Bac 2025 Polynésie : sujet de maths (jour 1) et corrigé

Sommaire

En outre, Voici le sujet 1 du bac de spécialité mathématiques 2025 en Polynésie, posé le 17 juin 2025, avec l’énoncé intégral suivi d’un corrigé détaillé de chaque question. Le premier exercice s’appuie sur une étude américaine des allergies alimentaires chez l’enfant : arbre pondéré entre zones rurales et urbaines, loi binomiale sur un échantillon de 100 enfants, puis inégalité de concentration sur l’âge moyen des premiers symptômes. Ensuite, le deuxième suit deux avions en approche d’un aéroport : point d’impact au sol, droites non sécantes, plan perpendiculaire et distance de sécurité en milles nautiques. Par ailleurs, le troisième étudie les fonctions \(x \mapsto x^n\text{e}^{-x}\) et la suite d’intégrales associée, avec une intégration par parties et un raisonnement par l’absurde. De plus, le dernier est un vrai-faux varié : équation différentielle, dénombrement, suite, produit scalaire et convexité.

En outre, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2025 en Polynésie (jour 1).

Ensuite, tous les sujets pour préparer l’épreuve de spécialité du bac 2027 de mathématiques sont regroupés, avec leurs corrigés, sur notre page de révision.

Bac 2025 Polynésie : présentation de l’épreuve

Avant tout, précisons que ce bac 2025 Polynésie reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2025 en Polynésie (jour 1) dans sa version intégrale. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. Par ailleurs, les notions les plus sollicitées sont les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, la fonction exponentielle et le calcul intégral. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. De cette façon, vous travaillez exactement le format de l’examen, sans surprise le jour J.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2025
Mathématiques — Sujet 1
Polynésie — 17 juin 2025
Durée de l’épreuve : 4 heures

Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée

Exercice 1 (5 points)

Une équipe américaine a cartographié pour la première fois les allergies alimentaires chez l’enfant aux États-Unis en 2020. L’étude, publiée dans la revue Clinical Pediatrics, révèle une différence nette entre les zones rurales et les zones urbaines.

On sait qu’en 2020, 17 % de la population des États-Unis habite en zone rurale et 83 % en zone urbaine.

L’étude menée montre que parmi les enfants des États-Unis vivant en zone rurale, il y en a 6,2 % qui sont atteints d’allergie alimentaire.

L’étude révèle aussi que 9 % des enfants des États-Unis sont atteints d’allergie alimentaire.

Pour un évènement \(E\) quelconque, on note \(P(E)\) sa probabilité et \(\overline{E}\) son évènement contraire.

Sauf mention contraire, les probabilités seront données sous forme exacte.

Partie A

On interroge au hasard un enfant dans la population des États-Unis et on note :

\(R\) l’évènement : « l’enfant interrogé habite en zone rurale » ;
\(A\) l’évènement : « l’enfant interrogé est atteint d’allergie alimentaire ».

1. Traduire cette situation à l’aide d’un arbre de probabilité. Cet arbre pourra être complété par la suite.

2. a. Calculer la probabilité que l’enfant interrogé habite en zone rurale et soit atteint d’allergie alimentaire.

b. En déduire la probabilité que l’enfant interrogé habite en zone urbaine et soit atteint d’allergie alimentaire.

c. L’enfant interrogé habite en zone urbaine. Quelle est la probabilité qu’il soit atteint d’allergie alimentaire ? Arrondir le résultat à \(10^{-4}\).

Partie B

On réalise une étude en interrogeant au hasard 100 enfants des États-Unis.

En outre, on admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre d’enfants atteints d’allergie alimentaire dans l’échantillon considéré.

1. Justifier que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Quelle est la probabilité qu’au moins 10 enfants parmi les 100 interrogés soient atteints d’allergie alimentaire ? Arrondir le résultat à \(10^{-4}\).

Partie C

On s’intéresse à un échantillon de 20 enfants atteints d’allergie alimentaire choisis au hasard.

