Arithmétique : cours de maths en terminale S spécialité

cours maths terminale
L’arithmétique dans un cours de maths en terminale S spécialité.Ce cours fait intervenir les notions de divisibilité, multiples, diviseurs, congruences, les nombres premiers et la décomposition en facteur premier d’un nombre entier.Egalement la division Euclidienne, le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.

I. Divisibilité :

Définition :

Soient a et b deux entiers relatifs non nuls.

On dit que b divise a ou que a est divisible par b ou bien encore que a est un multiple de b

\Longleftrightarrow\,\exists k \in \mathbb{Z} \,,\, a=k\times   b

on note alors b/a .

Exemple :

15=5\times   3

donc 5 divise 15, 3 divise 15, 15 est un multiple de 5 et de 3.

II. Propriétés :

Propriétés :

Soient  (a;b)\in\mathbb{Z^2} .

 \bullet \forall a\in \mathbb{Z^*}\,,\,0/a .\\ \bullet a/b\Longrightarrow |a|\le |b|.\\ \bullet a/b\,;\,b/a\Longrightarrow a=+-b\\ \bullet a/b\,;\,b/c\Longrightarrow a/c.\\ \bullet a/b\,;\,a/c \Longrightarrow a/(b+c)\,;\,a/(b-c)\,;\,\forall (x,y)\in\mathbb{Z^2}\,,\,a/(bx+cy).\\ \bullet a/b \Longrightarrow (a\times   c)/(b\times   c)

III. Définition :

Définition :

Un entier  n\ge 2 est dit premier s’il n’admet dans \mathbb{N} aucun autre diviseur que lui-même et 1 .

Ensemble des nombres premiers

L’ensemble des nombres premiers, noté  \mathbb{P} est un ensemble infini.

 \mathbb{P}=\{ 2,3,5,7,11,13,17,....\} .

IV. Théorème fondamental de l’arithmétique :

1. Décomposition en facteurs premiers :

Théorème:

Soit n\in\mathbb{N}.

L’entier n se décompose de manière unique, à l’ordre près, sous forme de produit de nombres premiers.

 n={p_1}^{a_1}\times   {p_2}^{a_2} \times   .....\times   {p_r}^{a_r}=\prod_{k=1}^r {p_k}^{a_k} .

2. Division euclidienne :

Théorème:
Soient a et b deux entiers relatifs tels que b\neq 0alors Il existe un unique couple d’entiers (q,r) tel que :

\fbox{a=bq+r\,\,,0\le r<| b|}

Remarque :

Que l’on soit dans  \mathbb{N} ou  \mathbb{Z}, le reste r est toujours positif ou nul.

 3. Congruences :

Définition :
On dit que deux entiers relatifs sont congrus modulo n s’ils ont le même reste dans la division euclidienne par n.Si c’est le cas, on note \fbox{a\equiv b [n]} .

Exemple :

18=5×3+3 et 27=8×3+3.

18 et 27 ont le même reste (r=3) lors de la division euclidienne par 3

donc

 \fbox{27\equiv 18 [3]}

Propriétés :
\bullet a\equiv b [n] \Longleftrightarrow a-b\equiv 0[n]\\\Longleftrightarrow \exists k\in \mathbb{N}\,,\,a-b=k\times   n  \bullet a\equiv b [n]\,;\, a'\equiv b' [n]\Longleftrightarrow a+a'\equiv b+b'[n] \\ \Longleftrightarrow a\times   a'\equiv b\times   b'[n]\\ \Longleftrightarrow a^p\equiv b^p[n] (p\in\mathbb{N})

4. Plus commun diviseur (pgcd) et plus petit commun multiple (ppcm) :

a. Definition du pgcd(a,b)

Définition :
Soient a et b deux entiers relatifs.L’ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément nommé le pgcd(a,b).

On note aussi a^b.

b. Propriétés du pgcd(a,b)

Propriétés :

Soit k un entier non nul.

Si k divise a et b alors :

\bullet pagcd(\frac{a}{k},\frac{b}{k})=\frac{1}{k}pgcd(a,b)\\ \bullet pgcd(ka,kb)=k\times   pgcd(a,b) .

Remarque :

On peut déterminer le pgcd(a,b) de trois manières :

  •  par décomposition des deux nombres ;
  • par une succession de divisions euclidiennes, le dernier reste non nul étant le pgcd(a,b) (théorème d’Euclide);
  • par le théorème de Bézout (voir plus loin….)

c. Définition du ppcm(a,b)

Définition :

Soient a et b deux entiers relatifs.

L’ensemble des multiples communs à a et b admet un plus petit élément nommé le ppcm(a,b).

On note aussi : a v b .

Propriété :

Soient (a,b)\in \mathbb{ZxZ}.

 \fbox{pgcd(a,b)\times   ppcm(a,b)=|ab|}.

V. Théorème de Bézout :

Proposition :

Soit d= pgcd(a,b) alors il existe deux entiers relatifs u et v tels que :

\fbox{a\times   u+b\times   v = d}.

Propriété :

Deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si pgcd(a,b)=1 .

Corollaire 1 :

\fbox{ pgcd(a,b)=1 \Longleftrightarrow \exists (u,v)\in\mathbb{Z^2}\,,\,au+bv=1}.

Corollaire 2 :

 pgcd(a,b)=d \Longleftrightarrow {a=a'd\\ b=b'd\\\exists (u,v)\in\mathbb{Z^2}\,,\,a'u+b'v=1.

VI. Théorème de Gauss:

Théorème :

Si a divise bc et a premier avec b alors a divise c

Exemple :

5 divise 70=7×10

or 5 est premier avec 7

donc d’après le théorème de Gauss 5 divise 10.

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