Suites numériques : cours de maths en terminale en PDF.

Sommaire

Les suites numériques dans un cours de maths en terminale en enseignement obligatoire.

Nous étudierons la définition d’une suite numérique et son comportement.

I . Comportement d’une suite numérique :

Définition :

Une suite est une application de l’ensemble $\mathbb{N}$ dans l’ensemble $\mathbb{R}$ .

$\begin{array}{l|rcl} (U_n): \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N} \\ n \longrightarrow U_n \end{array}$ .

Définitions :

Une suite $(U_n)_{n\in\mathbb{N}$ est croissante $\Leftrightarrow\,\,\forall n \in \mathbb{N},\,U_n \le U_{n+1}$ .
Une suite $(U_n)_{n\in\mathbb{N}$ est décroissante $\Leftrightarrow\,\,\forall n \in \mathbb{N},\,U_n \ge U_{n+1}$ .
Une suite $(U_n)_{n\in\mathbb{N}$ est monotone signifie qu’elle est soit croissante soit décroissante.

Remarques :

On parle aussi de suite $(U_n)_{n\in\mathbb{N}$ croissante à partir d’un rang $n_0\in\mathbb{N}$ $\Leftrightarrow\,\,\forall n \ge n_0,\,U_n \ge U_{n+1}$
On définit aussi les suites strictement croissantes ou décroissante en remplaçant les inégalités par des inégalités strictes .

Méthode 1 :

Considérons la suite définie par $\forall n \in \mathbb{N}\,,\,U_n=n^2$ $U_{n+1}-U_n={(n+1)}^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1>1 .$ (car n est un entier naturel donc positif) donc $U_{n+1}-U_n>0\Leftrightarrow\,\,U_{n+1}>U_n$ donc la suite est strictement croissante sur $\mathbb{N}$ .

Méthode 2 :

Pour une suite à termes strictement positifs : comparer $\frac{U_{n+1}}{U_n} .$ et 1.

Considérons la suite définie par $\forall n \in \mathbb{N}\,,\,U_n={exp n}^2$

$\frac{U_{n+1}}{U_n}= \frac{exp (n+1)^2)}{exp n^2}=exp {(n+1)^2-n^2}=exp{n^2+2n+1-n^2}=exp{2n+1} > exp 0$ car la fonction exp est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et 2n+1 >0 .

donc $\frac{U_{n+1}}{U_n}>1$ car

ainsi $\frac{U_{n+1}\times U_n}{U_n}\,>1\,\times U_n$

car est à termes strictement positifs .

$U_{n+1}> U_n$ donc est strictement croissante sur $\mathbb{N}$ .

Définitions :

Une suite est majorée lorsqu’il existe un réel M (un majorant) tel que $\forall n \in \mathbb{N}\,,\, U_n\le\,M$ .
Une suite est minorée lorsqu’il existe un réel m tel que $\forall n \in \mathbb{N}\,,\, U_n\ge\,M$ .
Une suite est bornée lorsqu’elle est majorée et minorée .

Remarques :

Si est une suite croissante, alors elle est minorée par son premier terme : $U_0 \le U_1\le U_2 \le .... \le U_n \le ....$
Si est une suite décroissante, alors elle est majorée par son premier terme : $U_0 \ge U_1\ge U_2 \ge .... \ge U_n \le ....$

Exemples :

La suite définie par $\forall n \in \mathbb{N}\,,\, U_n = exp n + 1$ est strictement croissante, elle est minorée par 1 par contre, elle n’est pas majorée.
La suite définie par $\forall n \in \mathbb{N}\,,\, V_n = -2n-4$ est strictement décroissante, majorée par -4, par contre elle n’est pas minorée .
La suite définie par $\forall n \in \mathbb{N}\,,\, W_n = sin n$ est bornée, majorée par 1 et minorée par -1.

Théorème :

Une suite croissante et majorée est convergente .
Une suite décroissante et minorée est convergente .

Théorème :

Toute suite croissante non majorée, diverge vers $+\infty$ .
Tout suite décroissante non minorée diverge vers $-\infty$ .

