Les suites numériques : cours de matsh en terminale S

cours maths terminale

Les suites numériques dans un cours de maths en terminale S en enseignement obligatoire.

Nous étudierons la définition d’une suite numérique et son comportement.

I . Comportement d’une suite numérique :

Définition :

Une suite est une application de l’ensemble \mathbb{N} dans l’ensemble  \mathbb{R}.

\begin{array}{l|rcl} (U_n):  \mathbb{N}  \longrightarrow  \mathbb{N} \\  n  \longrightarrow  U_n \end{array} .

Définitions :

• Une suite (U_n)_{n\in\mathbb{N} est croissante  \Leftrightarrow\,\,\forall n \in \mathbb{N},\,U_n \le U_{n+1} .

• Une suite (U_n)_{n\in\mathbb{N} est décroissante  \Leftrightarrow\,\,\forall n \in \mathbb{N},\,U_n \ge U_{n+1} .

• Une suite (U_n)_{n\in\mathbb{N} est monotone signifie qu’elle est soit croissante soit décroissante.

Remarques :

• On parle aussi de suite  (U_n)_{n\in\mathbb{N} croissante à partir d’un rang  n_0\in\mathbb{N}  \Leftrightarrow\,\,\forall n \ge n_0,\,U_n \ge U_{n+1}

• On définit aussi les suites strictement croissantes ou décroissante en remplaçant les inégalités par des inégalités strictes .

Exemples :

Méthode 1 :

Considérons la suite  (U_n) définie par  \forall n \in \mathbb{N}\,,\,U_n=n^2  U_{n+1}-U_n={(n+1)}^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1>1 . (car n est un entier naturel donc positif) donc  U_{n+1}-U_n>0\Leftrightarrow\,\,U_{n+1}>U_n donc la suite  (U_n) est strictement croissante sur  \mathbb{N}.

•Méthode 2 :

Pour une suite  (U_n) à termes strictement positifs : comparer  \frac{U_{n+1}}{U_n} . et 1.

Considérons la suite  (U_n) définie par  \forall n \in \mathbb{N}\,,\,U_n={exp n}^2

 \frac{U_{n+1}}{U_n}= \frac{exp (n+1)^2)}{exp n^2}=exp {(n+1)^2-n^2}=exp{n^2+2n+1-n^2}=exp{2n+1} > exp 0 car la fonction exp est strictement croissante sur  \mathbb{R} et 2n+1 >0 .

donc  \frac{U_{n+1}}{U_n}>1 car  exp 0=1

ainsi  \frac{U_{n+1}\times   U_n}{U_n}\,>1\,\times   U_n

car  (U_n) est à termes strictement positifs .

 U_{n+1}> U_n donc  (U_n) est strictement croissante sur  \mathbb{N} .

Définitions :

• Une suite (U_n) est majorée lorsqu’il existe un réel M (un majorant) tel que

\forall n \in \mathbb{N}\,,\, U_n\le\,M .

• Une suite (U_n) est minorée lorsqu’il existe un réel m tel que

\forall n \in \mathbb{N}\,,\, U_n\ge\,M .

• Une suite (U_n) est bornée lorsqu’elle est majorée et minorée .

Remarques :

· Si (U_n) est une suite croissante, alors elle est minorée par son premier terme  U_0 :  U_0 \le U_1\le U_2 \le .... \le U_n \le ....

· Si  (U_n) est une suite décroissante, alors elle est majorée par son premier terme  U_0 :  U_0 \ge U_1\ge U_2 \ge .... \ge U_n \le ....

Exemple :

· La suite  (U_n) définie par  \forall n \in \mathbb{N}\,,\, U_n = exp n + 1 est strictement croissante, elle est minorée par 1 par contre, elle n’est pas majorée.

· La suite  (V_n) définie par  \forall n \in \mathbb{N}\,,\, V_n = -2n-4 est strictement décroissante, majorée par -4, par contre elle n’est pas minorée .

· La suite  (W_n) définie par  \forall n \in \mathbb{N}\,,\, W_n = sin n est bornée, majorée par 1 et minorée par -1.

Théorème :
  •  Une suite croissante et majorée est convergente .
  •  Une suite décroissante et minorée est convergente .
Théorème :
  •  Toute suite croissante non majorée, diverge vers +\infty .
  •  Tout suite décroissante non minorée diverge vers  -\infty .

