Les suites numériques dans un cours de maths en terminale en enseignement obligatoire.
Nous étudierons la définition d’une suite numérique et son comportement.
I . Comportement d’une suite numérique :
Une suite est une application de l’ensemble 
dans l’ensemble .
.
- Une suite est croissante .
- Une suite est décroissante .
- Une suite est monotone signifie qu’elle est soit croissante soit décroissante.
Remarques :
- On parle aussi de suite croissante à partir d’un rang
- On définit aussi les suites strictement croissantes ou décroissante en remplaçant les inégalités par des inégalités strictes .
Méthode 1 :
Considérons la suite définie par (car n est un entier naturel donc positif) donc donc la suite est strictement croissante sur .
Méthode 2 :
Pour une suite à termes strictement positifs : comparer et 1.
Considérons la suite définie par
car la fonction exp est strictement croissante sur et 2n+1 >0 .
donc car
ainsi
car est à termes strictement positifs .
donc est strictement croissante sur .
- Une suite est majorée lorsqu’il existe un réel M (un majorant) tel que .
- Une suite est minorée lorsqu’il existe un réel m tel que .
- Une suite est bornée lorsqu’elle est majorée et minorée .
Remarques :
- Si est une suite croissante, alors elle est minorée par son premier terme :
- Si est une suite décroissante, alors elle est majorée par son premier terme :
Exemples :
- La suite définie par est strictement croissante, elle est minorée par 1 par contre, elle n’est pas majorée.
- La suite définie par est strictement décroissante, majorée par -4, par contre elle n’est pas minorée .
- La suite définie par est bornée, majorée par 1 et minorée par -1.
- Une suite croissante et majorée est convergente .
- Une suite décroissante et minorée est convergente .
- Toute suite croissante non majorée, diverge vers .
- Tout suite décroissante non minorée diverge vers .
Exemple :
- La suite définie par est strictement croissante, elle n’est pas majorée donc diverge vers .
- La suite définie par est strictement décroissante, elle n’est pas minorée donc diverge vers .
- La suite définie par est bornée, elle est dite divergente .
Soit définie par et .
Si converge vers et si f est continue en alors cette limite vérifie .
Exemple :
Considérons définie par et .
est décroissante et minorée par 0 ( à montrer…).
Donc converge vers d’après le théorème précédent .
Posons
On est amené à résoudre
or
donc
d’où
II . Suites adjacentes :
Dire que deux suites et sont adjacentes signifie que :
- L’une est croissante.
- L’autre est décroissante.
Exemple :
Considérons les deux suites numériques suivantes :
.
Donc
donc est croissante .
.
donc est décroissante .
Conclusion :
Les deux suites et sont adjacentes .
Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent vers la même limite.
Exemple :
Reprenons notre exemple précédente :
Les deux suites et sont adjacentes donc elles sont convergentes et convergent vers la même limite .
Nous pourrions montrer que :
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