Cette fiche rassemble onze exercices pour travailler le barycentre en terminale, de la simple construction sur un segment jusqu’à un extrait de sujet du baccalauréat S. On y place des points pondérés, on retrouve le centre de gravité d’un triangle (exercice 1) et on utilise la propriété d’associativité pour prouver des alignements (exercices 4 et 11) ou des droites concourantes (exercice 5).
Plusieurs énoncés demandent de déterminer des ensembles de points définis par une égalité de normes : on y reconnaît un cercle ou une médiatrice après réduction de la somme vectorielle (exercices 2, 3, 7, 8 et 9). L’exercice 9 se traite dans un repère orthonormé avec un trapèze isocèle, et l’exercice 10 fait intervenir deux triangles rectangles isocèles, à étudier avec les nombres complexes ou les rotations.
Il faut connaître la définition vectorielle du point pondéré, la relation de Chasles et la réduction \(a\vec{MA}+b\vec{MB}=(a+b)\vec{MG}\). Cherchez chaque question sur une feuille, faites une figure soignée, puis comparez votre démarche avec le corrigé détaillé des exercices sur le barycentre. Le document peut aussi être téléchargé en PDF pour être imprimé.
Exercice 1 (barycentre en terminale)
Soit ABC un triangle, D le barycentre de (A,1)(B,2)(C,3), E le barycentre de (A,2)(B,3)(C,1) et F le barycentre de (A,3)(B,1)(C,2).
Montrer que le centre de gravité du triangle ABC est aussi le centre de gravité du triangle DEF.
Exercice 2
A et B sont deux points distincts.
On considère C le barycentre de (A,2)(B,3) et D le barycentre de (A,3)(B,2).
a) Déterminer la nature de l’ensemble des points M tels que \(\| 2\vec{MA}+3\vec{MB} \|=10\).
b) Déterminer la nature de l’ensemble des points M tels que :
\(\| 2\vec{MA}+3\vec{MB} \|= \| 3\vec{MA}+2\vec{MB} \|\)
Exercice 3 (barycentre en terminale)
Soit ABC un triangle.
a) Déterminer la nature de l’ensemble des points M tels que \(\vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC}\) soit colinéaire à \(\vec{BC}.\)
b) Déterminer la nature de l’ensemble des points M tels que
\(\| \vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC} \|= \| \vec{MA}+\vec{MB}-2\vec{MC} \|\)
Exercice 4
A, B, C et D sont quatre points distincts.
On note K le barycentre de (A,3)(B,1), J le milieu de [DC], G le centre de gravité de BCD et I le milieu de [AG].
Montrer que les points I, J et K sont alignés.
Exercice 5 (barycentre en terminale)
Soit ABCD un parallélogramme de centre O, G le barycentre de (A,2)(B,1) et H le barycentre de (C,2)(D,1).
a) Montrer que les droites (AC), (BD) et (GH) sont concourantes.
b) Soit E le barycentre de (G,3)(D,1). Montrer que E est le milieu de [AO].
Exercice 6
1. Construire le barycentre des points {(A,1);(B,2)} sachant que AB = 6 cm.
2. Construire le barycentre des points {(A,3);(B,-3)} sachant que AB = 8 cm.
3. Construire le barycentre des points {(A,1);(B,-2)} sachant que AB = 4 cm.
4. Construire le barycentre des points {(M,-3);(N,-2)} sachant que MN = 10 cm.
Exercice 7 (barycentre en terminale)
1. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que \(\|5\vec{MA}+6\vec{MB}\|=22 .\)
2. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que \(\|-5\vec{MA}+8\vec{MB}\|=12 .\)
3. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que \(\|5\vec{MA}-6\vec{MB}\|=\|7\vec{MA}-6\vec{MB}\| .\)
4. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que \(\|2\vec{MA}+7\vec{MB}\|=\|20\vec{MA}-11\vec{MB}\| .\)
Exercice 8
Soit R un repère orthonormé du plan.
