Bac 2025 étrangers : sujet de maths (jour 1) et corrigé

Sommaire

En outre, Voici le sujet 1 du bac de spécialité mathématiques 2025 des centres étrangers, posé le 12 juin 2025, avec l’énoncé complet et un corrigé détaillé de chaque question sur une page dédiée. Ensuite, le premier exercice s’intéresse aux contrôles déclenchés par les caisses automatiques d’un magasin : arbre pondéré, loi binomiale, nombre minimal de contrôles et inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Par ailleurs, le deuxième est un QCM de géométrie dans l’espace sur des droites, des plans et un angle calculé par produit scalaire. Le troisième étudie une fonction logarithme, localise un point fixe à l’aide d’un script Python puis prouve la convergence d’une suite récurrente. De plus, le dernier modélise la croissance d’une population de bactéries par une équation différentielle logistique.

En outre, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2025 aux centres étrangers (jour 1).

Ensuite, vous préparez le bac de maths 2027 ? Par ailleurs, Notre page dédiée regroupe tous les sujets officiels de spécialité et leurs corrigés.

Bac 2025 étrangers : le sujet en un coup d’œil

Avant tout, précisons que ce bac 2025 étrangers reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2025 aux centres étrangers (jour 1) dans sa version intégrale. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 6, 4, 6 et 4 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et la géométrie dans l’espace. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2025
Mathématiques — Sujet 1
Centres étrangers — 12 juin 2025
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (6 points)

Cet exercice est constitué de trois parties indépendantes

Un magasin est équipé de caisses automatiques en libre-service où le client scanne lui-même ses articles. Le logiciel d’une caisse déclenche régulièrement des demandes de vérification. Un employé du magasin effectue alors un contrôle.

Partie A

Le contrôle peut être

soit « total » : l’employé du magasin scanne alors à nouveau l’ensemble des articles du client ;
soit « partiel » : l’employé choisit alors un ou plusieurs articles du client pour vérifier qu’ils ont bien été scannés.

Si un contrôle est déclenché, il s’agit une fois sur dix d’un contrôle total.
Lorsqu’un contrôle total est déclenché, une erreur du client est détectée dans 30 % des cas.
Lorsqu’un contrôle partiel est effectué, dans 85 % des cas, il n’y a pas d’erreur.

Un contrôle est déclenché à une caisse automatique.
On considère les évènements suivants :

\(T\) : « Le contrôle est un contrôle total » ;
\(E\) : « Une erreur est détectée lors du contrôle ».

On notera \(\overline{T}\) et \(\overline{E}\) les évènements contraires de \(T\) et \(E\).

1. Construire un arbre pondéré représentant la situation puis déterminer \(P(\overline{T} \cap E)\).

2. Calculer la probabilité qu’une erreur soit détectée lors d’un contrôle.

3. Déterminer la probabilité qu’un contrôle total ait été effectué, sachant qu’une erreur a été détectée. On donnera la valeur arrondie au centième.

Partie B

Sur une journée donnée, une caisse automatique déclenche 15 contrôles. La probabilité qu’un contrôle mette en évidence une erreur est \(p = 0{,}165\). La détection d’une erreur lors d’un contrôle est indépendante des autres contrôles.
On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre d’erreurs détectées lors des contrôles de cette journée.

1. On admet que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

2. Déterminer la probabilité qu’exactement 5 erreurs soient détectées. On donnera la valeur arrondie au centième.

3. Déterminer la probabilité qu’au moins une erreur soit détectée. On donnera la valeur arrondie au centième.

4. On souhaite modifier le nombre de contrôles déclenchés par la caisse de manière à ce que la probabilité qu’au moins une erreur soit détectée chaque jour soit supérieure à 99 %.

Déterminer le nombre de contrôles que doit déclencher la caisse chaque jour pour que cette contrainte soit respectée.

Partie C

Le magasin comporte trois caisses automatiques identiques qui, lors d’une journée, ont chacune déclenché 20 contrôles. On note \(X_1\), \(X_2\) et \(X_3\) les variables aléatoires associant à chacune des caisses le nombre d’erreurs détectées lors de cette journée.
On admet que les variables aléatoires \(X_1\), \(X_2\) et \(X_3\) sont indépendantes entre elles et suivent chacune une loi binomiale \(\mathcal{B}(20\ ;\ 0{,}165)\).

