Nombres complexes : cours de maths en terminale S en PDF.

cours maths terminale
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I. Notion de nombre complexe :

1. Théorème :

Théorème :

Il existe un ensemble noté  \mathbb{C}, appelé ensemble des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes :

\mathbb{C}contient l’ensemble des nombres réels;

L’addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes.

– Il existe un nombre complexe noté i tel que i²= – 1 ;

– Tout nombre complexe z s’écrit de manière unique z=x+iy avec x et y réels.

ensembles nombres
 Exemples :

z =3 + 5i ; z = – 3,7i ; z = – 7i sont des nombres complexes.

Un peu d’histoire :

En 1777, Euler introduit la lettre i, Gauss en généralisera l’emploi à partir de 1830.

Gauss et Euler

2. Définition :

Définition :

L’écriture z = x+iy avec x et y réels est appelée forme algébrique du nombre complexe z .

x est la partie réelle de z, notée Re(z).

y est la partie imaginaire de z, notée Im(z) .

z=x+iy

Exemple :

z = -3 +5i alors Re(z) = -3 et Im(z) = 5

 Remarques :

– Les parties réelles et imaginaires sont des nombres réels.

– Lorsque y=0, z est un réel et lorsque x=0, z= iy (y réel) est appelé imaginaire pur.

3. Propriété 1 :

Propriété :

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

Remarque :

  •  Cette propriété découle de l’unicité de l’écriture d’un nombre complexe sous forme algébrique.
  •  En particulier, x et y étant des réels, x+iy=0 si et seulement si x=0 et y=0.

II. Représentation géométrique des nombres complexes :

Soit  (O,\vec{OU},\vec{OV}) un repère orthonormé du plan .

1. Définition :

Définition :

A tout nombre complexe z=x+iy avec x et y réels, on associe le point M de coordonnées (x;y).

On dit que

  • M est le point image de z
  •  OM est le vecteur image de z.
  •  z est l’affixe du point M on note M(z)

Le plan est alors appelé plan complexe, noté P.

Partie réelle et partie imaginaire

Remarque et vocabulaire :

  •  Les nombres réels sont les affixes des points de l’axe des abscisses appelé axe des réels .
  • Les imaginaires purs sont les affixes des points de l’axe des ordonnées appelé aussi axe des imaginaires purs.

(\vec{OU},\vec{OV})=\frac{\pi}{2} [2pi], on dit que (O,\vec{OU},\vec{OV}) est un repère direct .

III. Opérations sur les nombres complexes :

1. Addition et multiplication dans C :

1.1. Règles de calculs :

Règles :

L’addition et la multiplication des nombres réels se prolonge aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes.

Exemples :

(1+3i)+(-3+2i)=(1-3)+(3i+2i)=-2+5i

(4+i)(-5+3i)=-20+12i-5i+3i^2=-20+7i-3=-23+7i(car i² = – 1) .

Remarques :

  • Les identités remarquables abordées en classe de 3° restent valables dans C.
  • Soit z et z’ éléments de C, zz'=0 équivaut à z = 0 ou z’ = 0.

1.2. Représentations géométrique de la somme :

Propriété :

Deux nombres complexes z et z’ ont pour images respectives M et M’ dans le plan complexe .

z+z' a pour image le point S quatrième sommet du parallélogramme OMSM’ .

Somme ombres complexes

2. Inverse et quotient :

2.1. Propriété 2 :

Propriété :

Tout nombre complexe non nul z admet un inverse noté \frac{1}{z}.

Pour obtenir la forme algébrique de :

\frac{1}{x+iy}
((x,y) différent du couple (0;0)).

On multiplie numériquement le numérateur et le dénominateur par x\,-\,iy car (x+iy)(x-iy)=x^2+y^2 est un nombre réel.

L’avantage est de faire disparaître le i au dénominateur.

Exemples :

Ecrire sous forme algébrique \frac{1}{2+3i} et \frac{1-5i}{2+i}.

3. Affixe d’un vecteur, d’un barycentre :

 3.1. Propriété 3 :

Propriété :

Deux points A et B du plan complexe ont pour affixes respectives z_A et z_B .

L’affixe du vecteur \vec{AB} est z_B-Z_A.

Remarques :

  • Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs affixes sont égales.
  • Si k est un réel, l’affixe du vecteur k\vec{u} est kz où z est l’affixe de \vec{u}.

3.2. Propriété 4 :

Propriété :

Deux points A et B du plan complexe ont pour affixes respectives z_A et z_B.

L’affixe du barycentre G des points pondérés (A,k) et (B,k') (avec k+k' non nul) est :

\frac{kz_A+k'z_B\,}{k+k'}.

Remarque :

Ce résultat se généralise à plus de deux points.

affixe barycentre

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Les nombres complexes

Un QCM sur les nombres complexes

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