Suites numériques : les suites numériques : cours de maths en

Sommaire

Suites numériques : les suites numériques : cours de maths en terminale en PDF.

Les suites numériques dans un cours de maths en terminale en enseignement obligatoire.

Nous étudierons la définition d’une suite numérique et son comportement.

I . Comportement d’une suite numérique :

Définition :

Une suite est une application de l’ensemble $\mathbb{N} – suites numériques$ dans l’ensemble $\mathbb{R} – suites numériques$ .

$\begin{array}{l|rcl} (U_n): \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N} \ n \longrightarrow U_n \end{array} – suites numériques$ .

Définitions :

Une suite $(U_n)_{n\in\mathbb{N}$ est croissante $\Leftrightarrow\,\,\forall n \in \mathbb{N},\,U_n \le U_{n+1} – suites numériques$ .
Une suite $(U_n)_{n\in\mathbb{N}$ est décroissante $\Leftrightarrow\,\,\forall n \in \mathbb{N},\,U_n \ge U_{n+1} – suites numériques$ .
Une suite $(U_n)_{n\in\mathbb{N}$ est monotone signifie qu’elle est soit croissante soit décroissante.

Remarques :

On parle aussi de suite $(U_n)_{n\in\mathbb{N} – suites numériques$ croissante à partir d’un rang $n_0\in\mathbb{N}$ $\Leftrightarrow\,\,\forall n \ge n_0,\,U_n \ge U_{n+1} – suites numériques$
On définit aussi les suites strictement croissantes ou décroissante en remplaçant les inégalités par des inégalités strictes .

Méthode 1 :

Considérons la suite définie par $\forall n \in \mathbb{N}\,,\,U_n=n^2 – suites numériques$ $U_{n+1}-U_n={(n+1)}^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1>1 .$ (car n est un entier naturel donc positif) donc $U_{n+1}-U_n>0\Leftrightarrow\,\,U_{n+1}>U_n – suites numériques$ donc la suite est strictement croissante sur $\mathbb{N} – suites numériques$ .

Méthode 2 :

Pour une suite à termes strictement positifs : comparer $\frac{U_{n+1}}{U_n} – suites numériques$ et 1.

Considérons la suite définie par $\forall n \in \mathbb{N}\,,\,U_n={exp n}^2 – suites numériques$

$\frac{U_{n+1}}{U_n}= \frac{exp (n+1)^2)}{exp n^2}=exp {(n+1)^2-n^2}=exp{n^2+2n+1-n^2}=exp{2n+1} > exp 0$ car la fonction exp est strictement croissante sur $\mathbb{R} – suites numériques$ et 2n+1 >0 .

donc $\frac{U_{n+1}}{U_n}>1$ car

ainsi $\frac{U_{n+1}\times U_n}{U_n}\,>1\,\times U_n$

car est à termes strictement positifs .

$U_{n+1}> U_n$ donc est strictement croissante sur $\mathbb{N} – suites numériques$ .

Définitions :

Une suite est majorée lorsqu’il existe un réel M (un majorant) tel que $\forall n \in \mathbb{N}\,,\, U_n\le\,M$ .
Une suite est minorée lorsqu’il existe un réel m tel que $\forall n \in \mathbb{N}\,,\, U_n\ge\,M$ .
Une suite est bornée lorsqu’elle est majorée et minorée .

Remarques :

Si est une suite croissante, alors elle est minorée par son premier terme : $U_0 \le U_1\le U_2 \le .... \le U_n \le ....$
Si est une suite décroissante, alors elle est majorée par son premier terme : $U_0 \ge U_1\ge U_2 \ge .... \ge U_n \le ... – suites numériques$

Exemples :

La suite définie par $\forall n \in \mathbb{N}\,,\, U_n = exp n + 1 – suites numériques$ est strictement croissante, elle est minorée par 1 par contre, elle n’est pas majorée.
La suite définie par $\forall n \in \mathbb{N}\,,\, V_n = -2n-4 – suites numériques$ est strictement décroissante, majorée par -4, par contre elle n’est pas minorée .
La suite définie par $\forall n \in \mathbb{N}\,,\, W_n = sin n – suites numériques$ est bornée, majorée par 1 et minorée par -1.

Théorème :

Une suite croissante et majorée est convergente .
Une suite décroissante et minorée est convergente .

Théorème :

Toute suite croissante non majorée, diverge vers $+\infty$ .
Tout suite décroissante non minorée diverge vers $-\infty – suites numériques$ .

