Ce contrôle de maths de Terminale porte sur le thème suivant : primitives de fonctions usuelles.
Ce sujet évalue ta maîtrise des primitives, première étape vers le calcul intégral. Tu dois d’abord vérifier par dérivation qu’une fonction est une primitive, puis reconnaître les formes usuelles : \(u^{\prime}u^n\), \(\dfrac{u^{\prime}}{u}\), \(u^{\prime}e^u\), \(\dfrac{u^{\prime}}{\sqrt{u}}\) ou \(\cos(ax+b)\). Viennent ensuite la primitive qui vérifie une condition initiale et la recherche d’une primitive de \(x e^x\) par identification des coefficients.
Le dernier exercice relie la vitesse d’un drone à son altitude. Travaille sans calculatrice et vérifie chaque réponse en la dérivant avant de passer à la suite.
- Niveau : Terminale
- Chapitre : Primitives et équations différentielles
- Durée conseillée : 1 heure 30
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 3 points ; exercice 2 : 6 points ; exercice 3 : 3 points ; exercice 4 : 4 points ; exercice 5 : 4 points)
- Compétences évaluées :
- Calculer : déterminer une primitive en reconnaissant une forme usuelle
- Raisonner : vérifier qu’une fonction est une primitive en la dérivant
- Chercher : identifier des coefficients pour trouver une primitive de la forme (ax + b)e^x
- Modéliser : passer d’une vitesse à une altitude grâce à une primitive
Exercice 1 : Vérifier une primitive (3 points)
Calculatrice interdite.
- D’abord, montre que la fonction \(F\) définie sur \(]0 \,;\, +\infty[\) par \(F(x) = x\ln x – x\) est une primitive de la fonction \(\ln\) sur \(]0 \,;\, +\infty[\). (1 point)
- Ensuite, prouve que la fonction \(G\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(G(x) = (x^2 + 1)e^x\) est une primitive de la fonction \(g : x \mapsto (x + 1)^2 e^x\). (1 point)
- Enfin, vérifie que \(H : x \mapsto \ln(1 + e^x)\) est une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(h : x \mapsto \dfrac{e^x}{1 + e^x}\). Donne alors une autre primitive de \(h\) sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
Exercice 2 : Primitives de fonctions usuelles (6 points)
Pour chaque fonction, détermine une primitive sur l’intervalle indiqué. Pense donc à reconnaître la forme usuelle avant de calculer.
- \(f_1(x) = 3x^2 – 4x + 5 – \dfrac{2}{x^2}\) sur \(]0 \,;\, +\infty[\) (1 point)
- \(f_2(x) = (2x + 1)(x^2 + x + 3)^4\) sur \(\mathbb{R}\) (1 point)
- \(f_3(x) = \dfrac{6x}{x^2 + 4}\) sur \(\mathbb{R}\) (1 point)
- \(f_4(x) = e^{3x – 1} + x e^{x^2}\) sur \(\mathbb{R}\) (1 point)
- \(f_5(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2x + 5}}\) sur \(]-\dfrac{5}{2} \,;\, +\infty[\) (1 point)
- \(f_6(x) = \cos(2x + \dfrac{\pi}{3}) – 3\sin x\) sur \(\mathbb{R}\) (1 point)
Exercice 3 : Primitive vérifiant une condition (3 points)
- Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{x}{(x^2 + 1)^2}\). Détermine alors la primitive \(F\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) telle que \(F(0) = 1\). (1,5 point)
- Soit ensuite \(g\) la fonction définie sur \(]0 \,;\, +\infty[\) par \(g(x) = e^{2x} – \dfrac{1}{x}\). Détermine la primitive \(G\) de \(g\) sur \(]0 \,;\, +\infty[\) qui s’annule en 1. (1,5 point)
Exercice 4 : Une primitive de x e^x (4 points)
La fonction \(x \mapsto x e^x\) n’a pas de forme usuelle. On cherche donc une primitive de la forme \(x \mapsto (ax + b)e^x\), où \(a\) et \(b\) sont des réels.
- Soit \(\varphi(x) = (ax + b)e^x\). Montre que \(\varphi^{\prime}(x) = (ax + a + b)e^x\). (1 point)
- Déduis-en ainsi une primitive de \(x \mapsto x e^x\) sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
- Puis, avec la même méthode, détermine une primitive de \(x \mapsto (2x + 5)e^x\) sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
- Enfin, trouve une primitive de \(x \mapsto (x + 1)e^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\), en la cherchant de la forme \(x \mapsto (ax + b)e^{-x}\). (1 point)
Exercice 5 : L’altitude d’un drone (4 points)
Un drone décolle du sol et s’élève verticalement. Sa vitesse verticale, en mètres par seconde, à l’instant \(t\) en secondes (\(t \geq\, 0\)), est :
\[v(t) = 4 – 4e^{-0{,}5t}.\]
On note \(z(t)\) son altitude en mètres. De plus, on admet que \(z\) est la primitive de \(v\) sur \([0 \,;\, +\infty[\) telle que \(z(0) = 0\). Par ailleurs, la courbe de \(v\) est tracée ci-dessous.
- D’abord, détermine l’expression de \(z(t)\) en fonction de \(t\). (1,5 point)
- Calcule alors la valeur exacte de l’altitude du drone au bout de 2 secondes. (1 point)
- Justifie que l’altitude du drone augmente au cours du temps. (0,5 point)
- Enfin, conjecture sur la figure, puis démontre, la limite de \(v(t)\) quand \(t\) tend vers \(+\infty\). Interprète ensuite ce résultat. (1 point)
Réviser avant le contrôle : primitives de fonctions usuelles
Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Les équations différentielles » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés les équations différentielles.
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