Corrigé étrangers 2023 : présentation de la correction
Tout d’abord, ce corrigé étrangers 2023 porte sur l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 aux centres étrangers (jour 2), dont chaque question est corrigée et justifiée. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants. Côté programme, il faut notamment maîtriser la fonction exponentielle, la fonction logarithme népérien, la convexité et la géométrie dans l’espace. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Ainsi, chaque étape de calcul reste visible, ce qui permet de repérer précisément l’endroit où un raisonnement a dévié.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Partie A : lectures graphiques
1. La tangente \(\mathcal{T}\) passe par A et par B. Son ordonnée à l’origine se lit en A : c’est \(\dfrac12\). Pour passer de A à B, on avance de 1 unité en abscisse et on monte de \(\dfrac54 – \dfrac12 = \dfrac34\) en ordonnée : le coefficient directeur vaut donc \(\dfrac34\).
L’équation réduite de la tangente est \(y = \dfrac34 x + \dfrac12\).
2. À gauche de l’axe des ordonnées, la courbe s’incurve vers le haut (elle est au-dessus de ses tangentes) ; à droite, elle s’incurve vers le bas.
La fonction \(f\) semble convexe sur \(]-\infty~;~0]\) et concave sur \([0~;~+\infty[\).
Partie B : étude de la fonction
1. On écrit \(f = \dfrac{1}{u}\) avec \(u(x) = 1 + \text{e}^{-3x}\). La dérivée de \(x \mapsto \text{e}^{-3x}\) est \(x \mapsto -3\text{e}^{-3x}\) (formule \((\text{e}^{v})^{\prime} = v^{\prime}\text{e}^{v}\)), donc \(u^{\prime}(x) = -3\text{e}^{-3x}\).
Comme \((\dfrac1u)^{\prime} = -\dfrac{u^{\prime}}{u^2}\), on obtient pour tout réel \(x\) :
\[f^{\prime}(x) = -\dfrac{-3\text{e}^{-3x}}{(1 + \text{e}^{-3x})^2} = \dfrac{3\text{e}^{-3x}}{(1 + \text{e}^{-3x})^2}.\]
2. Pour tout réel \(x\), \(\text{e}^{-3x} \gt 0\), donc le numérateur \(3\text{e}^{-3x}\) est strictement positif. Le dénominateur est un carré d’un nombre non nul (car \(1 + \text{e}^{-3x} \gt 1\)), donc il est strictement positif lui aussi.
Ainsi \(f^{\prime}(x) \gt 0\) pour tout réel \(x\) : la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
3. a. Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(-3x\) tend vers \(-\infty\), et comme \(\lim\limits_{X \to -\infty} \text{e}^{X} = 0\), on a \(\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-3x} = 0\).
Donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} (1 + \text{e}^{-3x}) = 1\) et, par quotient, \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1\). La droite d’équation \(y = 1\) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}_f\) en \(+\infty\).
b. Quand \(x\) tend vers \(-\infty\), \(-3x\) tend vers \(+\infty\), donc \(\lim\limits_{x \to -\infty} \text{e}^{-3x} = +\infty\), puis \(\lim\limits_{x \to -\infty} (1 + \text{e}^{-3x}) = +\infty\).
L’inverse d’une quantité qui tend vers \(+\infty\) tend vers 0 : \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0\). L’axe des abscisses est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}_f\) en \(-\infty\).
Exercice 1 du corrigé étrangers 2023, partie B : question 4
4. Le dénominateur \(1 + \text{e}^{-3x}\) est strictement positif, on peut donc « faire les produits en croix » :
\[f(x) = 0{,}99 \iff 1 = 0{,}99(1 + \text{e}^{-3x}) \iff 1 – 0{,}99 = 0{,}99\,\text{e}^{-3x} \iff \text{e}^{-3x} = \dfrac{0{,}01}{0{,}99} = \dfrac{1}{99}.\]
On applique la fonction logarithme népérien, qui est la réciproque de l’exponentielle :
\[-3x = \ln(\dfrac{1}{99}) = -\ln 99 \iff x = \dfrac{\ln 99}{3}.\]
La solution de l’équation est \(\alpha = \dfrac{\ln 99}{3}\), soit environ \(1{,}532\). L’unicité est cohérente avec la stricte croissance de \(f\).
Partie C : Tangente et convexité
1. La tangente au point d’abscisse 0 a pour équation \(y = f^{\prime}(0)(x – 0) + f(0)\).
Comme \(\text{e}^{0} = 1\) : \(f(0) = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac12\) et \(f^{\prime}(0) = \dfrac{3 \times 1}{(1 + 1)^2} = \dfrac34\).
Une équation de \(\mathcal{T}\) est donc \(y = \dfrac34 x + \dfrac12\), ce qui confirme la lecture graphique de la partie A.
