Les équations différentielles : exercices de maths en terminale corrigés.

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Des exercices de maths en terminale S sur les équations différentielles.

Exercice 1 – Equations différentielles et condition initiale

Résoudre les équations différentielles suivantes :

1. $y'+5y=3\,et\,y(0)=0.$

2. $y'=-3y+4e^x\,et\,y(0)=-2.$

3. $y'+y=xe^{-x}+1\,et\,y(1)=0.$

4. $2y'+4y=6x^3+4x+2\,et\,y(0)=-\frac{9}{4}.$

Exercice 2 – Problème sur les équations différentielles
Soit (E) l’équation différentielle et $(E_0)\,\,y'-2y=0.$

1. Vérifier que la fonction définie par est solution de (E) .

2. Résoudre l’équation différentielle (Eo) .

3. Montrer que u est solution de (E) $\Leftrightarrow u-u_0$ est solution de (Eo) .

4. En déduire les solutions de (E) .

5. Déterminer la solution f de (E) qui s’annule en 1 .
Exercice 3 – Déterminer la solution d’une équation différentielle
Déterminer la solution de 2y ‘ + y = 1 telle que y(1) = 2 .
Exercice 4 – Résoudre cette équation différentielle

Résoudre l’équation différentielle 2y ‘ + y = 1

Exercice 5 – Premier ordre
1. Résoudre l’équation diérentielle(E) : y ‘ = – 2y .

2. En déduire la solution de (E) dont la courbe représentative admet, au point d’abscisse 0,
une tangente parallèle à la droite d’équation y = – 4x + 1.
Exercice 6 – Equation différentielle du premier ordre

1. Résoudre l’équation différentielle (E) : y ‘ = 3y .

2. Déterminer la solution de (E) dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées (2; 3).
Exercice 7 – Second membre variable

On considère l’équation différentielle .

1.Résoudre sur $\mathbb{R}$ l’équation sans second membre associé : .

2. Détreminer des réels a et b de sorte que la fonction p définie sur $\mathbb{R}$ par soit solution de (E) sur $\mathbb{R}$ .

3.Démontrer que f est une solution de (E) sur $\mathbb{R}$ si et seulement si est une solution de sur $\mathbb{R}$ .

4.En déduire les solutions de (E) sur R.

Exercice 8 – Application du cours

1.Résoudre sur $\mathbb{R}$ chacune des équations différentielles suivantes :

$y'=y\\4y'+y=0\\y'-3y=2$

2.On considère l’équation différentielle : .

Déterminer la solution de (E) sur $\mathbb{R}$ dont la courbe passe par le point A(0;3) dans un repère du plan.

Exercice 9 – Extraits du baccalauréat s

On considère l’équation différentielle $y'-2y=e^{2x} (E)$ .

1. Démontrer que la fonction u définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=xe^{2x}$ est une solution de (E) .

2. Résoudre l’équation différentielle $y'-2y=0 \,\,(E_0)$ .

3. Démontrer qu’une fonction v définie sur $\mathbb{R}$ est solution de (E) si et seulement si v-u est solution de .

4. En déduire toutes les solutions de l’équation (E) .

5. Déterminer la fonction, solution de (E), qui prend la valeur 1 en 0 .

6. Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j}).$

Soit la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x+1)e^{2x}$ .

On note C la courbe représentative de f dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j}).$

a. Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation .

b. Tracer C .

Exercice 10 – Etude d’une température
On désigne par q(t) la température (exprimée en degré Celsius) d’un corps à l’instant t (exprimé
en heure).

A l’instant t = 0 , ce corps dont la temperature est de 100 °C est placé dans une salle à 20 °C.

D’après la loi de refroidissement de Newton, la vitesse de refroidissement q ‘ (t) est
proportionnelle à la différence entre la température du corps et celle de la salle.

On suppose que le coefficient de refroidissement est – 2, 08 .

1. Justifier que q ‘ (t) = – 2 , 08q(t) + 41,6 .

2. En déduire l’expression de q(t) .

3. Déterminer le sens de variation de la fonction q sur $[0;+\infty[.$

4. Calculer la limite de q en $+\infty.$
Interpréter ce résultat.

5. Déterminer la température du corps, arrondie au degré, au bout de 20 minutes puis au
bout de 30 minutes.

6. Déterminer la valeur exacte du temps au bout duquel le corps tombera à 30 °C.

En donner une valeur approchée.

Corrigé de ces exercices sur les équations différentielles

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