cours maths terminale

Les représentations paramétriques de droites et plans de l’espace, ainsi que, les équations cartésiennes à travers un cours de maths en terminale à télécharger en PDF.

cours-representations-parametriques-equations-cartesiennes-1 Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. Avec l’introduction des coordonnées dans un repère du plan. René Descartes fait basculer
des objets jusque-là purement géométriques (points, droites, segments, etc.) dans le domaine algébrique.

Ces objets peuvent désormais être décrits par leurs coordonnées ou leurs équations.
Mais la méthode de Descartes reste limitée au plan, c’est-à-dire à deux coordonnées.
Plus d’un siècle plus tard, vers 1760, Euler et Lagrange développent ces notions dans l’espace
et établissent les équations de droites et de plans de l’espace, en utilisant des repères à trois axes
de coordonnées.
Durant cette période, la géométrie analytique continue de se développer, notamment avec
Gaspard Monge, qui propose plusieurs mémoires à l’Académie des Sciences.

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Il résout ainsi divers problèmes géométriques de manière analytique.

I. Représentations paramétriques d’une droite.

mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. est un repère orthonormé de l’espace.

1.Principe.

Définition :
Soit (d) la droite qui passe par le point A de coordonnées mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. et qui
admet pour vecteur directeur le vecteur mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. de coordonnées (a ; b ; c). cours-representations-parametriques-equations-cartesiennes-3 Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.
Dire qu’un point M de coordonnées mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. appartient à (d), équivaut à dire
que les vecteurs mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. et mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. sont colinéaires, c’est-à-dire qu’il existe un réel t tel
que mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF., autrement dit tel que :
mimetex.cgi?(S)\{\begin{matrix}\,x=x_A+ta\\\,y=y_A+tb\,\\\,z=z_A+tc\,\end{matrix} Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.
Définition :
Le système (S) est une représentation paramétrique de la droite (d).
t est le paramètre de cette représentation.
Exemple :

(d) est la droite qui passe par le point mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. et de vecteur directeur mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.;
Une représentation paramétrique de d est
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2. Utiliser une représentation paramétrique.

Définition :

Une droite (d) admet une infinité de représentations paramétriques.En effet, on peut choisir un point de (d) autre que A ou choisir un vecteur non nul colinéaire à mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. et autre que mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF..

Exemple :

On reprend l’exemple du paragraphe 1 .
• Le point mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. (obtenu pour mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.) appartient à (d), donc une autre représentation paramétrique de (d) est :

mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.  mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. .

• Le vecteur mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. est un autre vecteur directeur de (d), donc une autre représentation paramétrique de (d) est  :

mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.  mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. .

Remarque :

Par un raisonnement analogue à celui du paragraphe 1, on obtient une représentation paramétrique d’un plan à partir d’un de ses points et d’un couple de vecteurs non colinéaires de ce plan.

II. Équations cartésiennes d’un plan.

1. Vecteur normal à un plan.

Définition :
Dire qu’un vecteur non nul mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. est normal à un plan mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. signifie que
toute droite de vecteur directeur mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. est orthogonale au plan mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF..

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Propriété :
A est un point de l’espace et mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. est un vecteur non nul.
L’ensemble des points M de l’espace tels que mimetex.cgi?\vec{AM} Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. est le plan mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. passant par A et de vecteur normal mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF..
Preuve :

On note B le point distinct de A tel que mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. et H le projeté orthogonal d’un point M sur la droite (AB).

cours-representations-parametriques-equations-cartesiennes-6 Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.

Avec ces notations :

mimetex.cgi?\vec{AM}.\vec{n}=\,\vec{AM}.\vec{AB}=\vec{AH}.\vec{AB} Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.

Ainsi mimetex.cgi?\vec{AM} Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. si, et seulement si, mimetex.cgi?\vec{AH} Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF., c’est-à-dire A = H car les vecteurs mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.

et mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. sont colinéaires.

Autrement dit, mimetex.cgi?\vec{AM} Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. si, et seulement si, A est le projeté orthogonal de M sur la droite (AB).
L’ensemble cherché est donc le plan passant par A et orthogonal à (AB).

2. Équations cartésiennes d’un plan.