2. Dans l’expression de \(f^{\prime\prime}(x)\), le facteur \(9\text{e}^{-3x}\) est strictement positif, et \((1 + \text{e}^{-3x})^3\) aussi (cube d’un nombre positif). Le signe de \(f^{\prime\prime}(x)\) est donc celui de \(\text{e}^{-3x} – 1\).
Or, la fonction exponentielle étant strictement croissante et \(\text{e}^0 = 1\) :
- \(\text{e}^{-3x} – 1 \gt 0 \iff \text{e}^{-3x} \gt \text{e}^0 \iff -3x \gt 0 \iff x \lt 0\) ;
- \(\text{e}^{-3x} – 1 = 0 \iff -3x = 0 \iff x = 0\) ;
- \(\text{e}^{-3x} – 1 \lt 0 \iff x \gt 0\).
\(f^{\prime\prime}(x) \gt 0\) sur \(]-\infty~;~0[\), \(f^{\prime\prime}(0) = 0\) et \(f^{\prime\prime}(x) \lt 0\) sur \(]0~;~+\infty[\).
3. a. Une fonction deux fois dérivable est convexe sur un intervalle où sa dérivée seconde est positive. D’après la question précédente, \(f\) est convexe sur \(]-\infty~;~0]\) (et concave sur \([0~;~+\infty[\), où \(f^{\prime\prime}\) est négative).
b. La dérivée seconde s’annule en 0 en changeant de signe : la courbe passe de convexe à concave en son point d’abscisse 0. Le point A\((0~;~\dfrac12)\) est donc un point d’inflexion de \(\mathcal{C}_f\).
c. On utilise la propriété : sur un intervalle où une fonction est convexe, sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes ; sur un intervalle où elle est concave, elle est en dessous.
Exercice 1 du corrigé étrangers 2023, partie C (suite)
- Sur \(]-\infty~;~0]\), \(f\) est convexe, donc \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de sa tangente \(\mathcal{T}\) au point A (qui appartient à cet intervalle).
- Sur \([0~;~+\infty[\), \(f\) est concave, donc \(\mathcal{C}_f\) est en dessous de \(\mathcal{T}\).
La courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{T}\) pour \(x \leq\, 0\) et en dessous pour \(x \geq\, 0\) : elle traverse sa tangente au point d’inflexion A, comme on le voit sur la figure.
Exercice 2 :
Partie A
1. Le logarithme népérien n’est défini que pour un nombre strictement positif. Il faut donc \(1 + x \gt 0\), c’est-à-dire \(x \gt -1\). La soustraction \(x – \ln(1+x)\) ne pose alors aucun autre problème : \(f\) est définie sur \(]-1~;~+\infty[\).
2. La dérivée de \(x \mapsto \ln(1+x)\) est \(x \mapsto \dfrac{1}{1+x}\) (formule \((\ln u)^{\prime} = \dfrac{u^{\prime}}{u}\) avec \(u(x) = 1 + x\)). Donc pour tout \(x \gt -1\) :
\[f^{\prime}(x) = 1 – \dfrac{1}{1+x} = \dfrac{1 + x – 1}{1+x} = \dfrac{x}{1+x}.\]
On retient \(f^{\prime}(x) = \dfrac{x}{1+x}\).
3. a. Sur \(]-1~;~+\infty[\), le dénominateur \(1 + x\) est strictement positif : \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(x\).
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime}(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| variations de \(f\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) |
\(f\) est strictement décroissante sur \(]-1~;~0]\) et strictement croissante sur \([0~;~+\infty[\).
b. On calcule \(f(0) = 0 – \ln 1 = 0\). Sur \(]-1~;~0[\), \(f\) est strictement décroissante, donc pour \(-1 \lt x \lt 0\), on a \(f(x) \gt f(0) = 0\).
La fonction \(f\) est strictement positive sur \(]-1~;~0[\). (Plus généralement, 0 est le minimum de \(f\), donc \(f(x) \geq\, 0\) sur tout l’intervalle \(]-1~;~+\infty[\).)
4. a. Pour tout réel \(x\), \(x = \ln(\text{e}^x)\). Pour \(x \gt -1\), les nombres \(\text{e}^x\) et \(1 + x\) sont strictement positifs, et la propriété \(\ln a – \ln b = \ln\dfrac{a}{b}\) donne :
\[f(x) = \ln(\text{e}^x) – \ln(1+x) = \ln(\dfrac{\text{e}^x}{1+x}).\]
b. Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty\). On écrit, pour \(x \gt 0\) :
\[\dfrac{\text{e}^x}{1+x} = \dfrac{\text{e}^x}{x} \times \dfrac{x}{1+x} = \dfrac{\text{e}^x}{x} \times \dfrac{1}{1 + \frac1x}.\]
Le second facteur tend vers 1, donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{1+x} = +\infty\). Comme \(\lim\limits_{X \to +\infty} \ln X = +\infty\), par composition : \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
Partie B
On remarque que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = f(u_n)\), où \(f\) est la fonction de la partie A.