L’âge d’apparition des premiers symptômes allergiques de ces 20 enfants est modélisé par les variables aléatoires \(A_1, A_2, \ldots, A_{20}\). On admet que ces variables aléatoires sont indépendantes et suivent la même loi d’espérance 4 et de variance \(2{,}25\).

On considère la variable aléatoire :

\[M_{20} = \dfrac{A_1 + A_2 + \ldots + A_{20}}{20}.\]

1. Que représente la variable aléatoire \(M_{20}\) dans le contexte de l’exercice ?

2. Déterminer l’espérance et la variance de \(M_{20}\).

3. Justifier, à l’aide de l’inégalité de concentration, que

\[P(2 \lt M_{20} \lt 6) \gt 0{,}97.\]

Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Exercice 2 (5 points)

Deux avions sont en approche d’un aéroport.

On munit l’espace d’un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\) dont l’origine O est le pied de la tour de contrôle, et le sol est le plan \(P_0\) d’équation \(z = 0\).

L’unité des axes correspond à 1 km.

On modélise les avions par des points.

L’avion Alpha transmet à la tour sa position en \(\text{A}(-7\,;\,1\,;\,7)\) et sa trajectoire est dirigée par le vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}\).

L’avion Bêta transmet une trajectoire définie par la droite \(d_{\text{B}}\) passant par le point B dont une représentation paramétrique est :

\[\begin{cases} x = -11 + 5t \\ y = -5 + t \\ z = 11 – 4t \end{cases} \quad \text{où } t \text{ décrit } \mathbb{R}\]

1. S’il ne dévie pas de sa trajectoire, déterminer les coordonnées du point S en lequel l’avion Bêta touchera le sol.

2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(d_{\text{A}}\) caractérisant la trajectoire de l’avion Alpha.

b. Les deux avions peuvent-ils entrer en collision ?

3. a. Démontrer que l’avion Alpha passe par la position \(\text{E}(-3\,;\,-1\,;\,1)\).

b. Justifier qu’une équation cartésienne du plan \(P_{\text{E}}\) passant par E et perpendiculaire à la droite \(d_{\text{A}}\) est :

\[2x – y – 3z + 8 = 0.\]

c. Vérifier que le point \(\text{F}(-1\,;\,-3\,;\,3)\) est le point d’intersection du plan \(P_{\text{E}}\) et de la droite \(d_{\text{B}}\).

d. Calculer la valeur exacte de la distance EF, puis vérifier que cela correspond à une distance de 3 464 m, à 1 m près.

4. La réglementation aérienne stipule que deux avions en approche doivent être à tout instant à au moins 3 milles nautiques l’un de l’autre (1 mille nautique vaut 1 852 m).

Si les avions Alpha et Bêta sont respectivement en E et F au même instant, leur distance de sécurité est-elle respectée ?

Exercice 3 (5 points)

On munit le plan d’un repère orthonormé.

Pour tout entier naturel \(n\), on considère la fonction \(f_n\) définie sur \([0\,;\,+\infty[\) par :

\[f_0(x) = \text{e}^{-x} \quad \text{et, pour } n \geq\, 1, \quad f_n(x) = x^n\text{e}^{-x}.\]

Pour tout entier naturel \(n\), on note \(\mathcal{C}_n\) la courbe représentative de la fonction \(f_n\).

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A : Étude des fonctions \(f_n\) pour \(n \geq\, 1\)

On considère un entier naturel \(n \geq\, 1\).

1. a. On admet que la fonction \(f_n\) est dérivable sur \([0\,;\,+\infty[\).

