I. Définition de la fonction logarithme népérien :
La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur ]0 ; [ qui à tout réel x>0, associe le réel noté ln(x) dont l’exponentielle est x.
Remarque :
L’image d’un réel strictement positif x par la fonction ln se note souvent ln x au lieu de ln(x).
1. Pour tout réel x>0 et tout réel y, équivaut à
.
2. Pour tout réel x>0, .
3. Pour tout réel x,
Preuve :
(1) et (2) se déduisent directement de la définition.
(3) Pour tout réel x, si y= alors d’après (1)
donc x=y.
.En effet
et d’après (1) ceci équivaut à
.
.En effet
et d’après (1) ceci équivaut à
.
Pour tout réel , l’équation
a pour unique solution
d’après (1).
Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives des fonctions exponentielles et logarithmes népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x.
Preuve :
ON note et
les courbes représentatives des fonctions exp et ln.
Dire que appartient à
équivaut à dire que
appartient à
.
et
sont donc symétriques par rapport à la droite y=x.
II. Sens de variation de la fonction logarithme népérien sur
:
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur .
Preuve :
a et b sont deux réels tels que , c’est à dire que
.
La fonction exponentielle est strictement croissante sur donc
.
Pour tous réels a et b de :
-
équivaut à
et
équivaut à
.
-
équivaut à
et
équivaut à
.
III. Les propriétés algébriques :
1. Relation fonctionnelle :
Pour tout réels a et b de ,
.
Preuve :
a et b sont deux réels strictement positifs.On note A=lnab et B=ln a + ln b alors
et
donc d’où A=B puisque la fonction exponentielle est bijective sur
.
2. Logarithme d’un quotient :
Pour tout réel a de ,
.
Preuve :
Pour a>0, on écrit donc
c’est à dire d’où
.
Pour tous réels a et b de ,
.
Preuve :
Pour a>0 et b>0, .
3. Logarithme d’un produit de nombres réels strictement positifs :
Pour tous réels de
,
Remarque :
Cette formule généralise la relation fonctionnelle établie dans le paragraphe 1. et peut se démontrer par récurrence.
Pour tout réel a de et tout entier relatif n,
.
Démonstration :
La démonstration de cette propriété se fait par récurrence et sur le signe de n.
4. Logarithme d’une racine carrée :
Pour tout réel a de ,
.
Preuve :
Pour a>0, donc
ainsi
d’où
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