Logarithmes : exercices Maths Terminale corrigés en PDF

Mise à jour le 23 octobre 2020

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Des exercices de maths en terminale S sur les fonctions logarithmes, vous pouvez également consulter et réviser avec les exercices corrigés en terminale S en PDF.
Exercice 1
• Exprimer en fonction de ln 2 et ln 3 :
$ln\,72\,;\,ln\frac{1}{8}\,;\,\frac{1}{8}ln\,256\,.$
• Exprimer en fonction de ln 2 et ln 5 :
$ln\,250\,;\,ln200\,;\,ln1,25\,;ln\,10^{-4}\,.$
Exercice 2
Simplifier les expressions suivantes :
$a=ln\,e^2+ln\sqrt{e};b=ln(e\sqrt{e});c=lne+ln(\frac{1}{e});d=lne^2-lne^{-2}\,.$
Exercice 3
Soit n un entier naturel non nul et a un nombre réel strictement positif.
Calculer la somme :
$S=lna^n+lna^{n-1}+...+lna+ln1+ln\frac{1}{a}+...+ln\frac{1}{a^{n-1}}+ln\frac{1}{a^n}\,.$
Exercice 4
Etudier les limites suivantes :
a. $\lim_{x\to +\infty} ln(1+x^2) \,.$
b. $\lim_{x\to +\infty} ln(1+\frac{1}{x^2}) \,.$
c. $\lim_{x\to -3} ln(3-2x-x^2) \,.$
d. $\lim_{x\to -1} ln(\frac{2x+3}{x+1}) \,.$
d. $\lim_{x\to +\infty} ln(\frac{2x+3}{x+1}) \,.$
e. $\lim_{x\to 0} ln(cosx) \,.$
f. $\lim_{x\to +\infty} \frac{xlnx}{x+1} \,.$
Exercice 5 : recherche d’asymptotes.
Indiquer l’ensemble de définition de la fonction f, puis étudier les limites aux bornes de cet ensemble.
Préciser les asymptotes à la courbe représentant f.
$f(x)=\frac{3lnx+1}{x} \,.$
Exercice 6
Résoudre dans $\mathbb{R} \,.$ chacune des équations suivantes :
a. $lnx=2 \,.$
b. $ln\frac{1}{x}=3 \,.$
c. $lnx^3=27 \,.$
d. $ln(2x+1)=ln(-2x-3)\,.$
e. $(lnx)^2-2lnx-3=0 \,.$
Exercice 7
Résoudre le système suivant :
$\{{x+y=2\atop lnx-lny=ln3} \,.$
Exercice 8
Déterminer la fonction dérivée de la fonction f sur l’ensemble $D \,.$
a. $f(x)=ln(-x)\,\,D=]-\infty\,;\,0[ \,.$
b. $f(x)=ln(\sqrt{x})\,\,D=]0\,;\,+\infty\,[ \,.$
c. $f(x)=ln(\frac{x+1}{x-1})\,\,D=]-\infty\,;\,-1[ \,.$

Exercice 9 – Equation du troisiéme degré dans le corps des complexes
On considère dans l’ensemble des complexes le polynôme :
P(z) = z³ + (2i-5)z² +7(1-i)z -2 +6i
1- Sachant que a étant un réel, on a P(a) = 0. Déterminez a.
2- Trouvez toutes les solutions de P(z) =0. En déduire une factorisation de P(z).
Exercice 10 – Inéquations
Résoudre les inéquations suivantes :
$1.\,lnx>2\\2.\,2lnx-1<5\\3.\,ln(2x-1)-ln(2x+1)\leq\, ln(x+2)$
Exercice 11 – Equations et logarithmes népériens
$1.\,ln(4x^2-1)=ln(x+2)\\2.\,ln(2x-1)+ln(2x+1)=ln(x+2)\\3.\,xlnx=0\\4.\,ln(x-1)-ln(3x+4)=ln(5x)\\5.\,(lnx)^2+lnx-2=0$
Exercice 12 – Résoudre des équations logarithmiques
$1.\,lnx=3\\2.\,ln(3x)=0\\3.\,ln(2x-1)=3\\4.\,ln ( \frac{1}{x-1} )=1\\5.\,ln(x^2)=4$
Exercice 13 – Simplifier des logarithmes népériens
Simplifier :
$a=ln(e^5)\\b=ln(e^2\sqrt{e})\\c=ln ( \frac{\sqrt{e}}{4} )\\d=ln ( \frac{1}{e^2} )^3\\e=\frac{1}{3}lne^{27}$
Exercice 14 – Exprimer en fonction de ln 2 et ln 3

