Corrigé du bac de maths 2023 en France (septembre, jour 1) à télécharger en PDF

Corrigé France 2023 : la correction en un coup d’œil

Avant tout, ce corrigé France 2023 reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 en France (septembre, jour 1) et détaille la démarche attendue à chaque question. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants. Côté programme, il faut notamment maîtriser la fonction exponentielle, la fonction logarithme népérien, la convexité et la dérivation. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 60 minutes par exercice, relecture comprise. Par conséquent, la correction sert autant à contrôler un résultat qu’à apprendre la rédaction attendue le jour de l’examen.

Corrigé du sujet

Exercice 1 : correction du corrigé France 2023

1. Il suffit de dériver chaque proposition et de retrouver \(f\). Pour la réponse d, la dérivée de \(\text{e}^{u}\) étant \(u^{\prime}\text{e}^{u}\) avec \(u(x)=x^2-3\) et \(u^{\prime}(x)=2x\), on obtient \(F^{\prime}(x)=\dfrac12\times 2x\,\text{e}^{x^2-3}=x\,\text{e}^{x^2-3}=f(x)\). Réponse d.

Les autres ne conviennent pas : par exemple, en a, \(F^{\prime}(0)=2\text{e}^{-3}\neq0=f(0)\).

2. Pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\text{e}^{2(n+1)+1}=\text{e}^{2n+1+2}=\text{e}^{2}\times \text{e}^{2n+1}=\text{e}^2\,u_n\). On passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par \(\text{e}^2\) : la suite est géométrique de raison \(\text{e}^2\). Réponse c.

3. La boucle while se répète tant que sa condition est vraie. On veut qu’elle s’arrête dès que \(u\gt10\,000\) : il faut donc qu’elle continue tant que \(u\leq\,10\,000\). Réponse a.

4. Pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1}=u_{n+1}+60=1{,}2u_n+12+60=1{,}2u_n+72=1{,}2(u_n+60)=1{,}2\,v_n\). La suite \((v_n)\) est géométrique de raison 1,2 (de premier terme \(v_0=75\)). Réponse b.

Exercice 2 :

1. a. On calcule \(\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{AC}}\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}\). La troisième coordonnée de \(\vec{\text{AC}}\) est nulle alors que celle de \(\vec{\text{AB}}\) vaut 3 : aucun réel \(k\) ne vérifie \(\vec{\text{AB}}=k\,\vec{\text{AC}}\). Les vecteurs ne sont pas colinéaires, les points A, B, C ne sont donc pas alignés : ils définissent un plan \(\mathcal{P}\).

b. On a \(\vec{\text{CD}}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\). Dans le repère orthonormé :

\(\vec{\text{CD}}\cdot\vec{\text{AB}}=2\times 2+1\times (-1)+(-1)\times 3=4-1-3=0\) et \(\vec{\text{CD}}\cdot\vec{\text{AC}}=2\times 1+1\times (-2)+(-1)\times 0=0\).

Le vecteur \(\vec{\text{CD}}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan \(\mathcal{P}\) : la droite (CD) est orthogonale au plan \(\mathcal{P}\). Comme de plus C appartient à \(\mathcal{P}\), C est le projeté orthogonal du point D sur le plan \(\mathcal{P}\).

c. Le vecteur \(\vec{\text{CD}}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\) est normal à \(\mathcal{P}\), donc \(\mathcal{P}\) a une équation de la forme \(2x+y-z+d=0\). Le point \(\text{A}(1\,;\,0\,;\,-1)\) est dans le plan : \(2+0+1+d=0\), d’où \(d=-3\). Une équation cartésienne de \(\mathcal{P}\) est bien \(2x+y-z-3=0\). (Vérification : B donne \(6-1-2-3=0\) et C donne \(4-2+1-3=0\).)

