser les asymptotes à la courbe représentant f.
$f(x)=\frac{3lnx+1}{x} \,.$

Exercice 6
Résoudre dans $\mathbb{R} \,.$ chacune des équations suivantes :
a. $lnx=2 \,.$
b. $ln\frac{1}{x}=3 \,.$
c. $lnx^3=27 \,.$
d. $ln(2x+1)=ln(-2x-3)\,.$
e. $(lnx)^2-2lnx-3=0 \,.$

Exercice 7
Résoudre le système suivant :
$\{{x+y=2\atop lnx-lny=ln3} \,.$

Exercice 8
Déterminer la fonction dérivée de la fonction f sur l’ensemble $D \,.$
a. $f(x)=ln(-x)\,\,D=]-\infty\,;\,0[ \,.$
b. $f(x)=ln(\sqrt{x})\,\,D=]0\,;\,+\infty\,[ \,.$
c. $f(x)=ln(\frac{x+1}{x-1})\,\,D=]-\infty\,;\,-1[ \,.$

Exercice 9 – Equation du troisième degré dans le corps des complexes
On considère dans l’ensemble des complexes le polynôme :
P(z) = z³ + (2i-5)z² +7(1-i)z -2 +6i
1- Sachant que a étant un réel, on a P(a) = 0. Déterminez a.
2- Trouvez toutes les solutions de P(z) =0. En déduire une factorisation de P(z).

Exercice 10 – Inéquations
Résoudre les inéquations suivantes :
$1.\,lnx>2\\2.\,2lnx-1<5\\3.\,ln(2x-1)-ln(2x+1)\leq\, ln(x+2)$

Exercice 11 – Equations et logarithmes népériens
$1.\,ln(4x^2-1)=ln(x+2)\\2.\,ln(2x-1)+ln(2x+1)=ln(x+2)\\3.\,xlnx=0\\4.\,ln(x-1)-ln(3x+4)=ln(5x)\\5.\,(lnx)^2+lnx-2=0$

Exercice 12 – Résoudre des équations logarithmiques
$1.\,lnx=3\\2.\,ln(3x)=0\\3.\,ln(2x-1)=3\\4.\,ln ( \frac{1}{x-1} )=1\\5.\,ln(x^2)=4$

Exercice 13 – Simplifier des logarithmes népériens
Simplifier :
$a=ln(e^5)\\b=ln(e^2\sqrt{e})\\c=ln ( \frac{\sqrt{e}}{4} )\\d=ln ( \frac{1}{e^2} )^3\\e=\frac{1}{3}lne^{27}$

Exercice 14 – Exprimer en fonction de ln 2 et ln 3
$a=ln18\\b=ln\frac{1}{8}\\c=ln(\frac{\sqrt{3}}{2})\\d=ln(2e^3)\\e=4ln(\sqrt{6})-6ln(12)$

Exercice 15 -Logarithme népérien (ln)
Résoudre les équations et inéquations suivantes :

$ln ( \frac{2x-3}{5x+1} )<0$
$lnx-\frac{1}{lnx}<\frac{3}{2}$

Exercice 16 -Prise d’initiative et nombres complexes
Lequel de ces deux nombres est le plus grand ?
$e^{\pi}$ ou $\pi^{e}$ .

Indication :

On peut faire une conjecture à la calculatrice mais on donnera une vraie démonstration.

Exercice 17 -Signe d’une fonction
soit g définie sur ]0;+infini[ par g(x)= 2x²+1-ln(x)
quel est le signe de g pour x>0?.

Exercice 18 -Dérivée
Soit g la fonction définie sur ]0;+ $\infty$ [ par: g(x) = 1-x²– ln(x)
1.calculer la dérivée de la fonction g et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction g
2. Calculer g(1). En déduire le signe de g(x) pour x appartenant à l’intervalle ]0;+ $+\infty$ [ .

Exercice 19 -Logarithme népérien et simplifications
1) simplifier $\frac{lne}{ln e^2-ln(\frac{1}{e})}$
2) Déterminer le plus petit entier n tel que 1,05ⁿ $\geq\,$ 1,5
3) Chaque année, la population d’une ville diminue de 3%. Au bout de combien d’année, la population de cette ville aura-t-elle diminué de plus de 30%.

Exercice 20 – Bac et logarithmes
Partie A :
Soit g la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle $]0;+\infty[$ par .
1.Déterminer les limites de la fonction g en 0 et $+\infty$ .
2.Montrer que g est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ et que .
3.Dresser le tableau de variations de la fonction g.
Partie B :
soit (u_n) la suite définie pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ par $u_n=\frac{e^n}{n^n}$ .
1.Conjecturer, à l’aide de la calculatrice ;
a. le sens de variation de la suite (u_n) ;
b. la limite éventuelle de la suite (u_n) .
2.Soit (v_n) la suite définie pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ par .
a. Montrer que .
b. En utilisant la partie A, déterminer le sens de variation de la suite (v_n) .
3.Montrer que la suite (u_n) est bornée.
4.Montrer que la suite (u_n) est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 21 – comparaison entre x^2 et 2^x
Soit f la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par .
1. Démontrer que .
2. Calculer f(2) et f(4).
3. Calculer la dérivée f ‘ de f.

En déduire les variations de f.
4. A l’aide des questions 2 et 3, préciser le signe de f.
5. Déterminer l’ensemble des entiers n pour lesquels on a $2^n\geq\, n^2$ .

Voir Exercices 11 à 21...

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