$a=ln18\\b=ln\frac{1}{8}\\c=ln(\frac{\sqrt{3}}{2})\\d=ln(2e^3)\\e=4ln(\sqrt{6})-6ln(12)$
Exercice 15 -Logarithme népérien (ln)
Résoudre les équations et inéquations suivantes :

$ln(3-5x)=0$
$2ln(x-4)=lnx-2ln2$
$ln(x+4)+ln(x+1)=ln6$
$ln(,|x+4,,|)+ln(,|x+1,,|)=ln6$
$ln^3x+2ln^2x-lnx-2=0$
$ln,(,\frac{2x-3}{5x+1},,)<0$
$lnx-\frac{1}{lnx}<\frac{3}{2}$

Exercice 16 -Prise d’initiative et nombres complexes
Lequel de ces deux nombres est le plus grand ?
$e^{\pi}$ ou $\pi^{e}$
Indication : on peut faire une conjecture à la calculatrice mais on donnera une vraie démonstration.
Exercice 17 -Signe d’une fonction
soit g définie sur ]0;+infini[ par g(x)= 2x²+1-ln(x)
quel est le signe de g pour x>0?.
Exercice 18 -Dérivée
Soit g la fonction définie sur ]0;+[ par: g(x) = 1-x²– ln(x)
1.calculer la dérivée de la fonction g et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction g
2. Calculer g(1). En déduire le signe de g(x) pour x appartenant à l’intervalle ]0;+ $+\infty$ [ .
Exercice 19 -Logarithme népérien et simplifications
1) simplifier $\frac{lne}{ln e^2-ln(\frac{1}{e})}$
2) Déterminer le plus petit entier n tel que 1,05ⁿ1,5
3) Chaque année, la population d’une ville diminue de 3%. Au bout de combien d’année, la population de cette ville aura-t-elle diminué de plus de 30%
Exercice 20 – Bac et logarithmes
Partie A :
Soit g la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle $]0;+\infty[$ par $g(x)=x-xlnx$ .
1.Déterminer les limites de la fonction g en 0 et $+\infty$ .
2.Montrer que g est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ et que $g'(x)=-lnx$ .
3.Dresser le tableau de variations de la fonction g.
Partie B :
soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ par $u_n=\frac{e^n}{n^n}$ .
1.Conjecturer, à l’aide de la calculatrice ;
a. le sens de variation de la suite $(u_n)$ ;
b. la limite éventuelle de la suite $(u_n)$ .
2.Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ par $v_n=ln(u_n)$ .
a.Montrer que $v_n=n-nln(n)$ .
b.En utilisant la partie A, déterminer le sens de variation de la suite $(v_n)$ .
3.Montrer que la suite $(u_n)$ est bornée.
4.Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.
Exercice 21 – comparaison entre $x^2$ et $2^x$
Soit f la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=ln(2^x)-ln(x^2)$ .
1. Démontrer que $f(x)=xln2-2lnx$ .
2. Calculer f(2) et f(4).
3. Calculer la dérivée f ‘ de f.En déduire les variations de f.
4. A l’aide des questions 2 et 3, préciser le signe de f.
5. Déterminer l’ensemble des entiers n pour lesquels on a $2^n\geq\,,n^2$ .

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