Arithmétique : cours de maths en terminale spécialité en PDF

Sommaire de cette fiche

1 I. Divisibilité.
2 II. Propriétés.
3 III. Définition.
4 IV. Théorème fondamental de l’arithmétique.
5 V. Théorème de Bézout :
6 VI. Théorème de Gauss:

L’arithmétique dans un cours de maths en terminale spécialité. Ce cours fait intervenir les notions de divisibilité, multiples, diviseurs, congruences, les nombres premiers et la décomposition en facteur premier d’un nombre entier. Egalement la division Euclidienne, le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.

I. Divisibilité.

Définition :

Soient a et b deux entiers relatifs non nuls.

On dit que b divise a ou que a est divisible par b ou bien encore que a est un multiple de b

$\Longleftrightarrow\,\exists k \in \mathbb{Z} \,,\, a=k\times b$

on note alors b/a .

Exemple :
$15=5\times 3$

donc 5 divise 15, 3 divise 15, 15 est un multiple de 5 et de 3.

II. Propriétés.

Propriétés :

Soient $(a;b)\in\mathbb{Z^2}$ .

$\bullet \forall a\in \mathbb{Z^*}\,,\,0/a .\\ \bullet a/b\Longrightarrow |a|\le |b|.\\ \bullet a/b\,;\,b/a\Longrightarrow a=+-b\\ \bullet a/b\,;\,b/c\Longrightarrow a/c.\\ \bullet a/b\,;\,a/c \Longrightarrow a/(b+c)\,;\,a/(b-c)\,;\,\forall (x,y)\in\mathbb{Z^2}\,,\,a/(bx+cy).\\ \bullet a/b \Longrightarrow (a\times c)/(b\times c)$

III. Définition.

Définition :

Un entier $n\ge 2$ est dit premier s’il n’admet dans $\mathbb{N}$ aucun autre diviseur que lui-même et 1 .

Ensemble des nombres premiers

L’ensemble des nombres premiers, noté $\mathbb{P}$ est un ensemble infini.

$\mathbb{P}=\{ 2,3,5,7,11,13,17,....\}$ .

IV. Théorème fondamental de l’arithmétique.

1. Décomposition en facteurs premiers.

Théorème:

Soit $n\in\mathbb{N}$ .L’entier n se décompose de manière unique, à l’ordre près, sous forme de produit de nombres premiers.

$n={p_1}^{a_1}\times {p_2}^{a_2} \times .....\times {p_r}^{a_r}=\prod_{k=1}^r {p_k}^{a_k}$ .

2. Division euclidienne.

Théorème:

Soient a et b deux entiers relatifs tels que $b\neq 0$ alors Il existe un unique couple d’entiers (q,r) tel que :

$\fbox{a=bq+r\,\,,0\le r<| b|}$

Remarque :

Que l’on soit dans $\mathbb{N}$ ou $\mathbb{Z}$ , le reste r est toujours positif ou nul.

3. Congruences.

Définition :

On dit que deux entiers relatifs sont congrus modulo n s’ils ont le même reste dans la division euclidienne par n.

Si c’est le cas, on note $\fbox{a\equiv b [n]}$ .

Exemple :
18=5×3+3 et 27=8×3+3.

18 et 27 ont le même reste (r=3) lors de la division euclidienne par 3

donc

$\fbox{27\equiv 18 [3]}$

Propriétés :

$\bullet a\equiv b [n] \Longleftrightarrow a-b\equiv 0[n]\\\Longleftrightarrow \exists k\in \mathbb{N}\,,\,a-b=k\times n$ $\bullet a\equiv b [n]\,;\, a'\equiv b' [n]\Longleftrightarrow a+a'\equiv b+b'[n] \\ \Longleftrightarrow a\times a'\equiv b\times b'[n]\\ \Longleftrightarrow a^p\equiv b^p[n] (p\in\mathbb{N})$

4. Plus commun diviseur (pgcd) et plus petit commun multiple (ppcm) :

a. Definition du pgcd(a,b)

Définition :

Soient a et b deux entiers relatifs.L’ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément nommé le pgcd(a,b).

