Exercices maths terminale S et ES

Logarithmes : exercices Maths Terminale corrigés en PDF

Des exercices de maths en terminale S sur les fonctions logarithmes, vous pouvez également consulter et réviser avec les exercices corrigés en terminale S en PDF.

Exercice n° 1 :

• Exprimer en fonction de ln 2 et ln 3 :

 ln\,72\,;\,ln\frac{1}{8}\,;\,\frac{1}{8}ln\,256\,.

• Exprimer en fonction de ln 2 et ln 5 :

 ln\,250\,;\,ln200\,;\,ln1,25\,;ln\,10^{-4}\,.

Exercice n° 2 :

Simplifier les expressions suivantes :

 a=ln\,e^2+ln\sqrt{e};b=ln(e\sqrt{e});c=lne+ln(\frac{1}{e});d=lne^2-lne^{-2}\,.

Exercice n° 3 :

Soit n un entier naturel non nul et a un nombre réel strictement positif.

Calculer la somme :

 S=lna^n+lna^{n-1}+...+lna+ln1+ln\frac{1}{a}+...+ln\frac{1}{a^{n-1}}+ln\frac{1}{a^n}\,.

Exercice n° 4 :

Etudier les limites suivantes :

a.  \lim_{x\to +\infty} ln(1+x^2) \,.

b.  \lim_{x\to +\infty} ln(1+\frac{1}{x^2}) \,.

c.  \lim_{x\to -3} ln(3-2x-x^2) \,.

d.  \lim_{x\to -1} ln(\frac{2x+3}{x+1}) \,.

d.  \lim_{x\to +\infty} ln(\frac{2x+3}{x+1}) \,.

e.  \lim_{x\to 0} ln(cosx) \,.

f.  \lim_{x\to +\infty} \frac{xlnx}{x+1} \,.

Exercice n° 5 : recherche d’asymptotes.

Indiquer l’ensemble de définition de la fonction f, puis étudier les limites aux bornes de cet ensemble.

Préciser les asymptotes à la courbe représentant f.

 f(x)=\frac{3lnx+1}{x} \,.

Exercice n° 6 :

Résoudre dans  \mathbb{R} \,. chacune des équations suivantes :

a.  lnx=2 \,.

b.  ln\frac{1}{x}=3 \,.

c.  lnx^3=27 \,.

d.  ln(2x+1)=ln(-2x-3)\,.

e.  (lnx)^2-2lnx-3=0 \,.

Exercice n° 7 :

Résoudre le système suivant :

 \{{x+y=2\atop lnx-lny=ln3} \,.

Exercice n° 8:

Déterminer la fonction dérivée de la fonction f sur l’ensemble  D \,.

a.  f(x)=ln(-x)\,\,D=]-\infty\,;\,0[ \,.

b.  f(x)=ln(\sqrt{x})\,\,D=]0\,;\,+\infty\,[ \,.

c.  f(x)=ln(\frac{x+1}{x-1})\,\,D=]-\infty\,;\,-1[ \,.

Corrigé de cet exercice

Equation du troisiéme degré dans le corps des complexes

On considère  dans l’ensemble des complexes le polynôme :

P(z) = z³ + (2i-5)z² +7(1-i)z -2 +6i

1-     Sachant  que  a  étant un réel, on a  P(a) = 0. Déterminez  a.

2-     Trouvez toutes les solutions de P(z) =0. En déduire une factorisation de P(z).

Corrigé de cet exercice

Inéquations

Résoudre les inéquations suivantes :

1.\,lnx>2\\2.\,2lnx-1<5\\3.\,ln(2x-1)-ln(2x+1)\leq\, ln(x+2)

Corrigé de cet exercice

Equations et logarithmes népériens

1.\,ln(4x^2-1)=ln(x+2)\\2.\,ln(2x-1)+ln(2x+1)=ln(x+2)\\3.\,xlnx=0\\4.\,ln(x-1)-ln(3x+4)=ln(5x)\\5.\,(lnx)^2+lnx-2=0