1. Construire le barycentre G des points {(A,2);(B,3)} sachant que les coordonnées, dans R, de ces points sont A(3;4) et B(-1;2).
2. On note \(C_1\) l’ensemble des points M du plan tels que \(\|4\vec{MA}+5\vec{MB}\|=45\).
Déterminer l’équation de l’ensemble \(C_1\).
3. On note \(C_2\) l’ensemble des points M du plan tels que \(\|3\vec{MA}+2\vec{MB}\|=\|7\vec{MA}-2\vec{MB}\|\).
Déterminer l’équation de l’ensemble \(C_2\).
Exercice 9 – Ensemble de points (barycentre en terminale)
0. Dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\) du plan,
placer les points A(– 2 ; 0), B(4 ; 0), C(2 ; 4) et D(0 ; 4).
1. Démontrer que ABCD est un trapèze isocèle.
2. Déterminer les réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que O soit le barycentre de (A ; \(\alpha\)) (B ; 1) (C ; 1) (D ; \(\beta\)).
3. Soit I le milieu de [BC] et G le point tel que \(\vec{AG}=-\frac{1}{2}\vec{AD}\).
a. Déterminer des réels a et b tels que G soit le barycentre de (A ; a) (D ; b).
b. Démontrer que G, O et I sont alignés. Préciser la position de O sur [GI].
4.
a. Déterminer et construire l’ensemble \(E_1\) des points M du plan tels que
\(\|\vec{MB}+\vec{MC}\|=\|3\vec{MA}-\vec{MD}\|\).
b. Justifier que O appartient à \(E_1\).
5.
a. Déterminer et construire l’ensemble \(E_2\) des points M du plan tels que :
\(\| 3\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}-\vec{MD} \|=16\)
b. Justifier que B et D appartiennent à \(E_2\).
Exercice 10 – Carré et parallélogramme
ABC est un triangle de sens direct.
DBA est un triangle isocèle et rectangle en D de sens direct.
ACE est un triangle isocèle et rectangle en E de sens direct.
On construit le point L tel que \(\vec{CL}=\vec{DB}\).
1. Faire une figure.
2. Démontrer que EDL est un triangle rectangle isocèle en E de sens direct.
Exercice 11 – Extrait du baccalauréat S sur le barycentre
On considère un triangle ABC du plan.
1.a. Déterminer et construire le point G, barycentre du système de points pondérés :
\(\{(A;1)\,;\,(B;-1)\,;\,(C;1)\}\).
b. Déterminer et construire le point G’, barycentre du système de points pondérés :
\(\{(A;1)\,;\,(B;5)\,;\,(C;-2)\}\).
2.a. Soit J le milieu de [AB].
Exprimer \(\vec{GG^{\prime}}\) et \(\vec{JG^{\prime}}\) en fonction de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) et en déduire l’intersection des droites (GG’) et (AB).
b. Montrer que le barycentre I du système de points pondérés :
\(\{(B;2)\,;\,(C;-1)\}\) appartient à (GG’).
3. Soit D un point quelconque du plan et O le milieu de [CD] et K le milieu de [OA].
a. Déterminer trois réels a, c, d tels que K soit le barycentre du système de points pondérés :
\(\{(A;a)\,;\,(C;c)\,;\,(D;d)\}\).
b. Soit X le point d’intersection de (DK) et (AC).
Déterminer les réels a’ et c’ tels que X soit barycentre du système de points pondérés :
\(\{(A;a^{\prime})\,;\,(C;c^{\prime})\}\).
Exercice 12 – Coordonnées d’un barycentre (barycentre en terminale)
Dans un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j})\), on considère les points \(A(-3\,;\,2)\), \(B(5\,;\,-2)\), \(C(1\,;\,-6)\) et \(D(0\,;\,4)\).