1. Déterminer les valeurs exactes de l’espérance et de la variance de la variable aléatoire \(X_1\).

2. On définit la variable aléatoire \(S\) par \(S = X_1 + X_2 + X_3\).

Justifier que \(E(S) = 9{,}9\) et que \(V(S) = 8{,}2665\).

Pour cette question, on utilisera 10 comme valeur de \(E(S)\).

À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité que le nombre total d’erreurs sur la journée soit strictement compris entre 6 et 14 est supérieure à \(0{,}48\).

Exercice 2 — QCM (4 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

Les quatre questions sont indépendantes.
Pour chaque question, une seule réponse correcte. Aucune justification n’est demandée.
Dans tout l’exercice, on considère que l’espace est muni d’un repère orthonormé \((\text{O}\ ;\ \vec{\imath},\ \vec{\jmath},\ \vec{k})\).
On considère :

les points \(\text{A}(-3\ ;\ 1\ ;\ 4)\) et \(\text{B}(1\ ;\ 5\ ;\ 2)\)
le plan \(\mathcal{P}\) d’équation cartésienne \(4x + 4y – 2z + 3 = 0\)
la droite \((d)\) dont une représentation paramétrique est \(\{\begin{array}{l}x = -6 + 3t\\ y = 1\\ z = 9 – 5t\end{array}.\), où \(t \in \mathbb{R}\).

1. Les droites (AB) et \((d)\) sont :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
sécantes non perpendiculaires.	perpendiculaires.	non coplanaires.	parallèles.

2. La droite (AB) est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
incluse dans le plan \(\mathcal{P}\).	strictement parallèle au plan \(\mathcal{P}\).	sécante et non orthogonale au plan \(\mathcal{P}\).	orthogonale au plan \(\mathcal{P}\).

Exercice 2 du bac 2025 étrangers : questions 3 à 4

3. On considère le plan \(\mathcal{P}^{\prime}\) d’équation cartésienne \(2x + y + 6z + 5 = 0\).

Les plans \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{P}^{\prime}\) sont :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
sécants et non perpendiculaires.	perpendiculaires.	confondus.	strictement parallèles.

4. On considère le point \(\text{C}(0\ ;\ 1\ ;\ -1)\). La valeur de l’angle \(\widehat{\text{BAC}}\) arrondie au degré est :

Réponse a	Réponse b	Réponse c	Réponse d
\(90^\circ\)	\(51^\circ\)	\(39^\circ\)	\(0^\circ\)

Exercice 3 (6 points)

Partie A

On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]-1\ ;\ +\infty[\) par

\[f(x) = 4\ln(x + 1) – \dfrac{x^2}{25}\]

On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle \(]-1\ ;\ +\infty[\).

1. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(-1\).

2. Montrer que, pour tout \(x\) appartenant à l’intervalle \(]-1\ ;\ +\infty[\), on a :

\[f^{\prime}(x) = \dfrac{100 – 2x – 2x^2}{25(x+1)}\]

3. Étudier les variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]-1\ ;\ +\infty[\) puis en déduire que la fonction \(f\) est strictement croissante sur l’intervalle \([2\ ;\ 6{,}5]\).

4. On considère \(h\) la fonction définie sur l’intervalle \([2\ ;\ 6{,}5]\) par \(h(x) = f(x) – x\).

On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction \(h\) :

\(x\)	\(2\)		\(m \approx 2{,}364\)		\(6{,}5\)
\(h(x)\)	\(h(2)\)	↗	\(M \approx 2{,}265\)	↘	\(h(6{,}5)\)

Montrer que l’équation \(h(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha \in [2\ ;\ 6{,}5]\).