Corrigé de cet exercice

Résoudre des équations logarithmiques

1.\,lnx=3\\2.\,ln(3x)=0\\3.\,ln(2x-1)=3\\4.\,ln ( \frac{1}{x-1} )=1\\5.\,ln(x^2)=4

Corrigé de cet exercice

Simplifier des logarithmes népériens

Simplifier :

a=ln(e^5)\\b=ln(e^2\sqrt{e})\\c=ln ( \frac{\sqrt{e}}{4}  )\\d=ln ( \frac{1}{e^2}  )^3\\e=\frac{1}{3}lne^{27}

Corrigé de cet exercice

Exprimer en fonction de ln 2 et ln 3 :

 a=ln18\\b=ln\frac{1}{8}\\c=ln(\frac{\sqrt{3}}{2})\\d=ln(2e^3)\\e=4ln(\sqrt{6})-6ln(12)

Corrigé de cet exercice

Logarithme népérien (ln)

Résoudre les équations et inéquations suivantes :

  • ln(3-5x)=0
  • 2ln(x-4)=lnx-2ln2
  • ln(x+4)+ln(x+1)=ln6
  • ln(\,|x+4\,\,|)+ln(\,|x+1\,\,|)=ln6
  • ln^3x+2ln^2x-lnx-2=0
  • ln\,(\,\frac{2x-3}{5x+1}\,\,)<0
  • lnx-\frac{1}{lnx}<\frac{3}{2}

Corrigé de cet exercice

Prise d’initiative et nombres complexes

Lequel de ces deux nombres est le plus grand ?

e^{\pi} ou  \pi^{e}

Indication : on peut faire une conjecture à la calculatrice mais on donnera une vraie démonstration.

Corrigé de cet exercice

Signe d’une fonction

soit g définie sur ]0;+infini[ par g(x)= 2x²+1-ln(x)

quel est le signe de g pour x>0?.

Corrigé de cet exercice

Dérivée

Soit g la fonction définie sur ]0;+[ par: g(x) = 1-x2– ln(x)

1.calculer la dérivée de la fonction g et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction g

2. Calculer g(1). En déduire le signe de g(x) pour x appartenant à l’intervalle ]0;++\infty[ .

Corrigé de cet exercice

Logarithme népérien et simplifications

1) simplifier \frac{lne}{ln e^2-ln(\frac{1}{e})}

2) Déterminer le plus petit entier n tel que 1,05n1,5

3) Chaque année, la population d’une ville diminue de 3%. Au bout de combien d’année, la population de cette ville aura-t-elle diminué de plus de 30%

Corrigé de cet exercice

Bac et logarithmes

Partie A :

Soit g la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0;+\infty[ par g(x)=x-xlnx.

1.Déterminer les limites de la fonction g en 0 et +\infty.

2.Montrer que g est dérivable sur l’intervalle ]0;+\infty[ et que g'(x)=-lnx.

3.Dresser le tableau de variations de la fonction g.

Partie B :

soit (u_n) la suite définie pour tout n\in\mathbb{N}^* par u_n=\frac{e^n}{n^n}.

1.Conjecturer, à l’aide de la calculatrice ;

a. le sens de variation de la suite(u_n) ;

b. la limite éventuelle de la suite (u_n).

2.Soit (v_n) la suite définie pour tout n\in\mathbb{N}^* par v_n=ln(u_n).

a.Montrer que v_n=n-nln(n).

b.En utilisant la partie A, déterminer le sens de variation de la suite (v_n).

3.Montrer que la suite (u_n) est bornée.

4.Montrer que la suite (u_n) est convergente et déterminer sa limite.

Corrigé de cet exercice

Exercice : comparaison entre x^2 et 2^x

Soit f la fonction définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=ln(2^x)-ln(x^2).

1. Démontrer que f(x)=xln2-2lnx.

2. Calculer f(2) et f(4).

3. Calculer la dérivée f ‘ de f.En déduire les variations de f.

4. A l’aide des questions 2 et 3, préciser le signe de f.

5. Déterminer l’ensemble des entiers n pour lesquels on a 2^n\geq\,\,n^2.

Corrigé de cet exercice


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