2. a. \(\text{CD}=\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{6}\), donc \(\text{CD}=\sqrt6\).

b. Soit M un point de \(\mathcal{P}\) distinct de C. La droite (CD) étant orthogonale à \(\mathcal{P}\), elle est orthogonale à la droite (CM) contenue dans ce plan : le triangle CDM est rectangle en C. Le théorème de Pythagore donne \(\text{MD}^2=\text{CD}^2+\text{CM}^2=6+\text{CM}^2\gt6\), puisque \(\text{CM}\gt0\). Donc \(\text{MD}\gt\sqrt6\) : il n’existe aucun point M de \(\mathcal{P}\), autre que C, tel que \(\text{MD}=\sqrt6\). C’est la propriété du projeté orthogonal : C est l’unique point du plan le plus proche de D.

Exercice 2 du corrigé France 2023 : question 3

3. a. Soit \(M(0\,;\,2+t\,;\,-1+t)\) un point quelconque de \(\Delta\). En remplaçant dans l’équation de \(\mathcal{P}\) : \(2\times 0+(2+t)-(-1+t)-3=2+t+1-t-3=0\). L’égalité est vraie pour tout réel \(t\) : tous les points de \(\Delta\) sont dans \(\mathcal{P}\), donc \(\Delta\) est incluse dans \(\mathcal{P}\).

b. Pour \(t=-2\), on obtient le point \(\text{K}(0\,;\,0\,;\,-3)\) de \(\Delta\). Un vecteur directeur de \(\Delta\) est \(\vec{u}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\) (coefficients de \(t\)) et \(\vec{\text{DK}}\begin{pmatrix}0-4\\0+1\\-3+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\1\\-1\end{pmatrix}\).

Alors \(\vec{\text{DK}}\cdot\vec{u}=-4\times 0+1\times 1+(-1)\times 1=0\) : la droite (DK) est perpendiculaire à \(\Delta\) en K, point de \(\Delta\). K est donc le projeté orthogonal de D sur \(\Delta\) : H est le point de paramètre \(t=-2\), c’est-à-dire \(\text{H}(0\,;\,0\,;\,-3)\).

c. La distance de D à la droite \(\Delta\) est la longueur DH : \(\text{DH}=\sqrt{(-4)^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}\), soit \(\text{DH}=3\sqrt2\).

Exercice 3 :

Partie A

1. Traduisons les données : \(p(A)=x\), donc \(p(\overline{A})=1-x\) ; \(p_A(T)=0{,}97\), donc \(p_A(\overline{T})=0{,}03\) ; \(p_{\overline{A}}(\overline{T})=0{,}957\), donc \(p_{\overline{A}}(T)=0{,}043\). L’arbre complété porte :

2. a. Les évènements \(A\) et \(\overline{A}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

\[p(T)=p(A)\,p_A(T)+p(\overline{A})p_{\overline{A}}(T)=0{,}97x+0{,}043(1-x)=0{,}97x-0{,}043x+0{,}043.\]

On obtient bien \(p(T)=0{,}927x+0{,}043\).

b. On sait que \(p(T)=0{,}2\), donc \(0{,}927x+0{,}043=0{,}2\), soit \(0{,}927x=0{,}157\) et \(x=\dfrac{0{,}157}{0{,}927}\approx0{,}16936\). La probabilité que l’individu soit allergique est \(p(A)\approx0{,}169\).

3. On cherche la probabilité conditionnelle \(p_T(A)=\dfrac{p(A\cap T)}{p(T)}=\dfrac{0{,}97x}{0{,}2}=4{,}85x\). Avec la valeur exacte \(x=\dfrac{0{,}157}{0{,}927}\), on trouve \(p_T(A)=\dfrac{4{,}85\times 0{,}157}{0{,}927}\approx0{,}821\).

Ainsi \(p_T(A)\approx0{,}821\gt0{,}8\) : l’affirmation est vraie, un individu dont le test est positif a environ 82 % de chances d’être allergique.

Partie B

1. On répète 150 fois, de manière identique et indépendante (tirages avec remise), une épreuve de Bernoulli dont le succès « l’habitant est allergique » a pour probabilité 0,08. La variable \(X\), qui compte les succès, suit la loi binomiale de paramètres \(n=150\) et \(p=0{,}08\).