1. Calculer les coordonnées du point G, barycentre de \((A,2)(B,1)(C,1)\).
2. Calculer les coordonnées des points H et K, barycentres respectifs de \((A,1)(B,2)(C,1)\) et de \((A,1)(B,1)(C,2)\).
3. Montrer que le centre de gravité du triangle GHK est aussi celui du triangle ABC.
4. À l’aide de l’associativité, montrer que l’origine O est le barycentre de \((A,2)(B,1)(C,1)(D,1)\).
Exercice 13 – Vrai ou faux ? (barycentre en terminale)
Léo a-t-il raison ? Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
a) Le système \(\{(A,2)\,;\,(B,-2)\}\) admet un barycentre.
b) Si \(a>0\) et \(b>0\), le barycentre de \((A,a)(B,b)\) appartient au segment [AB].
c) Le barycentre de \((A,3)(B,-1)\) appartient au segment [AB].
d) Les systèmes \(\{(A,2)\,;\,(B,6)\}\) et \(\{(A,1)\,;\,(B,3)\}\) ont le même barycentre.
e) Le barycentre de trois points non alignés A, B et C est toujours situé à l’intérieur du triangle ABC.
Exercice 14 – Centre de gravité d’une plaque
Une plaque homogène a la forme d’un L (figure ci-dessous, unité : le décimètre). On la décompose en deux rectangles : \(R_1=[0\,;\,6]\times [0\,;\,2]\) et \(R_2=[0\,;\,2]\times [2\,;\,6]\). On admet que le centre de gravité d’une plaque rectangulaire homogène est son centre, et que le centre de gravité de la plaque entière est le barycentre des centres de gravité des deux morceaux, affectés de leurs aires.
1. Calculer les aires de \(R_1\) et \(R_2\), puis les coordonnées de leurs centres \(I_1\) et \(I_2\).
2. Déterminer les coordonnées du centre de gravité G de la plaque.
3. Le point G appartient-il à la plaque ? Qu’en penser ?
4. Retrouver G en décomposant la plaque en trois morceaux : le carré \([0\,;\,2]^2\), le rectangle \([2\,;\,6]\times [0\,;\,2]\) et le rectangle \([0\,;\,2]\times [2\,;\,6]\).
Exercice 15 – Une ligne de niveau (barycentre en terminale)
Soit A et B deux points tels que \(AB=6\). Soit G le barycentre de \((A,1)(B,2)\).
1. Placer G sur la figure ci-dessous et calculer \(AG\) et \(BG\).
2. Montrer que, pour tout point M du plan, \(MA^2+2MB^2=3MG^2+GA^2+2GB^2\), puis que \(MA^2+2MB^2=3MG^2+24\).
3. Pour chaque valeur de k ci-dessous, déterminer l’ensemble \(E_k\) des points M tels que \(MA^2+2MB^2=k\) : a) \(k=36\) ; b) \(k=24\) ; c) \(k=18\).
4. Sur la figure, le point B appartient-il à \(E_{36}\) ? Déterminer le deuxième point de \(E_{36}\) situé sur la droite (AB).
Exercice 16 – Droites concourantes (barycentre en terminale)
Soit ABC un triangle. On note D le barycentre de \((B,2)(C,1)\) et E le barycentre de \((A,1)(C,2)\). Les droites (AD) et (BE) se coupent en G.
![Triangle ABC avec D sur [BC], E sur [AC], F sur [AB] et les droites (AD), (BE) et (CF) qui se coupent en G](https://mathovore.fr/wp-content/uploads/exo-figures/f35f7677d46a4.svg)
1. Montrer que G est le barycentre de \((A,1)(B,4)(C,2)\).
2. Déterminer les réels \(k\) et \(k^{\prime}\) tels que \(\vec{AG}=k\vec{AD}\) et \(\vec{BG}=k^{\prime}\vec{BE}\).
3. Soit F le barycentre de \((A,1)(B,4)\). Montrer que les points C, G et F sont alignés. Exprimer \(\vec{AF}\) en fonction de \(\vec{AB}\).