1. Avec \(n = 0\) : \(u_1 = u_0 – \ln(1 + u_0) = 10 – \ln 11\). À la calculatrice, \(u_1 \approx 7{,}602\).
2. On note \(P(n)\) la propriété « \(u_n \geq\, 0\) ».
Initialisation. \(u_0 = 10 \geq\, 0\) : \(P(0)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(u_n \geq\, 0\). D’après la question 3. a. de la partie A, \(f\) est croissante sur \([0~;~+\infty[\). Comme \(u_n \geq\, 0\), on peut appliquer \(f\) à l’inégalité sans en changer le sens : \(f(u_n) \geq\, f(0)\), c’est-à-dire \(u_{n+1} \geq\, 0\). \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \geq\, 0\).
3. Pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} – u_n = -\ln(1 + u_n)\).
D’après la question 2, \(u_n \geq\, 0\), donc \(1 + u_n \geq\, 1\) ; la fonction \(\ln\) étant croissante, \(\ln(1 + u_n) \geq\, \ln 1 = 0\). Par conséquent \(u_{n+1} – u_n \leq\, 0\).
La suite \((u_n)\) est décroissante.
4. La suite \((u_n)\) est décroissante (question 3) et minorée par 0 (question 2). D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) converge vers une limite \(\ell\), avec \(\ell \geq\, 0\).
5. La fonction \(f\) est continue sur \([0~;~+\infty[\) (elle y est dérivable) et \(u_{n+1} = f(u_n)\). La limite \(\ell\) vérifie donc \(f(\ell) = \ell\) :
\[\ell – \ln(1 + \ell) = \ell \iff \ln(1 + \ell) = 0 \iff 1 + \ell = 1 \iff \ell = 0.\]
La suite \((u_n)\) converge vers 0.
Exercice 3 :
1. On calcule les coordonnées de deux vecteurs : \(\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{AC}}\begin{pmatrix}-5\\-5\\0\end{pmatrix}\).
S’ils étaient colinéaires, il existerait un réel \(k\) tel que \(\vec{\text{AC}} = k\,\vec{\text{AB}}\). La troisième coordonnée donnerait \(0 = k \times 1\), soit \(k = 0\), mais alors la première donnerait \(-5 = 0\) : c’est impossible.
Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Le repère étant orthonormé, on calcule le produit scalaire :
\[\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}} = (-1)(-5) + 1 \times (-5) + 1 \times 0 = 5 – 5 + 0 = 0.\]
Les vecteurs \(\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{AC}}\) sont orthogonaux : le triangle ABC est rectangle en A.
3. Les points A, B et C n’étant pas alignés, ils définissent un unique plan. Il suffit de vérifier que leurs coordonnées satisfont l’équation \(-x + y – 2z + 5 = 0\) :
- A : \(-3 + 0 – 2 \times 1 + 5 = 0\) ;
- B : \(-2 + 1 – 2 \times 2 + 5 = 0\) ;
- C : \(-(-2) + (-5) – 2 \times 1 + 5 = 2 – 5 – 2 + 5 = 0\).
Les trois égalités sont vraies : \(-x + y – 2z + 5 = 0\) est bien une équation du plan (ABC).
Exercice 3 du corrigé étrangers 2023 : questions 4 à 7
4. Les coefficients de \(x\), \(y\) et \(z\) dans l’équation du plan donnent un vecteur normal : \(\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}\). Une droite orthogonale au plan (ABC) est dirigée par ce vecteur normal.
La droite \((\Delta)\) passe par \(\text{S}(1~;~-2~;~4)\) et a pour vecteur directeur \(\vec{n}\) ; une représentation paramétrique en est :
\[(\Delta) : \{\begin{array}{l}x = 1 – t\\ y = -2 + t\\ z = 4 – 2t\end{array}. \quad t \in \mathbb{R}.\]
5. Le point H est sur \((\Delta)\) : ses coordonnées s’écrivent \((1 – t~;~-2 + t~;~4 – 2t)\) pour un certain réel \(t\). Il est aussi dans le plan (ABC), donc :
\[-(1 – t) + (-2 + t) – 2(4 – 2t) + 5 = 0 \iff -1 + t – 2 + t – 8 + 4t + 5 = 0 \iff 6t – 6 = 0 \iff t = 1.\]
En remplaçant \(t\) par 1 : \(x = 0\), \(y = -1\), \(z = 2\). Le point H a bien pour coordonnées \((0~;~-1~;~2)\).
