Contrôle de maths Terminale : vecteurs, droites et plans de l’espace

Exercice 1 : Vecteurs colinéaires et coplanaires (4 points)

Calculatrice autorisée.

L’espace est muni d’un repère \((O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\). On considère les vecteurs \(\vec{u}(1\,;-2\,;3)\) et \(\vec{v}(-2\,;4\,;-6)\), ainsi que les points \(A(1\,;0\,;2)\), \(B(3\,;1\,;1)\), \(C(0\,;2\,;4)\), \(D(2\,;3\,;3)\) et \(E(1\,;5\,;6)\).

1. Montrer que les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires. (1 point)
2. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\), puis montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) définissent un plan. (1 point)
3. Montrer que \(\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{AC}\). Que peut-on en déduire pour les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) ? (1 point)
4. Le point \(E\) appartient-il au plan \((ABC)\) ? En déduire que \((\vec{AB},\vec{AC},\vec{AE})\) est une base de l’espace. (1 point)

Exercice 2 : Positions relatives de droites (5 points)

Dans un repère de l’espace, on considère le point \(A(1\,;-1\,;2)\), le vecteur \(\vec{u}(2\,;1\,;-1)\) et la droite \(d_1\) passant par \(A\) et dirigée par \(\vec{u}\). On donne aussi les droites suivantes, où \(s\) et \(k\) décrivent \(\mathbb{R}\) :

\(d_2\) : \(x = 1 + s\), \(y = 2 – s\), \(z = -1 + s\) ;

\(d_3\) : \(x = -4k\), \(y = 1 – 2k\), \(z = 2k\) ;

\(d_4\) : \(x = 0\), \(y = k\), \(z = 5 + k\).

1. Donner une représentation paramétrique de la droite \(d_1\), de paramètre \(t\). (1 point)
2. Le point \(E(7\,;2\,;-1)\) appartient-il à \(d_1\) ? (0,5 point)
3. Montrer que les droites \(d_1\) et \(d_2\) sont sécantes et donner les coordonnées de leur point d’intersection \(I\). (1,5 point)
4. Montrer que les droites \(d_1\) et \(d_3\) sont parallèles. Sont-elles confondues ? (1 point)
5. Montrer que les droites \(d_1\) et \(d_4\) ne sont pas coplanaires. (1 point)

Exercice 3 : Intersection d’une droite et d’un plan (4 points)

Dans un repère de l’espace, on donne les points \(A(2\,;0\,;0)\), \(B(0\,;3\,;0)\), \(C(0\,;0\,;6)\) et \(D(1\,;1\,;4)\), ainsi que le vecteur \(\vec{w}(1\,;2\,;-1)\). On note \(\Delta\) la droite passant par \(D\) et de vecteur directeur \(\vec{w}\).

1. Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés. (0,5 point)
2. Le point \(D\) appartient-il au plan \((ABC)\) ? On cherchera s’il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(\vec{AD} = a\vec{AB} + b\vec{AC}\). (1 point)
3. Donner une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\). (0,5 point)
4. Soit \(M\) le point de \(\Delta\) de paramètre \(t\). Déterminer la valeur de \(t\) pour laquelle \(M\) appartient au plan \((ABC)\), puis les coordonnées du point d’intersection de \(\Delta\) et du plan \((ABC)\). (2 points)

Exercice 4 : Section d’un cube (4 points)

\(ABCDEFGH\) est un cube. Le point \(I\) est le milieu de \([AE]\), \(J\) est le point de \([BF]\) tel que \(BJ = \frac{1}{4}BF\) et \(K\) est le point de \([CG]\) tel que \(CK = \frac{3}{4}CG\). On se place dans le repère \((A\,;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE})\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Justifier que l’intersection du plan \((IJK)\) avec la face \(ABFE\) est le segment \([IJ]\) et que son intersection avec la face \(BCGF\) est le segment \([JK]\). (1 point)
2. Donner les coordonnées de \(I\), \(J\), \(K\) et \(H\). En utilisant le fait que les faces \(ADHE\) et \(BCGF\) sont dans des plans parallèles, montrer que l’intersection du plan \((IJK)\) avec la face \(ADHE\) est le segment \([IH]\). (1,5 point)
3. En déduire la section du cube par le plan \((IJK)\) et préciser la nature de ce quadrilatère. (0,5 point)
4. La droite \((IJ)\) coupe la droite \((AB)\) en un point \(P\). Déterminer les coordonnées de \(P\). (1 point)

Exercice 5 : La grande diagonale du cube (3 points)

\(ABCDEFGH\) est un cube, rapporté au repère \((A\,;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE})\). On s’intéresse à la grande diagonale \((AG)\) et au plan \((BDE)\).

1. Donner les coordonnées des points \(B\), \(D\), \(E\) et \(G\), puis une représentation paramétrique de la droite \((AG)\). (1 point)
2. Déterminer les coordonnées du point \(K\) d’intersection de la droite \((AG)\) et du plan \((BDE)\). (1,5 point)
3. Exprimer \(\vec{AK}\) en fonction de \(\vec{AG}\). Où se situe le point \(K\) sur la diagonale \([AG]\) ? (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : vecteurs, droites et plans de l’espace

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Géométrie dans l’espace » en Terminale et « Représentation paramétrique et équation cartésienne » en Terminale et « Le produit scalaire » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés représentations paramétriques et équations cartésiennes, produit scalaire.

Retrouve tous les contrôles de maths en Terminale classés par chapitre, ou choisis un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP à la Terminale.

Autres contrôles de maths en Terminale sur ce thème

• Contrôle de maths Terminale : orthogonalité et distances dans l’espace

Le livre MathovoreContrôles corrigés de mathématiques TerminalePour s’entraîner en conditions réelles : les 25 devoirs de Terminale à faire chronomètre en main, puis à noter avec leur barème.Ouvrir le livre de contrôles ↗