PGCD : cours d'arithmétique en terminale S spécialité

Mise à jour le 25 avril 2020

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Sommaire de cette fiche

1 I.Le plus grand commun diviseur ( PGCD )

Le PGCD deux deux entiers naturels, dans ce cours de maths en terminale S spécialité, nous aborderons l’algorithme d’Euclide et les nombres premiers entre eux.

I.Le plus grand commun diviseur ( PGCD )

1.Le PGCD de deux entiers naturels

Par convention, lorsqu’on parlera de diviseurs d’un entier naturel, il s’agira toujours de diviseurs positifs.

Diviseurs communs à deux nombres :

$\star\,$ Pour tout entier naturel a, on note D(a) l’ensemble de ses diviseurs. $D(1)=\,\{\,1\,\,\}$ , $D(0)=\mathbb{N}$ .

D(a) contient toujours 1 et a.

Lorsque $a\neq0$ , le plus grand élément de D(a) est a.

$\star\,$ Pour tous entiers naturels a et b non nuls, on note D(a,b) l’ensemble des diviseurs communs à a et b.

L’ensemble D(a,b) est non vide : il contient toujours 1.

De plus, tous les nombres qu’il contient sont inférieurs ou égaux à a et b.

Donc D(a,b) a un plus grand élément appelé le plus grand commun diviseur et noté le PGCD de a et b.

Exemple :

$D(6)=\,\{\,1,2,3,6\,\,\}$

Définition 1 :

a et b sont deux entiers naturels.Le Plus Grand Commun Diviseur à a et b est noté .

Conséquences :

Si b divise a alors pgcd(a,b)=b.En effet, tout diviseur de b est un diviseur de a donc .

Comme b est le plus grand élément de D(b) , alors b est le .

2.Recherche du PGCD : l’algorithme d’Euclide.

a et b sont deux entiers naturels non nuls, a>b .Lorsque b ne divise pas a, pour déterminer le , on utilise l’algorithme d’Euclide.

Base de l’algorithme d’Euclide :

Théorème 1 :

a et b sont deux entiers naturels non nuls tel que la division euclidienne de a par b se traduise par a=bq+r avec $0\leq\,\,r<b$ .Alors ce qui entraîne que .

Algorithme d’Euclide :

On définit ainsi une suite (r_n) telle que $0\leq\,\,...<r_{k+1}<r_k<...r_2<r_1<r_0<b$ .

Cette suite est une suite décroissante et strictement positive d’entiers naturels.Donc c’est une suite finie et il existe un entier n tel que $r_n\neq0$ et $r_{n+1}=0$ .

Or, $r_{n+1}=0$ signifie que r_n divise $r_{n-1}$ , d’où :

$PGCD(a,b)=PGCD(b,r_0)=PGCD(r_0,r_1)=...=PGCD(r_{n-1},r_n)=r_n$

Théorème 2 :

Lorsque b ne divise pas a, le

est le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide.

Théorème 3 :

a et b sont deux entiers naturels non nuls.

L’ensemble des diviseurs communs à a et b est l’ensemble des diviseurs de .
Quel que soit l’entier c>0, $PGCD(ac,bc)=c\,\times \,PGCD(a,b)$ .

3.Nombres premiers entre eux

Définition 2 :

Dire que deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux signifie que leur PGCD est égal à 1.

Théorème 4 : caractérisation du PGCD.

a et b sont deux entiers naturels non nuls

$\Delta$ est le

équivaut à il existe deux entiers naturels a’ et b’ tels que :

$a=\Delta\,a'$ , $b=\Delta\,b'$ et .

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