Contrôle de maths Terminale : limites de fonctions et asymptotes

Exercice 1 : Limites en l’infini (4 points)

Calculatrice autorisée.

Déterminer les limites suivantes en justifiant.

1. \(f(x) = -2x^3 + 5x^2 – 1\) : limites en \(+\infty\) et en \(-\infty\). (1 point)
2. \(g(x) = \dfrac{3x^2 – x + 2}{x^2 + 1}\) : limite en \(+\infty\). (1 point)
3. \(h(x) = \dfrac{2x^2 + 1}{x – 3}\) : limite en \(-\infty\). (1 point)
4. \(k(x) = \sqrt{x^2 + 1} – x\) : limite en \(+\infty\) (on pourra utiliser l’expression conjuguée). (1 point)

Exercice 2 : Limites en un réel (4 points)

1. Soit \(p\) la fonction définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{3\}\) par \(p(x) = \dfrac{x + 4}{x – 3}\). Déterminer la limite de \(p\) quand \(x\) tend vers 3 par valeurs supérieures, puis par valeurs inférieures. Interpréter graphiquement. (1,5 point)
2. Soit \(q\) la fonction définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\) par \(q(x) = \dfrac{x^2 – 4}{x – 2}\). Déterminer \(\lim_{x \to 2} q(x)\). (1 point)
3. Soit \(r\) la fonction définie sur \([-1\,;3[ \cup ]3\,;+\infty[\) par \(r(x) = \dfrac{\sqrt{x + 1} – 2}{x – 3}\). Déterminer \(\lim_{x \to 3} r(x)\). (1,5 point)

Exercice 3 : Lecture graphique et asymptotes (4 points)

On donne ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}_f\) d’une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\), ainsi que deux droites en pointillés qui sont ses asymptotes. La courbe passe par les points \(A(0\,;-1)\) et \(B(4\,;3)\).

1. Par lecture graphique, donner les limites de \(f\) en \(-\infty\), en \(+\infty\), et en 1 à gauche et à droite. (2 points)
2. Donner les équations des asymptotes à \(\mathcal{C}_f\). (1 point)
3. On admet que \(f(x) = a + \dfrac{b}{x – 1}\), où \(a\) et \(b\) sont deux réels. Déterminer \(a\) et \(b\) à l’aide des questions précédentes et du point \(A\), puis vérifier que \(B\) appartient à la courbe. (1 point)

Exercice 4 : Étude d’une fonction rationnelle (8 points)

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x) = \dfrac{3x^2 – 2}{x^2 – 4}\) et \(\mathcal{C}_f\) sa courbe dans un repère orthogonal.

1. Déterminer l’ensemble de définition \(D\) de \(f\), puis montrer que \(f\) est paire. Que peut-on en déduire pour \(\mathcal{C}_f\) ? (1 point)
2. Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\). Interpréter graphiquement. (1,5 point)
3. Déterminer les limites de \(f\) à gauche et à droite en 2, puis en \(-2\). Interpréter graphiquement. (2,5 points)
4. Montrer que, pour tout \(x\) de \(D\), \(f(x) – 3 = \dfrac{10}{x^2 – 4}\). En déduire la position relative de \(\mathcal{C}_f\) et de la droite d’équation \(y = 3\). (2 points)
5. Calculer \(f(0)\), puis tracer l’allure de \(\mathcal{C}_f\) et de ses asymptotes. (1 point)

Réviser avant le contrôle : limites de fonctions et asymptotes

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Les limites et les asymptotes » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés limite de fonctions.

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