Exercice 17 – Lieu d’un barycentre variable (barycentre en terminale)
Soit ABC un triangle, I le milieu de [BC] et J le milieu de [AB]. Pour tout réel m, on note \(G_m\) le barycentre de \((A,m)(B,1)(C,1-m)\).
![Triangle ABC et droite passant par le milieu I de [BC] parallèle à (AC), avec les points G pour m = -1, 0, 1 et 2](https://mathovore.fr/wp-content/uploads/exo-figures/fc35bf5949690.svg)
1. Justifier que \(G_m\) existe pour tout réel m.
2. Montrer que \(\vec{IG_m}=\dfrac{m}{2}\vec{CA}\).
3. En déduire l’ensemble des points \(G_m\) lorsque m décrit \(\mathbb{R}\).
4. Identifier \(G_0\) et \(G_1\). Pour quelles valeurs de m le point \(G_m\) appartient-il au segment [IJ] ?
Exercice 18 – Les trois bimédianes (barycentre en terminale)
Soit ABCD un quadrilatère quelconque. On note I, J, K et L les milieux respectifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA], M et N les milieux des diagonales [AC] et [BD], et G l’isobarycentre de A, B, C, D.
![Quadrilatère quelconque ABCD, milieux I, J, K, L des côtés, milieux M et N des diagonales et point G, milieu commun de [IK], [JL] et [MN]](https://mathovore.fr/wp-content/uploads/exo-figures/f12dbdb418683.svg)
1. Montrer que G est le milieu de [IK] et de [JL].
2. Montrer que G est le milieu de [MN].
3. En déduire que les segments [IK], [JL] et [MN] ont le même milieu et que IJKL est un parallélogramme.
4. Montrer que si M et N sont confondus, alors ABCD est un parallélogramme.
Exercice 19 – Barycentre dans l’espace (barycentre en terminale)
Soit ABCD un tétraèdre, G son isobarycentre (barycentre de \((A,1)(B,1)(C,1)(D,1)\)) et A’ le centre de gravité du triangle BCD.
![Tétraèdre ABCD avec le centre de gravité A' de la face BCD et le point G sur le segment [AA']](https://mathovore.fr/wp-content/uploads/exo-figures/f27fc7570628d.svg)
1. Montrer que G est le barycentre de \((A,1)(A’,3)\). En déduire la position de G sur le segment [AA’].
2. Que peut-on dire des droites (AA’), (BB’), (CC’) et (DD’), où B’, C’ et D’ sont les centres de gravité des faces opposées à B, C et D ?
3. Dans un repère de l’espace, on donne \(A(1\,;\,2\,;\,3)\), \(B(-1\,;\,0\,;\,5)\), \(C(3\,;\,4\,;\,-1)\) et \(D(5\,;\,2\,;\,1)\). Calculer les coordonnées de G et de A’, puis vérifier le résultat de la question 1.
Exercice 20 – Un cercle dans un repère (barycentre en terminale)
Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1\,;\,2)\), \(B(-2\,;\,-1)\) et \(C(3\,;\,2)\). On note E l’ensemble des points M tels que
\[\|\vec{MA}+2\vec{MB}+3\vec{MC}\|=\|5\vec{MA}-2\vec{MB}-3\vec{MC}\|.\]
1. Déterminer les coordonnées du point G, barycentre de \((A,1)(B,2)(C,3)\).
2. Montrer que le vecteur \(5\vec{MA}-2\vec{MB}-3\vec{MC}\) ne dépend pas de M et calculer ses coordonnées.
3. En déduire la nature de E et son équation cartésienne.
4. Montrer que E est tangent aux deux axes du repère et que A appartient à E.
Barycentre en terminale : nos conseils pour progresser
Tout d’abord, fais l’exercice sans regarder la solution. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. Par ailleurs, barycentre en terminale en terminale demande surtout de la régularité.
Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, le programme officiel de mathématiques est détaillé sur le site Éduscol. Également, tu peux continuer avec probabilités : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.
