Nombres complexes : cours de maths en terminale en PDF.

cours maths terminale
Les nombres complexes dans un cours de maths en terminale que vous pouvez consulter en ligne ou télécharger en PDF gratuitement afin de l’imprimer et de travailler en totale autonomie sur table.

I. Notion de nombre complexe :

1. Théorème :

Théorème :

Il existe un ensemble noté  \mathbb{C}, appelé ensemble des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes :

  1. \mathbb{C}contient l’ensemble des nombres réels;
  2. L’addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes.
  3. Il existe un nombre complexe noté i tel que i^2=\,-\,1;
  4. Tout nombre complexe z s’écrit de manière unique z=x+iy avec x et y réels.

ensembles nombres

Exemple :
z =3 + 5i ; z = – 3,7i ; z = – 7i sont des nombres complexes.

Un peu d’histoire :
En 1777, Euler introduit la lettre i, Gauss en généralisera l’emploi à partir de 1830.

Gauss et Euler

2. Définition :

Définition :

L’écriture z = x+iy avec x et y réels est appelée forme algébrique du nombre complexe z .

x est la partie réelle de z, notée Re(z).

y est la partie imaginaire de z, notée Im(z) .

z=x+iy

Exemple :

z = -3 +5i alors Re(z) = -3 et Im(z) = 5

Remarque :

  1. Les parties réelles et imaginaires sont des nombres réels.
  2. Lorsque y=0, z est un réel et lorsque x=0, z= iy (y réel) est appelé imaginaire pur.

3. Propriété 1 :

Propriété :

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

Remarque :

  1.  Cette propriété découle de l’unicité de l’écriture d’un nombre complexe sous forme algébrique.
  2.  En particulier, x et y étant des réels, x+iy=0 si et seulement si x=0 et y=0.

II. Représentation géométrique des nombres complexes.

Soit  (O,\vec{OU},\vec{OV}) un repère orthonormé du plan .

1. Définition.

Définition :

A tout nombre complexe z=x+iy avec x et y réels, on associe le point M de coordonnées (x;y).

On dit que

  • M est le point image de z
  •  OM est le vecteur image de z.
  •  z est l’affixe du point M on note M(z)

Le plan est alors appelé plan complexe, noté P.

Partie réelle et partie imaginaire

Remarque et vocabulaire :

  1.  Les nombres réels sont les affixes des points de l’axe des abscisses appelé axe des réels .
  2. Les imaginaires purs sont les affixes des points de l’axe des ordonnées appelé aussi axe des imaginaires purs.

(\vec{OU},\vec{OV})=\frac{\pi}{2} [2pi], on dit que (O,\vec{OU},\vec{OV}) est un repère direct .

III. Opérations sur les nombres complexes :

1. Addition et multiplication dans C :

1.1. Règles de calculs :

Règles :

L’addition et la multiplication des nombres réels se prolonge aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes.

Exemple :

(1+3i)+(-3+2i)=(1-3)+(3i+2i)=-2+5i

(4+i)(-5+3i)=-20+12i-5i+3i^2=-20+7i-3=-23+7i(car i² = – 1) .

Remarque :

  1. Les identités remarquables abordées en classe de 3° restent valables dans \mathbb{C}.
  2. Soit z et z’ éléments de C, zz'=0 équivaut à z\,=\,0 ou z'\,=\,0.

1.2. Représentations géométrique de la somme.

Propriété :

Deux nombres complexes z et z' ont pour images respectives M et M’ dans le plan complexe .

z+z' a pour image le point S quatrième sommet du parallélogramme OMSM’ .

Somme ombres complexes

2. Inverse et quotient :

2.1. Propriété 2 :

Propriété :

Tout nombre complexe non nul z admet un inverse noté \frac{1}{z}.

Pour obtenir la forme algébrique de :

\frac{1}{x+iy}
((x,y) différent du couple (0;0)).

On multiplie numériquement le numérateur et le dénominateur par x\,-\,iy car (x+iy)(x-iy)=x^2+y^2 est un nombre réel.

L’avantage est de faire disparaître le i au dénominateur.

Exemples :

Ecrire sous forme algébrique \frac{1}{2+3i} et \frac{1-5i}{2+i}.

3. Affixe d’un vecteur, d’un barycentre :

 3.1. Propriété 3 :

Propriété :

Deux points A et B du plan complexe ont pour affixes respectives z_A et z_B .

L’affixe du vecteur \vec{AB} est z_B-Z_A.

Remarques :

  1. Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs affixes sont égales.
  2. Si k est un réel, l’affixe du vecteur k\vec{u} est kz où z est l’affixe de \vec{u}.

3.2. Propriété 4 :

Propriété :

Deux points A et B du plan complexe ont pour affixes respectives z_A et z_B.

L’affixe du barycentre G des points pondérés (A,k) et (B,k') (avec k+k' non nul) est :

\frac{kz_A+k'z_B}{k+k'}.

Remarque :

Ce résultat se généralise à plus de deux points.

affixe barycentre

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Les nombres complexes

Un QCM sur les nombres complexes

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