cours maths terminale
La fonction logarithme népérien avec un cours de maths en terminale faisant intervenir la définition du logarithme et ses propriétés.

I. Définition de la fonction logarithme népérien :

Définition :
Pour tout réel mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF. de mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF., il existe un unique réel y tel que mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF..
Définition :

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur ]0 ; mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF.[ qui à tout réel x>0, associe le réel noté ln(x) dont l’exponentielle est  x.

Remarque :

L’image d’un réel strictement positif x par la fonction ln se note souvent ln x au lieu de ln(x).

Conséquences :

1. Pour tout réel x>0 et tout réel y, mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF. équivaut à mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF..

2. Pour tout réel x>0, mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF..

3. Pour tout réel x, mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF.

Preuve :

(1) et (2) se déduisent directement de la définition.

(3) Pour tout réel x, si y=mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF. alors d’après (1)  mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF. donc x=y.

Conséquences :

mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF..En effet mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF. et d’après (1) ceci équivaut à mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF..

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Pour tout réel mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF., l’équation mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF. a pour unique solution mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF. d’après (1).

Propriété:

Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives des fonctions exponentielles et logarithmes népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x.

Preuve :

ON note mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF. et mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF.  les courbes représentatives des fonctions exp et ln.

Dire que mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF. appartient à mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF.  équivaut à dire que mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF.  appartient à mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF..

mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF. et mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF. sont donc symétriques par rapport à la droite y=x.

symetrie-logarithme-exponentielle La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF.

II. Sens de variation de la fonction logarithme népérien sur mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF. :

Propriété :

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF..

Preuve :

a et b sont deux réels tels que mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF., c’est à dire que mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF..

La fonction exponentielle est strictement croissante sur mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF. donc mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF..

Conséquences :

Pour tous réels a et b de mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF.:

  •  mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF. équivaut à mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF. et mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF. équivaut à mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF..
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courbe-logarithme(1) La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF.

III. Les propriétés algébriques :

1. Relation fonctionnelle :

Théorème :

Pour tout réels a et b de mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF.mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF..

Preuve :

a et b sont deux réels strictement positifs.On note A=lnab et B=ln a + ln b alors

mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF. et mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF.

donc mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF. d’où A=B puisque la fonction exponentielle est bijective sur mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF..

2. Logarithme d’un quotient :

Propriété :

Pour tout réel a de mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF.mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF..

Preuve :

Pour a>0, on écrit mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF. donc mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF.

c’est à dire mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF. d’où mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF..

Propriété :

Pour tous réels a et b de mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF.mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF..

Preuve :

Pour a>0 et b>0, mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF..

3. Logarithme d’un produit de nombres réels strictement positifs :

Propriété :

Pour tous réels mimetex.cgi?a_1,a_2,a_3,... La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF. de mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF.,

mimetex.cgi?ln(a_1a_2a_3....a_n)=lna_1+lna_2+lna_3+... La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF.

Remarque :

Cette formule généralise la relation fonctionnelle établie dans le paragraphe 1. et peut se démontrer par récurrence.

Propriété :

Pour tout réel a de mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF. et tout entier relatif n, mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF..

Démonstration :

La démonstration de cette propriété se fait par récurrence et sur le signe de n.

4. Logarithme d’une racine carrée :

Propriété :

Pour tout réel a de mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF.mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF..

Preuve :

Pour a>0, mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF. donc mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF.

ainsi mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF.

d’où mimetex La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF.

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Les fonctions logarithmes

Un QCM sur les fonctions logarithmes


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