5. On considère le script suivant, écrit en langage Python :

from math import *

def f(x):
    return 4*log(1+x)-(x**2)/25

def bornes(n):
    p = 1/10**n
    x = 6
    while f(x)-x > 0:
        x = x + p
    return (x-p, x)

On rappelle qu’en langage Python :

la commande log(\(x\)) renvoie la valeur \(\ln x\) ;
la commande c**d renvoie la valeur de \(\text{c}^{\text{d}}\).

a. Donner les valeurs renvoyées par la commande bornes(2).
On donnera les valeurs arrondies au centième.

b. Interpréter ces valeurs dans le contexte de l’exercice.

Partie B

Dans cette partie, on pourra utiliser les résultats obtenus dans la partie A.
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 2\), et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. Montrer par récurrence que pour tout \(n\) entier naturel,

\[2 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \lt 6{,}5.\]

2. En déduire que la suite \((u_n)\) converge vers une limite \(\ell\).

3. On rappelle que le réel \(\alpha\), défini dans la partie A, est la solution de l’équation \(h(x) = 0\) sur l’intervalle \([2\ ;\ 6{,}5]\).

Justifier que \(\ell = \alpha\).

Exercice 4 (4 points)

Partie A

On considère l’équation différentielle

\[(E_1) :\quad y^{\prime} + 0{,}48y = \dfrac{1}{250},\]

où \(y\) est une fonction de la variable \(t\) appartenant à l’intervalle \([0\ ;\ +\infty[\).

1. On considère la fonction constante \(h\) définie sur l’intervalle \([0\ ;\ +\infty[\) par \(h(t) = \dfrac{1}{120}\).

Montrer que la fonction \(h\) est solution de l’équation différentielle \((E_1)\).

2. Donner la forme générale des solutions de l’équation différentielle \(y^{\prime} + 0{,}48y = 0\).

3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle \((E_1)\).

Partie B

On s’intéresse à présent à l’évolution d’une population de bactéries dans un milieu de culture.
À un instant \(t = 0\), on introduit une population initiale de 30 000 bactéries dans le milieu. On note \(p(t)\) la quantité de bactéries, exprimée en millier d’individus, présente dans le milieu après un temps \(t\), exprimé en heure.
En outre, on a donc \(p(0) = 30\).
On admet que la fonction \(p\) définie sur l’intervalle \([0\ ;\ +\infty[\) est dérivable, strictement positive sur cet intervalle et qu’elle est solution de l’équation différentielle \((E_2)\) :

\[p^{\prime} = \dfrac{1}{250}p \times (120 – p)\]

Soit \(y\) la fonction strictement positive sur l’intervalle \([0\ ;\ +\infty[\) telle que, pour tout \(t\) appartenant à l’intervalle \([0\ ;\ +\infty[\), on a \(p(t) = \dfrac{1}{y(t)}\).

1. Montrer que si \(p\) est solution de l’équation différentielle \((E_2)\), alors \(y\) est solution de l’équation différentielle \((E_1)\) : \(y^{\prime} + 0{,}48y = \dfrac{1}{250}\).

2. On admet réciproquement que, si \(y\) est une solution strictement positive de l’équation différentielle \((E_1)\), alors \(p = \dfrac{1}{y}\) est solution de l’équation différentielle \((E_2)\).

Montrer que, pour tout \(t\) appartenant à l’intervalle \([0\ ;\ +\infty[\), on a :

\[p(t) = \dfrac{120}{1 + K\text{e}^{-0{,}48t}}\ \text{avec}\ K\ \text{une constante réelle}.\]

3. En utilisant la condition initiale, déterminer la valeur de \(K\).

4. Déterminer \(\displaystyle\lim_{t \to +\infty} p(t)\). En donner une interprétation dans le contexte de l’exercice.

5. Déterminer le temps nécessaire pour que la population de bactéries dépasse 60 000 individus.

On donnera le résultat sous la forme d’une valeur arrondie exprimée en heures et minutes.

Bac 2025 étrangers : conseils de révision

Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur les probabilités conditionnelles ou la loi binomiale. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à probabilités conditionnelles propose un rappel complet.

Points de vigilance

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Pour l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, vérifiez d’abord que l’intervalle est bien centré sur l’espérance, sinon la majoration ne s’applique pas telle quelle.

Questions fréquentes sur ce bac 2025 étrangers

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, mais aussi la géométrie dans l’espace.

Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2025 aux centres étrangers (jour 1)

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