Barycentre : exercices Maths terminale corrigés en PDF.

Mise à jour le 23 octobre 2020

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Des exercices de maths en terminale S sur le barycentre de n points pondérés, ces documents peuvent être téléchargés au format PDF puis vous pourrez les imprimer librement à domicile.Vous pouvez également essayer de résoudre les exercices corrigés en terminale S en PDF .

Exercice 1 – Barycentre et problèmes

Des problèmes de mathématiques sur le barycentre de points pondérés.On retrouvera les notions concernant le centre de gravité d’un triangle, la nature d’un ensemble de points, les droites concourantes.
Exercice 2

Soit ABC un triangle, D la barycentre de (A,1)(B,2)(C,3), E le barycentre de (A,2)(B,3)(C,1) et F le barycentre de (A,3)(B,1)(C,2).
Montrer que le centre de gravité du triangle ABC est aussi le centre de gravité du triangle DEF.

Exercice 3

A et B sont deux points distincts.
On considére C le barycentre de (A,2)(B,3) et D le barycentre de (A,3)(B,2).
a) Déterminer la nature de l’ensemble des points M tels que $\| 2\vec{MA}+3\vec{MB} \|=10$ .

b) Déterminer la nature de l’ensemble des points M tels que :

$\| 2\vec{MA}+3\vec{MB} \|= \| 3\vec{MA}+2\vec{MB} \|$

Exercice 4

Soit ABC un triangle .
a) Déterminer la nature de l’ensemble des points M tels que $\vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC}$ soit colinéaire à $\vec{BC}.$

b) Déterminer la nature de l’ensemble des points M tels que

$\| \vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC} \|= \| \vec{MA}+\vec{MB}-2\vec{MC} \|$

Exercice 5

A, B, C et D sont quatres points distincts.
On note K le barycentre de (A,3)(B,1), J le milieu de [DC], G le centre de gravité de BCD et I le milieu de [AG].
Montrer que les points I, J et K sont alignés.

Exercice 6

Soit ABCD un parallélogramme de centre O, G le barycentre de (A,2)(B,1) et H le barycentre de (C,2)(D,1).
a) Montrer que les droites (AC), (BD) et (GH) sont concourantes.
b) Soit E le barycentre de (G,3)(D,1). Montrer que E est le milieu de [AO].

Exercice 7

1. Construire le barycentre des points {(A,1);(B,2)} sachant que AB = 6 cm .
2. Construire le barycentre des points {(A,3);(B,-3)} sachant que AB = 8 cm .

3. Construire le barycentre des points {(A,1);(B,-2)} sachant que AB = 4 cm .

4. Construire le barycentre des points {(M,-3);(N,-2)} sachant que MN = 10 cm .
Exercice 8

1. Decrire l’ensemble des points M du plan tels que $\|5\vec{MA}+6\vec{MB}\|=22 .$

2. Decrire l’ensemble des points M du plan tels que $\|-5\vec{MA}+8\vec{MB}\|=12 .$

3. Decrire l’ensemble des points M du plan tels que $\|5\vec{MA}-6\vec{MB}\|=\|7\vec{MA}-6\vec{MB}\| .$

4. Decrire l’ensemble des points M du plan tels que $\|2\vec{MA}+7\vec{MB}\|=\|20\vec{MA}-11\vec{MB}\| .$
Exercice 9

Soit R un repere orthonorme du plan .

1. Construire le barycentre G des points {(A,2);(B,3)} sachant que les coordonnees, dans R, de ces points sont A(3;4) et B(-1;2) .

2. On note C_1 l’ensemble des points M du plan tels que $\|4\vec{MA}+5\vec{MB}\|=45 .$ .

Determiner l’equation de l’ensemble C_1 .

2. On note C_2 l’ensemble des points M du plan tels que $\|3\vec{MA}+2\vec{MB}\|=\|7\vec{MA}-2\vec{MB}\| .$ .

Determiner l’equation de l’ensemble C_2 .

Exercice 10 – Ensemble de points

0. Dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ du plan,
placer les points A(– 2 ; 0), B(4 ; 0), C(2 ; 4) et D(0 ; 4).

1. Démontrer que ABCD est un trapèze isocèle.

2. Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que O soit le barycentre de (A ; $\alpha$ ) (B ; 1) (C ; 1) (D ; $\beta$ ) .

3. Soit I le milieu de [BC] et G le point tel que $\vec{AG}=-\frac{1}{2}\vec{AD}$ .

a. Déterminer des réels a et b tels que G soit le barycentre de (A ; a) (D ; b).

b. Démontrer que G, O et I sont alignés. Préciser la position de O sur [GI].

4.
a. Déterminer et construire l’ensemble E_1 des points M du plan tels que

$\,\|\,\vec{MB}+\vec{MC}\,\,\|=\,\|\,3\vec{MA}-\vec{MD}\,\,\|$ .

b. Justifier que O appartient à E_1 .

5.
a. Déterminer et construire l’ensemble E_2 Des points M du plan tels que :

$\,\|\,3\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}-\vec{MD}\,\,\|=16$

b. Justifier que B et D appartiennent à E_2 .

Exercice 11 – Carré et parallélogramme
ABC est un triangle de sens direct.

DBA est un triangle isocèle et rectangle en D de sens direct.

ACE est un triangle isocèle et rectangle en E de sens direct.

On construit le point L tel que $\vec{CL}=\vec{DB}$ .

1. Faire une figure.

2. Démontrer que EDL est un triangle rectangle isocèle en E de sens direct. .

Exercice 12 – Extrait du baccalauréat S sur le barycentre

On considere un triangle ABC du plan .
1.a. Déterminer et construire le point G, barycentre du système de points pondérés :

$\{(A;1)\,;\,(B;-1)\,;\,(C;1)\}$ .

b. Déterminer et construire le point G’, barycentre du système de points pondérés :

$\{(A;1)\,;\,(B;5)\,;\,(C;-2)\}$ .

2.a. Soit J le milieu de [AB].

Exprimer $\vec{GG'}$ et $\vec{JG'}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ et en déduire l’intersection des droites (GG’) et (AB) .

b. Montrer que le barycentre I du système de points pondérés :

$\{(B;2)\,;\,(C;-1)}$ appartient à (GG’) .

3. Soit D un point quelconque du plan et O le milieu de [CD] et K le milieu de [OA] .

a. Déterminer trois réels a, b, c tels que K soit le barycentre du système de points pondérés :

$\{(A;a)\,;\,(B;b)\,;\,(C;c)\}$ .

b. Soit X le point d’intersection de (DK) et (AC).

Déterminer les réels a’ et c’ tels que X soit barycentre du système de points pondérés :

$\{(A;a')\,;\,(C;c')\}$ .

Corrigé de ces exercices sur le barycentre

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