6. Dans un repère orthonormé :
\[\text{SH} = \sqrt{(0 – 1)^2 + (-1 + 2)^2 + (2 – 4)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}.\]
\(\text{SH} = \sqrt6\). C’est la distance du point S au plan (ABC), puisque H est le projeté orthogonal de S sur ce plan.
7. Le rayon du cercle \(\mathcal{C}\) est \(\text{HB}\). Avec \(\text{H}(0~;~-1~;~2)\) et \(\text{B}(2~;~1~;~2)\) :
\[\text{HB}^2 = (2 – 0)^2 + (1 + 1)^2 + (2 – 2)^2 = 4 + 4 + 0 = 8.\]
L’aire du disque est \(\pi \times \text{HB}^2\), donc l’aire de \(\mathcal{D}\) vaut \(8\pi\) (unités d’aire), soit environ 25,13.
Exercice 3 du corrigé étrangers 2023 : question 8
8. La droite (SH) est orthogonale au plan (ABC) qui contient la base \(\mathcal{D}\), et H est le centre de cette base : la hauteur du cône est donc \(\text{SH} = \sqrt6\).
Le volume d’un cône est \(\dfrac13 \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}\) :
\[V = \dfrac13 \times 8\pi \times \sqrt6 = \dfrac{8\sqrt6\,\pi}{3}.\]
Le volume du cône vaut \(\dfrac{8\sqrt6\,\pi}{3}\) (unités de volume), soit environ 20,52.
Exercice 4 :
On répète \(n\) fois, de façon indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise), une épreuve à deux issues dont le « succès » est « la pièce est défectueuse », de probabilité \(0{,}04\). La variable \(X\) suit donc la loi binomiale \(\mathcal{B}(n~;~0{,}04)\).
1. On passe par l’événement contraire « aucune pièce défectueuse » :
\[p(X \geq\, 1) = 1 – p(X = 0) = 1 – 0{,}96^{50} \approx 1 – 0{,}1299 \approx 0{,}8701.\]
Arrondie au millième, la probabilité vaut 0,870 : réponse b.
2. Comme \(X\) ne prend que des valeurs entières, l’événement \(\{X \leq\, 7\}\) est la réunion disjointe de \(\{X \leq\, 3\}\) et de \(\{3 \lt X \leq\, 7\}\). Donc \(p(3 \lt X \leq\, 7) = p(X \leq\, 7) – p(X \leq\, 3)\) : réponse b.
Numériquement, cela donne environ \(0{,}9992 – 0{,}8609 \approx 0{,}1383\).
3. On calcule les probabilités cumulées de la loi \(\mathcal{B}(50~;~0{,}04)\) à la calculatrice :
| \(k\) | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| \(p(X \leq\, k)\) | \(\approx 0{,}6767\) | \(\approx 0{,}8609\) | \(\approx 0{,}9510\) | \(\approx 0{,}9856\) |
La probabilité cumulée dépasse 0,95 pour la première fois en \(k = 4\) : réponse c.
4. Ne tirer que des pièces défectueuses, c’est obtenir \(n\) succès sur \(n\) épreuves : \(p(X = n) = 0{,}04^n\). Réponse a.
Exercice 4 : question 5
5. La quantité \(1 – 0{,}96^n\) est la probabilité \(p(X \geq\, 1)\) de tirer au moins une pièce défectueuse parmi \(n\) (voir la question 1). La boucle augmente \(n\) de 1 tant que cette probabilité est strictement inférieure à x ; elle s’arrête dès que \(1 – 0{,}96^n \geq\, x\), et comme \(n\) part de 1 en augmentant de 1 en 1, la valeur renvoyée est la première qui convient.
La fonction renvoie le plus petit nombre \(n\) tel que la probabilité de tirer au moins une pièce défectueuse soit supérieure ou égale à x : réponse a.
Bien travailler ce corrigé étrangers 2023
Tout d’abord, travaillez l’énoncé du sujet en temps limité, sans ouvrir la correction. Puis confrontez votre travail à la correction en vérifiant chaque argument, car une bonne valeur sans justification rapporte peu de points. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur la fonction exponentielle ou la fonction logarithme népérien. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à fonction exponentielle propose un rappel complet.
Les erreurs fréquentes à éviter
- Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
- Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.
- La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde, pas sur celui de la dérivée : c’est une confusion très courante.
Questions fréquentes sur ce corrigé étrangers 2023
Où trouver l’énoncé complet ? Il se trouve sur la page du sujet ; ainsi, vous pouvez chercher chaque exercice avant de lire la correction.
Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, la fonction exponentielle, la fonction logarithme népérien et la convexité, mais aussi la géométrie dans l’espace.
Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.
Puis Retour à l’énoncé : Bac de maths 2023 aux centres étrangers (jour 2) : sujet et corrigé.