Propriétés et définition :
L’espace est muni d’un repère orthonormé.
1. Un plan de vecteur normal mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. a une équation de la forme mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF., où d désigne
un nombre réel.On dit que c’est une équation cartésienne de ce plan.
2.  Réciproquement, a, b, c et d étant quatre nombres réels donnés avec a, b et c non tous nuls, l’ensemble des points mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. tels que mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. est un plan de vecteur normal mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF..
Preuve :

1. Un point mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. appartient au plan mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. passant par mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. et de

vecteur normal mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. si, et seulement si, mimetex.cgi?\vec{AM} Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF., c’est-à-dire ;

mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF..

En posant mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF., on obtient mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF..

2. mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. est l’ensemble des points mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. qui vérifie mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.

où a, b et c sont des nombres réels non tous nuls.

On peut supposer, par exemple, mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF..

Le point mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. est alors un point de mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. et l’équation équivaut à mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.,

c’est-à-dire

mimetex.cgi?\vec{AM} Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. avec mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF..

mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. est donc le plan passant par A et de vecteur normal mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF..

3. Cas particuliers des plans (xOy), (yOz) et (xOz).

• Le plan mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. passe par l’origine mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. du repère et le vecteur mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. est un vecteur normal à ce plan.
Ainsi, une équation cartésienne du plan mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. est de la forme mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF..
Or, mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. appartient à mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. donc mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. et mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF..
Ainsi, une équation cartésienne du plan mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. est mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF..

• De même, le plan mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. a pour équation cartésienne mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. et le plan mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. a pour équation cartésienne mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF..

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III. Traduire un problème par un système d’équations linéaires.

1. Déterminer l’intersection de deux droites.

Exemple :

Dans un repère orthonormé, on se propose de démontrer que les droites (d) et (d’) de représentations paramétriques respectives :

mimetex.cgi?(S)\{\begin{matrix}\,x=5+t\\\,y=2+t\,\\\,z=-2t\end{matrix} Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.  mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.  et   mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.  mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.   sont sécantes.

Les droites (d) et (d’) sont sécantes si, et seulement si, le système ci-dessous de six équations
à cinq inconnues mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. a une seule solution.

mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.

Autrement dit, (d) et (d’) sont sécantes si, et seulement si, il existe un unique couple mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. tel que :

mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. c’est-à-dire mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.

Pour résoudre ce système (T) de trois équations à deux inconnues, on commence par résoudre un système formé par deux de ces équations, par exemple (1) et (2) comme ci-dessous.

Ce système ayant un seul couple solution, on vérifie qu’il est aussi solution de (3).
On conclut que ce couple est solution de (T).

•  Par addition membre à membre des équations (1) et (2), on obtient mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. soit mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF..
• On remplace t par 4 dans l’équation (1), on obtient mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.
soit mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF..
• On vérifie que les valeurs de t et t’ obtenues sont solutions de l’équation (3) :

mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF..

• On remplace t par 4 dans le système (S) ou mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. par mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. dans mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. et on obtient les coordonnées du point d’intersection de (d) et (d’) : mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF..

Remarque :

Il est important de noter l’utilité d’avoir nommé différemment les paramètres t et t’. En effet, le
point commun M à (d) et (d’) est atteint sur (d) pour mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF., alors qu’il est atteint sur (d’) pour mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF..

2. Étudier l’intersection d’une droite et d’un plan.

Exemple :

Dans un repère orthonormé, le plan mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. a pour équation cartésienne mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.
et la droite mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. pour représentation paramétrique :

mimetex.cgi?\{\begin{matrix}\,x=t\\\,y=1-6t\,\\\,z=3-t\end{matrix} Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.  mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.

On se propose d’étudier l’intersection du plan mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. et de la droite mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF..
Pour cela, on résout le système mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. ci-dessous de quatre équations à quatre inconnues mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF..

mimetex.cgi?(S)\{\begin{matrix}\,x=t\\\,y=1-6t\,\\\,z=3-t\\\,5x+y-z+3=0\end{matrix} Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.

Ce système mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. équivaut à :

mimetex.cgi?(S)\{\begin{matrix}\,x=t\\\,y=1-6t\,\\\,z=3-t\\\,5t+1-6t-3+t+3=0\end{matrix} Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.   c’est-à-dire  mimetex.cgi?(S)\{\begin{matrix}\,x=t\\\,y=1-6t\,\\\,z=3-t\\\,0t=-1\end{matrix} Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.

Or, la quatrième équation n’a pas de solution donc le système (S) n’a pas de solution.

La droite (d) et le plan mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF. n’ont pas de point commun, donc (d) est strictement parallèle à mimetex Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF..


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