Exemple :

La suite définie par $\forall n \in \mathbb{N}\,,\, U_n = exp n + 1$ est strictement croissante, elle n’est pas majorée donc diverge vers $+\infty$ .
La suite définie par $\forall n \in \mathbb{N}\,,\, V_n = -2n-4$ est strictement décroissante, elle n’est pas minorée donc diverge vers $-\infty$ .
La suite définie par $\forall n \in \mathbb{N}\,,\, W_n = sin n$ est bornée, elle est dite divergente .

Théorème :

Soit (U_n) définie par U_0 et $\forall n \,\in\, \mathbb{N}\,\,, U_n=f(U_{n+1}) .$ .

Si (U_n) converge vers et si f est continue en alors cette limite vérifie $f(l)\,=\,l$ .

Exemple :

Considérons définie par et $\forall n\,\, \in\,\, \mathbb{N},\,\, U_{n+1}=\frac{U_n^2}{3}$ .

est décroissante et minorée par 0 ( à montrer…).

Donc converge vers d’après le théorème précédent .

Posons $\forall x\,\, \in\,\, \mathbb{R^+},\,\, f(x)=\frac{x^2}{3}$

On est amené à résoudre $f(l)\,=\,l\Longleftrightarrow \frac{l^2}{3}=l\Longleftrightarrow l\times (\frac{l}{3}-1)=0\Longleftrightarrow l=0\,\,ou\,\,l=3$

$\forall n\,\, \in\,\, \mathbb{N},\,\, U_n\le 2,5$

donc $l\neq 0$

d’où

$l= 0=\lim_{n\to +\infty} U_n$

II . Suites adjacentes :

Définition :

Dire que deux suites (U_n) et (V_n) sont adjacentes signifie que :

L’une est croissante.
L’autre est décroissante.
$\lim_{n \to +\infty} (U_n-V_n)\,=\,0.$

Exemple :

Considérons les deux suites numériques suivantes :

$\forall n\,\ge 1,\,\, U_n=\,\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}= \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\,\,\,\,,V_n=U_n+\frac{1}{n}$

$\forall n\, \ge 1,\,\, U_{n+1}=\,\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k^2}= \,\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(n+1)^2}\,=\,U_n+\frac{1}{(n+1)^2}$ .

Donc $U_{n+1}-U_n\,=\,\frac{1}{{n+1}^2}>0$

donc est croissante .

$\forall n\, \ge 1,\,\, V_{n+1}-V_n=\,U_{n+1}+\frac{1}{n+1}-U_n-\frac{1}{n}= \,U_{n+1}-U_n-\frac{1}{n(n+1)}$ .

$\forall n\, \ge 1,\,\, V_{n+1}-V_n=\,U_{n+1}+\frac{1}{n+1}-U_n-\frac{1}{n}=\,\frac{1}{{n+1}^2}-\frac{1}{n(n+1)}$

$\forall n\, \ge 1,\,\, V_{n+1}-V_n=\,U_{n+1}+\frac{1}{n+1}-U_n-\frac{1}{n}=\,\frac{n}{n(n+1)^2}-\frac{n+1}{n(n+1)^2}$

$\forall n\, \ge 1,\,\, V_{n+1}-V_n=\,U_{n+1}+\frac{1}{n+1}-U_n-\frac{1}{n}=\,-\frac{1}{n(n+1)^2}<0$

donc est décroissante .
$V_n\,-\,U_n=\frac{1}{n}$
$\fbox{ \lim_{n\to +\infty} ( V_n\,-\,U_n)=0}$

Conclusion :

Les deux suites et sont adjacentes .

Définition :

Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent vers la même limite.

Exemple :

Reprenons notre exemple précédente :

$\forall n\,\ge 1,\,\, U_n=\,\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}= \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\,\,\,\,,V_n=U_n+\frac{1}{n}$

Les deux suites et sont adjacentes donc elles sont convergentes et convergent vers la même limite .

Nous pourrions montrer que :
$\fbox{ \lim_{n\to +\infty} ( V_n\)=\lim_{n\to +\infty} (U_n)=\frac{\pi^2}{6}$

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