Montrer que pour tout \(x \geq\, 0\),

\[f^{\prime}_n(x) = (n – x)x^{n-1}\text{e}^{-x}.\]

b. Justifier tous les éléments du tableau ci-dessous :

2. Justifier par le calcul que le point \(\text{A}(1\,;\,\text{e}^{-1})\) appartient à la courbe \(\mathcal{C}_n\).

Partie B : Étude des intégrales \(\displaystyle\int_0^1 f_n(x)\,\text{d}x\) pour \(n \geq\, 0\)

Dans cette partie, on étudie les fonctions \(f_n\) sur \([0\,;\,1]\) et on considère la suite \((I_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[I_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\,\text{d}x = \displaystyle\int_0^1 x^n\text{e}^{-x}\,\text{d}x.\]

1. Sur le graphique en ANNEXE, on a représenté les courbes \(\mathcal{C}_0\), \(\mathcal{C}_1\), \(\mathcal{C}_2\), \(\mathcal{C}_{10}\) et \(\mathcal{C}_{100}\).

a. Donner une interprétation graphique de \(I_n\).

b. Par lecture de ce graphique, quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite \((I_n)\) ?

2. Calculer \(I_0\).

3. a. Soit \(n\) un entier naturel.

Démontrer que pour tout \(x \in [0\,;\,1]\),

\[0 \leq\, x^{n+1} \leq\, x^n.\]

b. En déduire que pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[0 \leq\, I_{n+1} \leq\, I_n.\]

4. Démontrer que la suite \((I_n)\) est convergente, vers une limite positive ou nulle que l’on notera \(\ell\).

5. En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel \(n\) on a :

\[I_{n+1} = (n + 1)I_n – \dfrac{1}{\text{e}}.\]

6. a. Démontrer que si \(\ell \gt 0\), l’égalité de la question 5 conduit à une contradiction.

b. Démontrer que \(\ell = 0\). On pourra utiliser la question 6. a.

Ensuite, on donne ci-dessous le script de la fonction mystere, écrite en langage Python.

On a importé la constante e.

def mystere(n):
    I = 1 - 1/e
    L = [I]
    for i in range(n):
        I = (i + 1)*I - 1/e
        L.append(I)
    return L

7. Que renvoie mystere(100) dans le contexte de l’exercice ?

ANNEXE : exercice 3

Exercice 4 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.

1. On considère l’équation différentielle :

\[(E) \quad y^{\prime} = \dfrac{1}{2}y + 4.\]

Affirmation 1 : Les solutions de \((E)\) sont les fonctions \(f\) définies sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = k\text{e}^{\frac{1}{2}x} – 8, \quad \text{avec } k \in \mathbb{R}.\]

2. Dans une classe de terminale, il y a 18 filles et 14 garçons.

On constitue une équipe de volley-ball en choisissant au hasard 3 filles et 3 garçons.

Affirmation 2 : Il y a 297 024 possibilités pour former une telle équipe.

3. Soit \((v_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[v_n = \dfrac{n}{2 + \cos(n)}.\]

Affirmation 3 : La suite \((v_n)\) diverge vers \(+\infty\).

4. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\), on considère les points \(\text{A}(1\,;\,1\,;\,2)\), \(\text{B}(5\,;\,-1\,;\,8)\) et \(\text{C}(2\,;\,1\,;\,3)\).

Affirmation 4 : \(\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}} = 10\) et une mesure de l’angle \(\widehat{\text{BAC}}\) est 30°.

5. On considère une fonction \(h\) définie sur \(]0\,;\,+\infty]\) dont la dérivée seconde est définie sur \(]0\,;\,+\infty]\) par :

\[h^{\prime\prime}(x) = x\ln x – 3x.\]

Affirmation 5 : La fonction \(h\) est convexe sur \([\text{e}^3\,;\,+\infty[\).

Bac 2025 Polynésie : méthode pour bien s’entraîner

Pour commencer, choisissez un exercice et cherchez-le entièrement au brouillon, sans aucune aide. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment les probabilités conditionnelles ou la loi binomiale, puis reprenez le cours correspondant. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à probabilités conditionnelles propose un rappel complet.

Les erreurs qui coûtent des points

En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.

Bac 2025 Polynésie : vos questions

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et la fonction exponentielle, mais aussi le calcul intégral.

Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2025 en Polynésie (jour 1)

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