Logarithmes : exercices Maths Terminale corrigés en PDF

Mise à jour le 8 août 2020

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Des exercices de maths en terminale S sur les fonctions logarithmes, vous pouvez également consulter et réviser avec les exercices corrigés en terminale S en PDF.

Exercice n° 1 :

• Exprimer en fonction de ln 2 et ln 3 :

$ln\,72\,;\,ln\frac{1}{8}\,;\,\frac{1}{8}ln\,256\,.$

• Exprimer en fonction de ln 2 et ln 5 :

$ln\,250\,;\,ln200\,;\,ln1,25\,;ln\,10^{-4}\,.$

Exercice n° 2 :

Simplifier les expressions suivantes :

$a=ln\,e^2+ln\sqrt{e};b=ln(e\sqrt{e});c=lne+ln(\frac{1}{e});d=lne^2-lne^{-2}\,.$

Exercice n° 3 :

Soit n un entier naturel non nul et a un nombre réel strictement positif.

Calculer la somme :

$S=lna^n+lna^{n-1}+...+lna+ln1+ln\frac{1}{a}+...+ln\frac{1}{a^{n-1}}+ln\frac{1}{a^n}\,.$

Exercice n° 4 :

Etudier les limites suivantes :

a. $\lim_{x\to +\infty} ln(1+x^2) \,.$

b. $\lim_{x\to +\infty} ln(1+\frac{1}{x^2}) \,.$

c. $\lim_{x\to -3} ln(3-2x-x^2) \,.$

d. $\lim_{x\to -1} ln(\frac{2x+3}{x+1}) \,.$

d. $\lim_{x\to +\infty} ln(\frac{2x+3}{x+1}) \,.$

e. $\lim_{x\to 0} ln(cosx) \,.$

f. $\lim_{x\to +\infty} \frac{xlnx}{x+1} \,.$

Exercice n° 5 : recherche d’asymptotes.

Indiquer l’ensemble de définition de la fonction f, puis étudier les limites aux bornes de cet ensemble.

Préciser les asymptotes à la courbe représentant f.

$f(x)=\frac{3lnx+1}{x} \,.$

Exercice n° 6 :

Résoudre dans $\mathbb{R} \,.$ chacune des équations suivantes :

a. $lnx=2 \,.$

b. $ln\frac{1}{x}=3 \,.$

c. $lnx^3=27 \,.$

d. $ln(2x+1)=ln(-2x-3)\,.$

e. $(lnx)^2-2lnx-3=0 \,.$

Exercice n° 7 :

Résoudre le système suivant :

$\{{x+y=2\atop lnx-lny=ln3} \,.$

Exercice n° 8:

Déterminer la fonction dérivée de la fonction f sur l’ensemble $D \,.$

a. $f(x)=ln(-x)\,\,D=]-\infty\,;\,0[ \,.$

b. $f(x)=ln(\sqrt{x})\,\,D=]0\,;\,+\infty\,[ \,.$

c. $f(x)=ln(\frac{x+1}{x-1})\,\,D=]-\infty\,;\,-1[ \,.$

Corrigé de cet exercice

Equation du troisiéme degré dans le corps des complexes

On considère dans l’ensemble des complexes le polynôme :

P(z) = z³ + (2i-5)z² +7(1-i)z -2 +6i

1- Sachant que a étant un réel, on a P(a) = 0. Déterminez a.

2- Trouvez toutes les solutions de P(z) =0. En déduire une factorisation de P(z).

