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La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF.


La fonction logarithme népérien avec un cours de maths en terminale faisant intervenir la définition du logarithme et ses propriétés.

I. Définition de la fonction logarithme népérien :

Définition :
Pour tout réel x de ]0;+\infty[, il existe un unique réel y tel que e^y=x.
Définition :

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur ]0 ; +\infty[ qui à tout réel x>0, associe le réel noté ln(x) dont l’exponentielle est  x.

Remarque :

L’image d’un réel strictement positif x par la fonction ln se note souvent ln x au lieu de ln(x).

Conséquences :

1. Pour tout réel x>0 et tout réel y, x=e^y équivaut à y=lnx.

2. Pour tout réel x>0, e^{lnx}=x.

3. Pour tout réel x, ln(e^x)=x

Preuve :

(1) et (2) se déduisent directement de la définition.

(3) Pour tout réel x, si y=ln(e^x) alors d’après (1)  e^x=e^y donc x=y.

Conséquences :

ln1=0.En effet e^0=1 et d’après (1) ceci équivaut à ln1=0.

lne=1.En effet e^1=e et d’après (1) ceci équivaut à lne=1.

Pour tout réel \lambda, l’équation lnx=\lambda a pour unique solution x=e^{ \lambda } d’après (1).

Propriété:

Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives des fonctions exponentielles et logarithmes népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x.

Preuve :

ON note \varphi et \varphi ^'  les courbes représentatives des fonctions exp et ln.

Dire que M'(x;y) appartient à \varphi ^'  équivaut à dire que M(y;x)  appartient à \varphi.

\varphi et \varphi ^' sont donc symétriques par rapport à la droite y=x.

II. Sens de variation de la fonction logarithme népérien sur ]0;+\infty[ :

Propriété :

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0;+\infty[.

Preuve :

a et b sont deux réels tels que 0<a<b, c’est à dire que e^{lna}<e^{lnb}.

La fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R} donc lna<lnb.

Conséquences :

Pour tous réels a et b de ]0;+\infty[:

  •  lna=lnb équivaut à a=b et lna<lnb équivaut à a<b.
  •  lna>0 équivaut à a>1 et lna<0 équivaut à 0<a<1 .

III. Les propriétés algébriques :

1. Relation fonctionnelle :

Théorème :

Pour tout réels a et b de ]0;+\infty[ln(ab)=lna+lnb.

Preuve :

a et b sont deux réels strictement positifs.On note A=lnab et B=ln a + ln b alors

e^A=ab et e^B=e^{lna+lnb}=e^{lna}\times   e^{lnb}=ab

donc e^A=e^B d’où A=B puisque la fonction exponentielle est bijective sur \mathbb{R}.

2. Logarithme d’un quotient :

Propriété :

Pour tout réel a de ]0;+\infty[ln ( \frac{1}{a}  )=-lna.

Preuve :

Pour a>0, on écrit a\times   \frac{1}{a}=1 donc ln(a\times   \frac{1}{a})=ln1

c’est à dire ln(a)+ln(\frac{1}{a})=0 d’où ln(\frac{1}{a})=-ln(a).

Propriété :

Pour tous réels a et b de ]0;+\infty[ln(\frac{a}{b})=ln(a)-ln(b).

Preuve :

Pour a>0 et b>0, ln(\frac{a}{b})=ln(a\times   \frac{1}{b})=lna+ln\frac{1}{b}=ln(a)-ln(b).

3. Logarithme d’un produit de nombres réels strictement positifs :

Propriété :

Pour tous réels a_1,a_2,a_3,....,a_n de ]0;+\infty[,

ln(a_1a_2a_3....a_n)=lna_1+lna_2+lna_3+....+lna_n

Remarque :

Cette formule généralise la relation fonctionnelle établie dans le paragraphe 1. et peut se démontrer par récurrence.

Propriété :

Pour tout réel a de ]0;+\infty[ et tout entier relatif n, ln(a^n)=nlna.

Démonstration :

La démonstration de cette propriété se fait par récurrence et sur le signe de n.

4. Logarithme d’une racine carrée :

Propriété :

Pour tout réel a de ]0;+\infty[ln(\sqrt{a})=\frac{1}{2}lna.

Preuve :

Pour a>0, (\sqrt{a})^2=a donc ln(\sqrt{a})^2=lna

ainsi 2ln(\sqrt{a})=lna

d’où ln(\sqrt{a})=\frac{1}{2}lna

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Les fonctions logarithmes

Un QCM sur les fonctions logarithmes

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