Exemple :

La suite définie par $\forall n \in \mathbb{N}\,,\, U_n = exp n + 1 – suites numériques$ est strictement croissante, elle n’est pas majorée donc diverge vers $+\infty$ .
La suite définie par $\forall n \in \mathbb{N}\,,\, V_n = -2n-4 – suites numériques$ est strictement décroissante, elle n’est pas minorée donc diverge vers $-\infty – suites numériques$ .
La suite définie par $\forall n \in \mathbb{N}\,,\, W_n = sin n – suites numériques$ est bornée, elle est dite divergente .

Théorème :

Soit définie par et $\forall n \,\in\, \mathbb{N}\,\,, U_n=f(U_{n+1}) .$ .

Si converge vers et si f est continue en alors cette limite vérifie $f(l)\,=\,l – suites numériques$ .

Exemple :

Considérons définie par et $\forall n\,\, \in\,\, \mathbb{N},\,\, U_{n+1}=\frac{U_n^2}{3}$ .

est décroissante et minorée par 0 ( à montrer…).

Ensuite, donc converge vers d’après le théorème précédent .

Posons $\forall x\,\, \in\,\, \mathbb{R^+},\,\, f(x)=\frac{x^2}{3}$

On est amené à résoudre $f(l)\,=\,l\Longleftrightarrow \frac{l^2}{3}=l\Longleftrightarrow l\times (\frac{l}{3}-1)=0\Longleftrightarrow l=0\,\,ou\,\,l=3 – suites numériques$

$\forall n\,\, \in\,\, \mathbb{N},\,\, U_n\le 2,5$

donc $l\neq 0 – suites numériques$

d’où

$l= 0=\lim_{n\to +\infty} U_n$

II . Suites adjacentes :

Définition :

Dire que deux suites et sont adjacentes signifie que :

L’une est croissante.
L’autre est décroissante.
$\lim_{n \to +\infty} (U_n-V_n)\,=\,0 – suites numériques$

Exemple :

Considérons les deux suites numériques suivantes :

$\forall n\,\ge 1,\,\, U_n=\,\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}= \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\,\,\,\,,V_n=U_n+\frac{1}{n} – suites numériques$

$\forall n\, \ge 1,\,\, U_{n+1}=\,\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k^2}= \,\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(n+1)^2}\,=\,U_n+\frac{1}{(n+1)^2} – suites numériques$ .

Après cela, donc $U_{n+1}-U_n\,=\,\frac{1}{{n+1}^2}>0$

donc est croissante .

$\forall n\, \ge 1,\,\, V_{n+1}-V_n=\,U_{n+1}+\frac{1}{n+1}-U_n-\frac{1}{n}= \,U_{n+1}-U_n-\frac{1}{n(n+1)}$ .

$\forall n\, \ge 1,\,\, V_{n+1}-V_n=\,U_{n+1}+\frac{1}{n+1}-U_n-\frac{1}{n}=\,\frac{1}{{n+1}^2}-\frac{1}{n(n+1)} – suites numériques$

$\forall n\, \ge 1,\,\, V_{n+1}-V_n=\,U_{n+1}+\frac{1}{n+1}-U_n-\frac{1}{n}=\,\frac{n}{n(n+1)^2}-\frac{n+1}{n(n+1)^2}$

$\forall n\, \ge 1,\,\, V_{n+1}-V_n=\,U_{n+1}+\frac{1}{n+1}-U_n-\frac{1}{n}=\,-\frac{1}{n(n+1)^2}<0 – suites numériques$

donc est décroissante .
$V_n\,-\,U_n=\frac{1}{n} – suites numériques$
$\fbox{ \lim_{n\to +\infty} ( V_n\,-\,U_n)=0}$

Conclusion :

Les deux suites et sont adjacentes .

Définition :

Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent vers la même limite.

Exemple :

Reprenons notre exemple précédente :

$\forall n\,\ge 1,\,\, U_n=\,\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}= \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\,\,\,\,,V_n=U_n+\frac{1}{n} – suites numériques$

Les deux suites et sont adjacentes donc elles sont convergentes et convergent vers la même limite .

Nous pourrions montrer que :
$\fbox{ \lim_{n\to +\infty} ( V_n\)=\lim_{n\to +\infty} (U_n)=\frac{\pi^2}{6}$

Suites numériques : méthode de travail

Avant tout, recopie les propriétés importantes dans ton cahier. Ensuite, compare ta démarche avec ta leçon, étape par étape. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. En outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.

Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Suite (mathématiques) sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec les équations différentielles : cours de maths en terminale en PDF.

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