Sommaire de cette fiche
Les suites numériques dans un cours de maths en terminale S en enseignement obligatoire.
Nous étudierons la définition d’une suite numérique et son comportement.
I . Comportement d’une suite numérique :
Une suite est une application de l’ensemble dans l’ensemble
.
.
• Une suite est croissante
.
• Une suite est décroissante
.
• Une suite est monotone signifie qu’elle est soit croissante soit décroissante.
Remarques :
• On parle aussi de suite croissante à partir d’un rang
• On définit aussi les suites strictement croissantes ou décroissante en remplaçant les inégalités par des inégalités strictes .
Exemples :
•Méthode 1 :
Considérons la suite définie par
(car n est un entier naturel donc positif) donc
donc la suite
est strictement croissante sur
.
•Méthode 2 :
Pour une suite à termes strictement positifs : comparer
et 1.
Considérons la suite définie par
car la fonction exp est strictement croissante sur
et 2n+1 >0 .
donc car
ainsi
car est à termes strictement positifs .
donc
est strictement croissante sur
.
• Une suite est majorée lorsqu’il existe un réel M (un majorant) tel que
.
• Une suite est minorée lorsqu’il existe un réel m tel que
.
• Une suite est bornée lorsqu’elle est majorée et minorée .
Remarques :
· Si est une suite croissante, alors elle est minorée par son premier terme
:
· Si est une suite décroissante, alors elle est majorée par son premier terme
:
Exemple :
· La suite définie par
est strictement croissante, elle est minorée par 1 par contre, elle n’est pas majorée.
· La suite définie par
est strictement décroissante, majorée par -4, par contre elle n’est pas minorée .
· La suite définie par
est bornée, majorée par 1 et minorée par -1.
- Une suite croissante et majorée est convergente .
- Une suite décroissante et minorée est convergente .
- Toute suite croissante non majorée, diverge vers
.
- Tout suite décroissante non minorée diverge vers
.
Exemple :
- La suite
définie par
est strictement croissante, elle n’est pas majorée donc diverge vers
.
- La suite
définie par
est strictement décroissante, elle n’est pas minorée donc diverge vers
.
- La suite
définie par
est bornée, elle est dite divergente .
Soit définie par
et
.
Si converge vers
et si f est continue en
alors
cette limite vérifie
.
Exemple :
Considérons définie par
et
.
est décroissante et minorée par 0 ( à montrer…).
Donc converge vers
d’après le théorème précédent .
Posons
On est amené à résoudre
or
donc
d’où
II . Suites adjacentes :
Dire que deux suites et
sont adjacentes signifie que :
• L’une est croissante.
• L’autre est décroissante.
•
Exemple :
Considérons les deux suites numériques suivantes :
.
Donc
donc est croissante .
.
donc est décroissante .
Conclusion :
Les deux suites et
sont adjacentes .
Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent vers la même limite.
Exemple :
Reprenons notre exemple précédente :
Les deux suites et
sont adjacentes donc elles sont convergentes et convergent vers la même limite .
Nous pourrions montrer que :
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