Ce contrôle de maths de Terminale porte sur le thème suivant : combinaisons et triangle de Pascal.
Ce sujet porte sur les combinaisons, c’est-à-dire les parties à \(k\) éléments d’un ensemble à \(n\) éléments, quand l’ordre ne compte pas. Tu les calculeras avec les factorielles, tu utiliseras la symétrie pour aller plus vite, puis tu compléteras le triangle de Pascal.
Tu démontreras ensuite la relation de Pascal par un raisonnement de dénombrement, sans aucun calcul. Les deux derniers exercices sont des tirages simultanés : mains de cartes et comités dans un club, où il faudra choisir entre liste, arrangement et combinaison. La calculatrice est autorisée ; justifie toujours le modèle choisi avant de calculer.
- Niveau : Terminale
- Chapitre : Combinatoire et dénombrement
- Durée conseillée : 1 heure 30
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 4 points ; exercice 2 : 4 points ; exercice 3 : 4 points ; exercice 4 : 4 points ; exercice 5 : 4 points)
- Compétences évaluées :
- Calculer : déterminer un nombre de combinaisons à l’aide des factorielles
- Représenter : construire le triangle de Pascal et y lire des coefficients
- Raisonner : démontrer la relation de Pascal par un argument de dénombrement
- Modéliser : choisir entre liste, arrangement et combinaison selon la situation
Exercice 1 : Calculer des combinaisons (4 points)
Calculatrice autorisée.
Dans tout le sujet, pour des entiers naturels \(n\) et \(k\) avec \(k \leq\, n\), on note \(C(n, k)\) le nombre de combinaisons de \(k\) éléments parmi \(n\) (noté en classe « \(k\) parmi \(n\) » entre parenthèses). On rappelle que \(C(n, k) = \dfrac{n!}{k!\,(n – k)!}\).
- Calculer \(C(6, 2)\) et \(C(7, 3)\) à l’aide des factorielles, en détaillant les simplifications. (1,5 point)
- Donner, sans calcul, \(C(10, 0)\), \(C(10, 1)\) et \(C(10, 10)\). (0,5 point)
- En utilisant la symétrie des combinaisons, calculer \(C(20, 18)\). (1 point)
- Démontrer que, pour tout entier \(n \geq\, 2\), \(C(n, 2) = \dfrac{n(n – 1)}{2}\). Combien de poignées de main sont échangées quand 30 personnes se saluent toutes deux à deux une seule fois ? (1 point)
Exercice 2 : Le triangle de Pascal (4 points)
Le tableau ci-dessous donne, à la ligne \(n\) et dans la colonne \(k\), la valeur de \(C(n, k)\).
| \(n\) / \(k\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 0 | 1 | |||||||
| 1 | 1 | 1 | ||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | |||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |||
| 5 | 1 | 5 | ….. | ….. | 5 | 1 | ||
| 6 | 1 | ….. | ….. | ….. | ….. | ….. | 1 | |
| 7 | 1 | 7 | ….. | ….. | ….. | ….. | 7 | 1 |
- Recopier et compléter les lignes 5, 6 et 7 du tableau. (1,5 point)
- Énoncer la relation de Pascal utilisée pour compléter le tableau et l’illustrer sur un exemple de la ligne 6. (0,5 point)
- Lire \(C(7, 3)\) dans le tableau, puis calculer la somme des nombres de la ligne 7. (1 point)
- Expliquer par un argument de dénombrement pourquoi la somme des nombres de la ligne \(n\) est égale à \(2^n\). (1 point)
Exercice 3 : Démontrer la relation de Pascal (4 points)
Soit \(n\) un entier naturel non nul et \(k\) un entier tel que \(1 \leq\, k \leq\, n\). On considère un ensemble \(E\) à \(n + 1\) éléments et on fixe un élément \(a\) de \(E\). On veut dénombrer de deux façons les parties de \(E\) à \(k\) éléments.
- Combien de parties de \(E\) à \(k\) éléments contiennent l’élément \(a\) ? Justifier. (1 point)
- Combien de parties de \(E\) à \(k\) éléments ne contiennent pas l’élément \(a\) ? Justifier. (1 point)
- En déduire que \(C(n + 1, k) = C(n, k – 1) + C(n, k)\). (1 point)
- Sachant que \(C(9, 4) = 126\) et que \(C(9, 5) = C(9, 4)\), en déduire la valeur de \(C(10, 5)\). (1 point)
Exercice 4 : Mains de cinq cartes (4 points)
Un jeu de 32 cartes contient 4 as. Julien tire simultanément 5 cartes : on appelle « main » l’ensemble des 5 cartes obtenues (l’ordre ne compte pas).
- Combien de mains différentes Julien peut-il obtenir ? (1 point)
- Combien de mains contiennent exactement 2 as ? (1 point)
- Combien de mains ne contiennent aucun as ? (1 point)
- En déduire le nombre de mains contenant au moins un as, puis la probabilité d’obtenir au moins un as, arrondie au centième. (1 point)
Exercice 5 : Le bon modèle de dénombrement (4 points)
Une association sportive compte 12 membres : 7 filles et 5 garçons. Pour chaque question, préciser s’il s’agit d’une liste avec répétition, d’un arrangement ou d’une combinaison, puis répondre.
- On forme un comité de 4 membres, sans fonction particulière. Combien de comités sont possibles ? (1 point)
- Combien de ces comités comprennent exactement 2 filles et 2 garçons ? (1 point)
- On élit un président, un trésorier et un secrétaire, trois membres différents. Combien de bureaux sont possibles ? (1 point)
- Chacun des 12 membres choisit une activité parmi 3 : course, natation ou vélo. Combien de répartitions des choix sont possibles ? (1 point)
Réviser avant le contrôle : combinaisons et triangle de Pascal
Avant de faire ce contrôle, relis le cours « La logique combinatoire » en Terminale.
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