Ce contrôle de maths de Terminale porte sur le thème suivant : dénombrement et loi binomiale.
Ce sujet bilan type bac relie deux chapitres de terminale : le dénombrement et la loi binomiale. Tu comptes d’abord des mains de cartes avec les combinaisons, puis les grilles possibles d’un QCM de dix questions. Le même QCM, répondu au hasard, te fait passer du comptage aux probabilités : tu retrouves la formule de la loi binomiale par un arbre pondéré.
Le dernier exercice, sur un contrôle de production, mobilise l’espérance, la variance et l’inégalité de concentration pour choisir une taille d’échantillon. Calculatrice autorisée. Écris chaque dénombrement avec sa justification : le résultat seul ne suffit pas.
- Niveau : Terminale
- Chapitres : Combinatoire et dénombrement + Loi binomiale, sommes de variables aléatoires et concentration
- Durée conseillée : 2 heures
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 4 points ; exercice 2 : 4 points ; exercice 3 : 6 points ; exercice 4 : 6 points)
- Compétences évaluées :
- Calculer : dénombrer des combinaisons, des k-uplets et des tirages
- Modéliser : reconnaître un schéma de Bernoulli et justifier une loi binomiale
- Raisonner : relier un dénombrement à une probabilité binomiale
- Chercher : majorer une probabilité par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et déterminer une taille d’échantillon
- Communiquer : interpréter espérance et probabilités dans le contexte
Exercice 1 : Mains de cinq cartes (4 points)
Calculatrice autorisée.
Un jeu de 32 cartes contient 4 as. Hugo distribue une main de 5 cartes : c’est un ensemble de 5 cartes prises parmi les 32, l’ordre ne compte pas.
- Combien de mains différentes Hugo peut-il obtenir ? (1 point)
- Combien de mains contiennent exactement 2 as ? (1 point)
- Combien de mains contiennent au moins un as ? (1 point)
- Les mains sont équiprobables. Calcule la probabilité d’obtenir exactement 2 as, arrondie au millième. (1 point)
Exercice 2 : Les grilles de réponses d’un QCM (4 points)
Un QCM comporte 10 questions. Pour chaque question, 4 réponses sont proposées, dont une seule est juste. Un candidat coche exactement une réponse par question ; on appelle grille la liste ordonnée de ses 10 réponses.
- Combien de grilles différentes existe-t-il ? (1 point)
- Combien de grilles comportent exactement 3 réponses justes ? (1,5 point)
- Combien de grilles ne comportent aucune réponse juste ? (0,5 point)
- Un candidat remplit sa grille entièrement au hasard : toutes les grilles sont équiprobables. Calcule la probabilité qu’il ait exactement 3 réponses justes, arrondie au millième. (1 point)
Exercice 3 : Répondre au hasard (6 points)
On reprend le QCM de l’exercice 2 : le candidat répond au hasard à chacune des 10 questions, indépendamment. Pour tout entier i de 1 à 10, on note \(R_i\) l’événement « la réponse à la question i est juste ». L’arbre ci-dessous représente les deux premières questions.
On note X le nombre de réponses justes sur l’ensemble du QCM.
- À l’aide de l’arbre, calcule la probabilité que le candidat ait exactement une réponse juste aux deux premières questions. (1 point)
- Justifie que X suit une loi binomiale dont tu préciseras les paramètres. (1 point)
- Calcule \(P(X = 3)\) avec la formule de la loi binomiale et compare avec l’exercice 2. (1 point)
- Chaque réponse juste rapporte 2 points et une réponse fausse 0 point. Le candidat est reçu s’il obtient au moins 10 points sur 20. Calcule la probabilité qu’un candidat qui répond au hasard soit reçu, arrondie au millième. (1,5 point)
- Calcule \(E(X)\) et \(V(X)\), puis l’espérance de la note N du candidat. Interprète. (1,5 point)
Exercice 4 : Écrans défectueux (6 points)
Une usine fabrique des écrans de téléphone ; \(3\,\%\) d’entre eux présentent un défaut. On prélève au hasard un lot de 200 écrans, prélèvement assimilé à 200 tirages indépendants avec remise. On note Y le nombre d’écrans défectueux du lot ; on admet que Y suit la loi binomiale de paramètres \(n = 200\) et \(p = 0{,}03\).
- Calcule \(E(Y)\) et \(V(Y)\). (1 point)
- Calcule \(P(Y \leq\, 6)\), arrondie au millième. (1 point)
- À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majore \(P(|Y – 6| \geq\, 5)\). Déduis-en une minoration de la probabilité que le lot contienne entre 2 et 10 écrans défectueux (bornes comprises). (1,5 point)
- Calcule à la calculatrice la valeur exacte arrondie au millième de \(P(2 \leq\, Y \leq\, 10)\) et commente la minoration obtenue en c. (1 point)
- On prélève maintenant n écrans et on note \(F_n\) la fréquence d’écrans défectueux dans l’échantillon. L’inégalité de concentration donne \(P(|F_n – 0{,}03| \geq\, 0{,}01) \leq\, \dfrac{0{,}03 \times 0{,}97}{n \times 0{,}01^2}\). Détermine la plus petite taille n pour laquelle ce majorant est inférieur ou égal à \(0{,}05\). (1,5 point)
Réviser avant le contrôle : dénombrement et loi binomiale
Avant de faire ce contrôle, relis le cours « La logique combinatoire » en Terminale et « Les probabilités conditionnelles » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés probabilités.
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