2. \(p(X=20)=\dbinom{150}{20}\times 0{,}08^{20}\times 0{,}92^{130}\approx0{,}00821\), soit \(p(X=20)\approx0{,}008\).

3. 10 % de 150 personnes représentent 15 personnes. On cherche \(p(X\geq\,15)=1-p(X\leq\,14)\). La calculatrice donne \(p(X\leq\,14)\approx0{,}7797\), d’où \(p(X\geq\,15)\approx0{,}220\).

Exercice 4 :

Partie A

1. Pour \(x\gt0\), on dérive terme à terme : la dérivée de \(\dfrac2x\) est \(-\dfrac{2}{x^2}\), celle de \(-\dfrac{1}{x^2}=-x^{-2}\) est \(2x^{-3}=\dfrac{2}{x^3}\), celle de \(\ln x\) est \(\dfrac1x\). En réduisant au même dénominateur \(x^3\) :

\[g^{\prime}(x)=-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}+\dfrac1x=\dfrac{-2x+2+x^2}{x^3}=\dfrac{x^2-2x+2}{x^3}.\]

Pour \(x\gt0\), on a \(x^3\gt0\) : \(g^{\prime}(x)\) a le même signe que \(x^2-2x+2\).

2. Le discriminant du trinôme \(x^2-2x+2\) est \(\Delta=(-2)^2-4\times 1\times 2=-4\lt0\). Le trinôme n’a donc pas de racine et garde le signe de son coefficient dominant 1 : il est strictement positif pour tout réel \(x\). (On peut aussi écrire \(x^2-2x+2=(x-1)^2+1\geq\,1\).) Par conséquent \(g^{\prime}(x)\gt0\) sur \(]0\,;\,+\infty[\) et \(g\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\).

3. Sur \([0{,}5\,;\,1]\), la fonction \(g\) est continue (car dérivable) et strictement croissante. De plus :

\(g(0{,}5)=\dfrac{2}{0{,}5}-\dfrac{1}{0{,}25}+\ln(0{,}5)=4-4-\ln2=-\ln2\approx-0{,}69\lt0\) et \(g(1)=2-1+\ln1=1\gt0\).

Le nombre 0 est compris entre \(g(0{,}5)\) et \(g(1)\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (appliqué à une fonction continue et strictement monotone), l’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([0{,}5\,;\,1]\). La calculatrice donne \(\alpha\approx0{,}592\).

4. La fonction \(g\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) et \(g(\alpha)=0\). Donc :

• si \(0\lt x\lt\alpha\), alors \(g(x)\lt g(\alpha)=0\) ;
• si \(x\gt\alpha\), alors \(g(x)\gt g(\alpha)=0\).

Comme \(g\) est strictement croissante sur tout \(]0\,;\,+\infty[\), \(\alpha\) est aussi la seule solution de \(g(x)=0\) sur cet intervalle. Le tableau de signes proposé est donc justifié : \(g\) est négative sur \(]0\,;\,\alpha[\), nulle en \(\alpha\) et positive sur \(]\alpha\,;\,+\infty[\).

Partie B

1. On dérive \(f^{\prime}(x)=\text{e}^x\times v(x)\) avec \(v(x)=\dfrac1x+\ln x\) et \(v^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac1x\). La formule \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\) donne :

\[f^{\prime\prime}(x)=\text{e}^x(\dfrac1x+\ln x)+\text{e}^x(-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac1x)=\text{e}^x(\dfrac1x+\dfrac1x-\dfrac{1}{x^2}+\ln x).\]

Donc \(f^{\prime\prime}(x)=\text{e}^x(\dfrac2x-\dfrac{1}{x^2}+\ln x)\) pour tout \(x\gt0\).

