Les suites numériques : cours de maths en terminale en PDF.

I . Comportement d’une suite numérique :

Remarques :

1. On parle aussi de suite croissante à partir d’un rang
2.  On définit aussi les suites strictement croissantes ou décroissante en remplaçant les inégalités par des inégalités strictes .

Méthode 1 :

Considérons la suite définie par (car n est un entier naturel donc positif) donc donc la suite est strictement croissante sur .

Méthode 2 :

Pour une suite à termes strictement positifs : comparer et 1.

Considérons la suite définie par

car la fonction exp est strictement croissante sur et 2n+1 >0 .

donc car

ainsi

car est à termes strictement positifs .

donc est strictement croissante sur .

Remarques :

1. Si est une suite croissante, alors elle est minorée par son premier terme :
2. Si est une suite décroissante, alors elle est majorée par son premier terme :

Exemples :

1. La suite définie par est strictement croissante, elle est minorée par 1 par contre, elle n’est pas majorée.
2.  La suite définie par est strictement décroissante, majorée par -4, par contre elle n’est pas minorée .
3. La suite définie par est bornée, majorée par 1 et minorée par -1.

Exemple :

1. La suite définie par est strictement croissante, elle n’est pas majorée donc diverge vers .
2. La suite définie par est strictement décroissante, elle n’est pas minorée donc diverge vers .
3.  La suite définie par est bornée, elle est dite divergente .

Exemple :

Considérons définie par et .

est décroissante et minorée par 0 ( à montrer…).

Donc converge vers d’après le théorème précédent .

Posons

On est amené à résoudre

or

donc

d’où

II . Suites adjacentes :

Exemple :

Considérons les deux suites numériques suivantes :

.

Donc

donc est croissante .

.

donc est décroissante .

Conclusion :

Les deux suites et sont adjacentes .

Exemple :

Reprenons notre exemple précédente :

Les deux suites et sont adjacentes donc elles sont convergentes et convergent vers la même limite .

Nous pourrions montrer que :