Corrigé de cet exercice

Inéquations

Résoudre les inéquations suivantes :

$1.\,lnx>2\\2.\,2lnx-1<5\\3.\,ln(2x-1)-ln(2x+1)\leq\, ln(x+2)$

Corrigé de cet exercice

Equations et logarithmes népériens

$1.\,ln(4x^2-1)=ln(x+2)\\2.\,ln(2x-1)+ln(2x+1)=ln(x+2)\\3.\,xlnx=0\\4.\,ln(x-1)-ln(3x+4)=ln(5x)\\5.\,(lnx)^2+lnx-2=0$

Corrigé de cet exercice

Résoudre des équations logarithmiques

$1.\,lnx=3\\2.\,ln(3x)=0\\3.\,ln(2x-1)=3\\4.\,ln ( \frac{1}{x-1} )=1\\5.\,ln(x^2)=4$

Corrigé de cet exercice

Simplifier des logarithmes népériens

Simplifier :

$a=ln(e^5)\\b=ln(e^2\sqrt{e})\\c=ln ( \frac{\sqrt{e}}{4} )\\d=ln ( \frac{1}{e^2} )^3\\e=\frac{1}{3}lne^{27}$

Corrigé de cet exercice

Exprimer en fonction de ln 2 et ln 3 :

$a=ln18\\b=ln\frac{1}{8}\\c=ln(\frac{\sqrt{3}}{2})\\d=ln(2e^3)\\e=4ln(\sqrt{6})-6ln(12)$

Corrigé de cet exercice

Logarithme népérien (ln)

Résoudre les équations et inéquations suivantes :

$ln(\,|x+4\,\,|)+ln(\,|x+1\,\,|)=ln6$
$ln\,(\,\frac{2x-3}{5x+1}\,\,)<0$
$lnx-\frac{1}{lnx}<\frac{3}{2}$

Corrigé de cet exercice

Prise d’initiative et nombres complexes

Lequel de ces deux nombres est le plus grand ?

$e^{\pi}$ ou $\pi^{e}$

Indication : on peut faire une conjecture à la calculatrice mais on donnera une vraie démonstration.

Corrigé de cet exercice

Signe d’une fonction

soit g définie sur ]0;+infini[ par g(x)= 2x²+1-ln(x)

quel est le signe de g pour x>0?.

Corrigé de cet exercice

Dérivée

Soit g la fonction définie sur ]0;+[ par: g(x) = 1-x²– ln(x)

1.calculer la dérivée de la fonction g et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction g

2. Calculer g(1). En déduire le signe de g(x) pour x appartenant à l’intervalle ]0;+ $+\infty$ [ .

Corrigé de cet exercice

Logarithme népérien et simplifications

1) simplifier $\frac{lne}{ln e^2-ln(\frac{1}{e})}$

2) Déterminer le plus petit entier n tel que 1,05ⁿ1,5

3) Chaque année, la population d’une ville diminue de 3%. Au bout de combien d’année, la population de cette ville aura-t-elle diminué de plus de 30%

Corrigé de cet exercice

Bac et logarithmes

Partie A :

Soit g la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle $]0;+\infty[$ par .

1.Déterminer les limites de la fonction g en 0 et $+\infty$ .

2.Montrer que g est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ et que .

3.Dresser le tableau de variations de la fonction g.

Partie B :

soit (u_n) la suite définie pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ par $u_n=\frac{e^n}{n^n}$ .

1.Conjecturer, à l’aide de la calculatrice ;

a. le sens de variation de la suite (u_n) ;

b. la limite éventuelle de la suite (u_n) .

2.Soit (v_n) la suite définie pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ par .

a.Montrer que .

b.En utilisant la partie A, déterminer le sens de variation de la suite (v_n) .

3.Montrer que la suite (u_n) est bornée.

4.Montrer que la suite (u_n) est convergente et déterminer sa limite.

Corrigé de cet exercice

Exercice : comparaison entre x^2 et 2^x

Soit f la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par .

1. Démontrer que .

2. Calculer f(2) et f(4).

3. Calculer la dérivée f ‘ de f.En déduire les variations de f.

4. A l’aide des questions 2 et 3, préciser le signe de f.

5. Déterminer l’ensemble des entiers n pour lesquels on a $2^n\geq\,\,n^2$ .

Corrigé de cet exercice

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