2. On reconnaît dans la parenthèse l’expression de \(g(x)\) : \(f^{\prime\prime}(x)=\text{e}^x\times g(x)\).

3. a. Pour tout réel \(x\), \(\text{e}^x\gt0\) : \(f^{\prime\prime}(x)\) a le même signe que \(g(x)\), étudié en partie A.

b. Un point d’inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente, ce qui se produit lorsque \(f^{\prime\prime}\) s’annule en changeant de signe. D’après le tableau, \(f^{\prime\prime}\) ne s’annule qu’en \(\alpha\), où elle passe du signe \(-\) au signe \(+\). La courbe \(\mathcal{C}_f\) admet donc un unique point d’inflexion A, d’abscisse \(\alpha\) (numériquement \(\text{A}(\alpha\,;\,f(\alpha))\) avec \(\alpha\approx0{,}592\) et \(f(\alpha)\approx-0{,}948\)).

c. Une fonction est convexe sur un intervalle où sa dérivée seconde est positive, concave là où elle est négative. Donc \(f\) est concave sur \(]0\,;\,\alpha]\) et convexe sur \([\alpha\,;\,+\infty[\).

4. a. En 0 : \(\lim\limits_{x\to0}\text{e}^x=1\) et \(\lim\limits_{x\to0,\,x\gt0}\ln x=-\infty\), donc par produit \(\lim\limits_{x\to0}f(x)=-\infty\) (la courbe admet l’axe des ordonnées pour asymptote verticale).

En \(+\infty\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^x=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\), donc par produit \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

b. Puisque \(g(\alpha)=0\), on a \(\dfrac2\alpha-\dfrac{1}{\alpha^2}+\ln\alpha=0\), d’où \(\ln\alpha=\dfrac{1}{\alpha^2}-\dfrac{2}{\alpha}\). En reportant dans \(f^{\prime}(\alpha)\) :

\[f^{\prime}(\alpha)=\text{e}^{\alpha}(\dfrac1\alpha+\dfrac{1}{\alpha^2}-\dfrac2\alpha)=\text{e}^{\alpha}(\dfrac{1}{\alpha^2}-\dfrac1\alpha)=\text{e}^{\alpha}\times \dfrac{1-\alpha}{\alpha^2}.\]

On obtient bien \(f^{\prime}(\alpha)=\dfrac{\text{e}^{\alpha}}{\alpha^2}(1-\alpha)\).

c. On a \(\text{e}^{\alpha}\gt0\), \(\alpha^2\gt0\), et \(\alpha\in[0{,}5\,;\,1]\) avec \(\alpha\neq1\) (car \(g(1)=1\neq0\)), donc \(\alpha\lt1\) et \(1-\alpha\gt0\). Par produit et quotient de nombres strictement positifs, \(f^{\prime}(\alpha)\gt0\) (numériquement \(f^{\prime}(\alpha)\approx2{,}11\)).

Exercice 4 du corrigé France 2023, partie B (suite)

Pour le signe de \(f^{\prime}\), utilisons les variations de \(f^{\prime}\) : sa dérivée est \(f^{\prime\prime}\), négative sur \(]0\,;\,\alpha]\) et positive sur \([\alpha\,;\,+\infty[\). La fonction \(f^{\prime}\) est donc décroissante puis croissante : elle admet en \(\alpha\) un minimum égal à \(f^{\prime}(\alpha)\). Pour tout \(x\gt0\), \(f^{\prime}(x)\geq\, f^{\prime}(\alpha)\gt0\) : \(f^{\prime}(x)\gt0\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

d. La dérivée étant strictement positive, \(f\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), de \(-\infty\) à \(+\infty\) :

Corrigé France 2023 : conseils de révision

Tout d’abord, travaillez l’énoncé du sujet en temps limité, sans ouvrir la correction. Ensuite, relisez la correction question par question et soulignez les arguments qui manquaient dans votre copie. Par ailleurs, faites la liste des points de cours à revoir ; ici, ce sera souvent la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à fonction exponentielle propose un rappel complet.

Points de vigilance

• Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
• Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.
• La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde, pas sur celui de la dérivée : c’est une confusion très courante.

Questions fréquentes sur ce corrigé France 2023

Où trouver l’énoncé complet ? Il se trouve sur la page du sujet ; ainsi, vous pouvez chercher chaque exercice avant de lire la correction.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, la fonction exponentielle, la fonction logarithme népérien et la convexité, mais aussi la dérivation.

Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.

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