cours maths terminale

Arithmétique : cours de maths en terminale S spécialité

L’arithmétique dans un cours de maths en terminale S spécialité.Ce cours fait intervenir les notions de divisibilité, multiples, diviseurs, congruences, les nombres premiers et la décomposition en facteur premier d’un nombre entier.Egalement la division Euclidienne, le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.

I. Divisibilité :

Définition :

Soient a et b deux entiers relatifs non nuls.

On dit que b divise a ou que a est divisible par b ou bien encore que a est un multiple de b

\Longleftrightarrow\,\exists k \in \mathbb{Z} \,,\, a=k\times   b

on note alors b/a .

Exemple :

15=5\times   3

donc 5 divise 15, 3 divise 15, 15 est un multiple de 5 et de 3.

II. Propriétés :

Propriétés :

Soient  (a;b)\in\mathbb{Z^2} .

 \bullet \forall a\in \mathbb{Z^*}\,,\,0/a .\\ \bullet a/b\Longrightarrow |a|\le |b|.\\ \bullet a/b\,;\,b/a\Longrightarrow a=+-b\\ \bullet a/b\,;\,b/c\Longrightarrow a/c.\\ \bullet a/b\,;\,a/c \Longrightarrow a/(b+c)\,;\,a/(b-c)\,;\,\forall (x,y)\in\mathbb{Z^2}\,,\,a/(bx+cy).\\ \bullet a/b \Longrightarrow (a\times   c)/(b\times   c)

III. Définition :

Définition :

Un entier  n\ge 2 est dit premier s’il n’admet dans \mathbb{N} aucun autre diviseur que lui-même et 1 .

Ensemble des nombres premiers

L’ensemble des nombres premiers, noté  \mathbb{P} est un ensemble infini.

 \mathbb{P}=\{ 2,3,5,7,11,13,17,....\} .

IV. Théorème fondamental de l’arithmétique :

1. Décomposition en facteurs premiers :

Théorème:

Soit n\in\mathbb{N}.

L’entier n se décompose de manière unique, à l’ordre près, sous forme de produit de nombres premiers.

 n={p_1}^{a_1}\times   {p_2}^{a_2} \times   .....\times   {p_r}^{a_r}=\prod_{k=1}^r {p_k}^{a_k} .

2. Division euclidienne :

Théorème:
Soient a et b deux entiers relatifs tels que b\neq 0alors Il existe un unique couple d’entiers (q,r) tel que :

\fbox{a=bq+r\,\,,0\le r<| b|}

Remarque :

Que l’on soit dans  \mathbb{N} ou  \mathbb{Z}, le reste r est toujours positif ou nul.

 3. Congruences :

Définition :
On dit que deux entiers relatifs sont congrus modulo n s’ils ont le même reste dans la division euclidienne par n.Si c’est le cas, on note \fbox{a\equiv b [n]} .

Exemple :

18=5×3+3 et 27=8×3+3.

18 et 27 ont le même reste (r=3) lors de la division euclidienne par 3

donc

 \fbox{27\equiv 18 [3]}

Propriétés :
\bullet a\equiv b [n] \Longleftrightarrow a-b\equiv 0[n]\\\Longleftrightarrow \exists k\in \mathbb{N}\,,\,a-b=k\times   n  \bullet a\equiv b [n]\,;\, a'\equiv b' [n]\Longleftrightarrow a+a'\equiv b+b'[n] \\ \Longleftrightarrow a\times   a'\equiv b\times   b'[n]\\ \Longleftrightarrow a^p\equiv b^p[n] (p\in\mathbb{N})

4. Plus commun diviseur (pgcd) et plus petit commun multiple (ppcm) :

a. Definition du pgcd(a,b)

Définition :
Soient a et b deux entiers relatifs.L’ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément nommé le pgcd(a,b).

On note aussi a^b.

b. Propriétés du pgcd(a,b)

Propriétés :

Soit k un entier non nul.

Si k divise a et b alors :

\bullet pagcd(\frac{a}{k},\frac{b}{k})=\frac{1}{k}pgcd(a,b)\\ \bullet pgcd(ka,kb)=k\times   pgcd(a,b) .

Remarque :

On peut déterminer le pgcd(a,b) de trois manières :

  •  par décomposition des deux nombres ;
  • par une succession de divisions euclidiennes, le dernier reste non nul étant le pgcd(a,b) (théorème d’Euclide);
  • par le théorème de Bézout (voir plus loin….)

c. Définition du ppcm(a,b)

Définition :

Soient a et b deux entiers relatifs.

L’ensemble des multiples communs à a et b admet un plus petit élément nommé le ppcm(a,b).

On note aussi : a v b .

Propriété :

Soient (a,b)\in \mathbb{ZxZ}.

 \fbox{pgcd(a,b)\times   ppcm(a,b)=|ab|}.

V. Théorème de Bézout :

Proposition :

Soit d= pgcd(a,b) alors il existe deux entiers relatifs u et v tels que :

\fbox{a\times   u+b\times   v = d}.

Propriété :

Deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si pgcd(a,b)=1 .

Corollaire 1 :

\fbox{ pgcd(a,b)=1 \Longleftrightarrow \exists (u,v)\in\mathbb{Z^2}\,,\,au+bv=1}.

Corollaire 2 :

 pgcd(a,b)=d \Longleftrightarrow {a=a'd\\ b=b'd\\\exists (u,v)\in\mathbb{Z^2}\,,\,a'u+b'v=1.

VI. Théorème de Gauss:

Théorème :

Si a divise bc et a premier avec b alors a divise c

Exemple :

5 divise 70=7×10

or 5 est premier avec 7

donc d’après le théorème de Gauss 5 divise 10.


Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «arithmétique : cours de maths en terminale S spécialité» au format PDF.



Télécharger nos applications gratuites avec tous les cours,exercices corrigés Application Mathovore sur Google Play Store. Application Mathovore sur Apple Store.

.

D'autres fiches similaires à arithmétique : cours de maths en terminale S spécialité.

Mathovore vous permet de réviser en ligne et de progresser en mathématiques tout au long de l'année scolaire.
De nombreuses ressources destinées aux élèves désireux de combler leurs lacunes en maths et d'envisager une progression constante. Tous les cours en primaire, au collège, au lycée mais également, en maths supérieures et spéciales ainsi qu'en licence sont disponibles sur notre sites web de mathématiques.
Des documents similaires à arithmétique : cours de maths en terminale S spécialité à télécharger ou à imprimer gratuitement en PDF avec tous les cours de maths du collège au lycée et post bac rédigés par des enseignants de l'éducation nationale.
Vérifiez si vous avez acquis le contenu des différentes leçons (définition, propriétés, téhorèmpe) en vous exerçant sur des milliers d'exercices de maths disponibles sur Mathovore et chacun de ces exercices dispose de son corrigé.
En complément des cours et exercices sur le thème arithmétique : cours de maths en terminale S spécialité, les élèves de troisième pourront réviser le brevet de maths en ligne ainsi que pour les élèves de terminale pourront s'exercer sur les sujets corrigé du baccalauréat de maths en ligne.

Les dernières fiches mises à jour

Voici les dernières ressources mis à jour sur Mathovore (des cours, exercices, des contrôles et autres), rédigées par notre équipe d'enseignants.

Retrouvez nos cours de maths et exercices corrigés sur notre chaîne YouTube.

Inscription gratuite à Mathovore.  Mathovore c'est 2 006 336 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 167 981 membres.
Rejoignez-nous : inscription gratuite.

videos maths youtube
Mathovore

GRATUIT
VOIR