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Barycentre : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.


 Le barycentre de n points pondérés avec des exercices de maths en terminale corrigés. Ces documents peuvent être téléchargés au format PDF puis vous pourrez les imprimer librement à domicile. L’élève devra connaître la relation de Charles et celle du barycentre.

Exercice 1

Soit ABC un triangle, D la barycentre de (A,1)(B,2)(C,3), E le barycentre de (A,2)(B,3)(C,1) et F le barycentre de (A,3)(B,1)(C,2).
Montrer que le centre de gravité du triangle ABC est aussi le centre de gravité du triangle DEF.

Exercice 2

A et B sont deux points distincts.
On considère C le barycentre de (A,2)(B,3) et D le barycentre de (A,3)(B,2).
a) Déterminer la nature de l’ensemble des points M tels que  \| 2\vec{MA}+3\vec{MB}  \|=10.

b) Déterminer la nature de l’ensemble des points M tels que :

 \| 2\vec{MA}+3\vec{MB}  \|= \| 3\vec{MA}+2\vec{MB}  \|

Exercice 3

Soit ABC un triangle .
a) Déterminer la nature de l’ensemble des points M tels que \vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC}  soit colinéaire à  \vec{BC}.

b) Déterminer la nature de l’ensemble des points M tels que

 \| \vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC}  \|= \| \vec{MA}+\vec{MB}-2\vec{MC}  \|

Exercice 4

A, B, C et D sont quatre points distincts.
On note K le barycentre de (A,3)(B,1), J le milieu de [DC], G le centre de gravité de BCD et I le milieu de [AG].
Montrer que les points I, J et K sont alignés.

Exercice 5

Soit ABCD un parallélogramme de centre O, G le barycentre de (A,2)(B,1) et H le barycentre de (C,2)(D,1).
a) Montrer que les droites (AC), (BD) et (GH) sont concourantes.
b) Soit E le barycentre de (G,3)(D,1). Montrer que E est le milieu de [AO].

Exercice 6

1. Construire le barycentre des points {(A,1);(B,2)} sachant que AB = 6 cm .
2. Construire le barycentre des points {(A,3);(B,-3)} sachant que AB = 8 cm .

3. Construire le barycentre des points {(A,1);(B,-2)} sachant que AB = 4 cm .

4. Construire le barycentre des points {(M,-3);(N,-2)} sachant que MN = 10 cm .

Exercice 7

1. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que  \|5\vec{MA}+6\vec{MB}\|=22 .

2. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que  \|-5\vec{MA}+8\vec{MB}\|=12 .

3. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que  \|5\vec{MA}-6\vec{MB}\|=\|7\vec{MA}-6\vec{MB}\| .

4. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que  \|2\vec{MA}+7\vec{MB}\|=\|20\vec{MA}-11\vec{MB}\| .

Exercice 8

Soit R un repère orthonormé du plan .

1. Construire le barycentre G des points {(A,2);(B,3)} sachant que les coordonnees, dans R, de ces points sont A(3;4) et B(-1;2) .

2. On note  C_1 l’ensemble des points M du plan tels que  \|4\vec{MA}+5\vec{MB}\|=45 ..

Déterminer l’équation de l’ensemble  C_1 .

2. On note  C_2 l’ensemble des points M du plan tels que  \|3\vec{MA}+2\vec{MB}\|=\|7\vec{MA}-2\vec{MB}\| ..

Déterminer l’équation de l’ensemble  C_2 .

Exercice 9 – Ensemble de points

0. Dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) du plan,
placer les points A(– 2 ; 0), B(4 ; 0), C(2 ; 4) et D(0 ; 4).

1. Démontrer que ABCD est un trapèze isocèle.

2. Déterminer les réels \alpha et \beta tels que O soit le barycentre de (A ; \alpha) (B ; 1) (C ; 1) (D ; \beta) .

3. Soit I le milieu de [BC] et G le point tel que \vec{AG}=-\frac{1}{2}\vec{AD} .

a. Déterminer des réels a et b tels que G soit le barycentre de (A ; a) (D ; b).

b. Démontrer que G, O et I sont alignés. Préciser la position de O sur [GI].

4.
a. Déterminer et construire l’ensemble E_1 des points M du plan tels que

||\vec{MB}+\vec{MC}||=||3\vec{MA}-\vec{MD}|| .

b. Justifier que O appartient à E_1 .

5.
a. Déterminer et construire l’ensemble E_2 Des points M du plan tels que :

|| 3\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}-\vec{MD} ||=16

b. Justifier que B et D appartiennent à E_2.

Exercice 10 – Carré et parallélogramme
ABC est un triangle de sens direct.

DBA est un triangle isocèle et rectangle en D de sens direct.

ACE est un triangle isocèle et rectangle en E de sens direct.

On construit le point L tel que \vec{CL}=\vec{DB}.

1. Faire une figure.

2. Démontrer que EDL est un triangle rectangle isocèle en E de sens direct. .

Exercice 11 – Extrait du baccalauréat S  sur le barycentre

On considère un triangle ABC du plan .

1.a. Déterminer et construire le point G, barycentre du système de points pondérés :

 \{(A;1)\,;\,(B;-1)\,;\,(C;1)\} .

b. Déterminer et construire le point G’, barycentre du système de points pondérés :

 \{(A;1)\,;\,(B;5)\,;\,(C;-2)\} .

2.a. Soit J le milieu de [AB].

Exprimer \vec{GG'} et \vec{JG'} en fonction de \vec{AB} et \vec{AC} et en déduire l’intersection des droites (GG’) et (AB) .

b. Montrer que le barycentre I du système de points pondérés :

 \{(B;2)\,;\,(C;-1)} appartient à (GG’) .

3. Soit D un point quelconque du plan et O le milieu de [CD] et K le milieu de [OA] .

a. Déterminer trois réels a, b, c tels que K soit le barycentre du système de points pondérés :

 \{(A;a)\,;\,(B;b)\,;\,(C;c)\} .

b. Soit X le point d’intersection de (DK) et (AC).

Déterminer les réels a’ et c’ tels que X soit barycentre du système de points pondérés :

 \{(A;a')\,;\,(C;c')\} .

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