On note aussi a^b.

b. Propriétés du pgcd(a,b)

Propriétés :

Soit k un entier non nul.

Si k divise a et b alors :

$\bullet pagcd(\frac{a}{k},\frac{b}{k})=\frac{1}{k}pgcd(a,b)\\ \bullet pgcd(ka,kb)=k\times pgcd(a,b) .$

Remarque :

On peut déterminer le de trois manières :

par décomposition des deux nombres ;
par une succession de divisions euclidiennes, le dernier reste non nul étant le pgcd(a,b) (théorème d’Euclide);
par le théorème de Bézout (voir plus loin….)

c. Définition du ppcm(a, b).

Définition :

Soient a et b deux entiers relatifs.

L’ensemble des multiples communs à a et b admet un plus petit élément nommé le ppcm(a,b).

On note aussi : a v b .

Propriété :

Soient $(a,b)\in \mathbb{ZxZ}.$

$\fbox{pgcd(a,b)\times ppcm(a,b)=|ab|}.$

V. Théorème de Bézout :

Proposition :

Soit d= pgcd(a,b) alors il existe deux entiers relatifs u et v tels que :

$\fbox{a\times u+b\times v = d}.$

Propriété :

Deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si pgcd(a,b)=1 .

Corollaire 1 :

$\fbox{ pgcd(a,b)=1 \Longleftrightarrow \exists (u,v)\in\mathbb{Z^2}\,,\,au+bv=1}.$

Corollaire 2 :

$pgcd(a,b)=d \Longleftrightarrow {a=a'd\\ b=b'd\\\exists (u,v)\in\mathbb{Z^2}\,,\,a'u+b'v=1.$

VI. Théorème de Gauss:

Théorème :

Si a divise bc et a premier avec b alors a divise c

Exemple :

5 divise $70=7\,\times \,10$

or 5 est premier avec 7

donc d’après le théorème de Gauss 5 divise 10.

Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement :

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «arithmétique : cours de maths en terminale spécialité en PDF.» au format PDF.

Vous devez vous inscrire ou vous connecter à votre compte afin de pouvoir télécharger ce document au format PDF.

Réviser les leçons et les exercices avec nos Q.C.M :

Q.C.M en 6ème Q.C.M en 5ème Q.C.M en 4ème Q.C.M en 3ème Q.C.M en 2de Q.C.M en 1ère Q.C.M en Terminale

D'autres utilitaires pour progresser en autonomie :

Chronomètre Horloge France Tables Multiplication Arrondir des décimaux Rapporteur et Angles Médiatrice Symétrie Axiale d'un triangle Symétrie Centrale d'un triangle Translation d'un triangle Rotation Homothétie Bissectrice Tracer droite parallèle Conversion Aires et Volumes Addition de deux relatifs Soustraction Relatifs Addition et soustraction de trois relatifs Produit Deux Relatifs Produit Trois Relatifs Quotient Relatifs Carré Entier Racine Carrée Théorème Pythagore Liste Diviseurs Décomposition Facteurs Premiers Calcul du PGCD PGCD Algorithme Euclide Test Nombre Premier Déterminer Fonction Linéaire Déterminer Fonction Affine Traceur Courbe Trigonométrie Angle Trigonométrie Longueur Périmètre d'un Cercle Aire d'un Disque Volume du Parallélépipède Rectangle Volume du cylindre Surface d'une Sphère et Volume d'une boule Volume d'une pyramide à base rectangulaire Section d'une pyramide Visualiser Section Cône en 2D Section d'un Cône Carte Mondiale Coordonnées Géographiques

Mathovore c'est 14 099 023 cours et exercices de maths téléchargés en PDF.