Exemple :

  • La suite  (U_n) définie par  \forall n \in \mathbb{N}\,,\, U_n = exp n + 1 est strictement croissante, elle n’est pas majorée donc diverge vers  +\infty .
  • La suite  (V_n) définie par  \forall n \in \mathbb{N}\,,\, V_n = -2n-4 est strictement décroissante, elle n’est pas minorée donc diverge vers  -\infty .
  •  La suite  (W_n) définie par  \forall n \in \mathbb{N}\,,\, W_n = sin n est bornée, elle est dite divergente .
Théorème :

Soit (U_n) définie par U_0 et  \forall n \,\in\, \mathbb{N}\,\,, U_n=f(U_{n+1}) . .

Si (U_n)converge vers  l et si f est continue en  l

alors

cette limite  lvérifie f(l)\,=\,l .

Exemple :

Considérons  (U_n) définie par  U_0=2,5 et  \forall n\,\, \in\,\, \mathbb{N},\,\, U_{n+1}=\frac{U_n^2}{3} .

 (U_n) est décroissante et minorée par 0 ( à montrer…).

Donc  (U_n) converge vers  l d’après le théorème précédent .

Posons  \forall x\,\, \in\,\, \mathbb{R^+},\,\, f(x)=\frac{x^2}{3}

On est amené à résoudre f(l)\,=\,l\Longleftrightarrow \frac{l^2}{3}=l\Longleftrightarrow l\times   (\frac{l}{3}-1)=0\Longleftrightarrow l=0\,\,ou\,\,l=3

or

 \forall n\,\, \in\,\, \mathbb{N},\,\, U_n\le 2,5

donc  l\neq 0

d’où

 l= 0=\lim_{n\to +\infty} U_n

II . Suites adjacentes :

Définition :

Dire que deux suites (U_n) et (V_n) sont adjacentes signifie que :

• L’une est croissante.

• L’autre est décroissante.

\lim_{n \to +\infty} (U_n-V_n)\,=\,0.

Exemple :

Considérons les deux suites numériques suivantes :

\forall n\,\ge 1,\,\, U_n=\,\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}= \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\,\,\,\,,V_n=U_n+\frac{1}{n}

\forall n\, \ge 1,\,\, U_{n+1}=\,\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k^2}= \,\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(n+1)^2}\,=\,U_n+\frac{1}{(n+1)^2}.

Donc  U_{n+1}-U_n\,=\,\frac{1}{{n+1}^2}>0

donc  (U_n) est croissante .

\forall n\, \ge 1,\,\, V_{n+1}-V_n=\,U_{n+1}+\frac{1}{n+1}-U_n-\frac{1}{n}= \,U_{n+1}-U_n-\frac{1}{n(n+1)}.

\forall n\, \ge 1,\,\, V_{n+1}-V_n=\,U_{n+1}+\frac{1}{n+1}-U_n-\frac{1}{n}=\,\frac{1}{{n+1}^2}-\frac{1}{n(n+1)}

\forall n\, \ge 1,\,\, V_{n+1}-V_n=\,U_{n+1}+\frac{1}{n+1}-U_n-\frac{1}{n}=\,\frac{n}{n(n+1)^2}-\frac{n+1}{n(n+1)^2}

\forall n\, \ge 1,\,\, V_{n+1}-V_n=\,U_{n+1}+\frac{1}{n+1}-U_n-\frac{1}{n}=\,-\frac{1}{n(n+1)^2}<0

donc  (V_n) est décroissante .
 V_n\,-\,U_n=\frac{1}{n}
 \fbox{ \lim_{n\to +\infty} ( V_n\,-\,U_n)=0}

Conclusion :

Les deux suites  (U_n) et  (V_n) sont adjacentes .

Définition :

Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent vers la même limite.

Exemple :

Reprenons notre exemple précédente :

\forall n\,\ge 1,\,\, U_n=\,\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}= \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\,\,\,\,,V_n=U_n+\frac{1}{n}

Les deux suites  (U_n) et  (V_n) sont adjacentes donc elles sont convergentes et convergent vers la même limite .

Nous pourrions montrer que :
 \fbox{ \lim_{n\to +\infty} ( V_n\)=\lim_{n\to +\infty} (U_n)=\frac{\pi^2}{6}

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