PGCD : cours d'arithmétique en terminale spécialité en PDF.

cours de maths en terminale S

Sommaire de cette fiche

1 I. Le plus grand commun diviseur ( PGCD )

Le PGCD deux deux entiers naturels, dans ce cours de maths en terminale spécialité, nous aborderons l’algorithme d’Euclide et les nombres premiers entre eux.

I. Le plus grand commun diviseur ( PGCD )

1.Le PGCD de deux entiers naturels

Par convention, lorsqu’on parlera de diviseurs d’un entier naturel, il s’agira toujours de diviseurs positifs.

Diviseurs communs à deux nombres :

$\star\,$ Pour tout entier naturel a, on note D(a) l’ensemble de ses diviseurs. $D(1)=\,\{\,1\,\,\}$ , $D(0)=\mathbb{N}$ .

D(a) contient toujours 1 et a.

Lorsque $a\neq0$ , le plus grand élément de D(a) est a.

$\star\,$ Pour tous entiers naturels a et b non nuls, on note D(a,b) l’ensemble des diviseurs communs à a et b.

L’ensemble D(a,b) est non vide : il contient toujours 1.

De plus, tous les nombres qu’il contient sont inférieurs ou égaux à a et b.

Donc D(a,b) a un plus grand élément appelé le plus grand commun diviseur et noté le PGCD de a et b.

Exemple :

$D(6)=\,\{\,1,2,3,6\,\,\}$

Définition 1 :

a et b sont deux entiers naturels.Le Plus Grand Commun Diviseur à a et b est noté .

Conséquences :

Si b divise a alors pgcd(a,b)=b.En effet, tout diviseur de b est un diviseur de a donc .

Comme b est le plus grand élément de D(b) , alors b est le .

2.Recherche du PGCD : l’algorithme d’Euclide.

a et b sont deux entiers naturels non nuls, a>b .Lorsque b ne divise pas a, pour déterminer le , on utilise l’algorithme d’Euclide.

Base de l’algorithme d’Euclide :

Théorème 1 :

a et b sont deux entiers naturels non nuls tel que la division euclidienne de a par b se traduise par a=bq+r avec $0\leq\,\,r<b$ .Alors ce qui entraîne que .

Algorithme d’Euclide :

On définit ainsi une suite telle que $0\leq\,\,...<r_{k+1}<r_k<...r_2<r_1<r_0<b$ .

Cette suite est une suite décroissante et strictement positive d’entiers naturels.Donc c’est une suite finie et il existe un entier n tel que $r_n\neq0$ et $r_{n+1}=0$ .

Or, $r_{n+1}=0$ signifie que divise $r_{n-1}$ , d’où :

$PGCD(a,b)=PGCD(b,r_0)=PGCD(r_0,r_1)=...=PGCD(r_{n-1},r_n)=r_n$

Théorème 2 :

Lorsque b ne divise pas a, le

est le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide.

Théorème 3 :

a et b sont deux entiers naturels non nuls.

L’ensemble des diviseurs communs à a et b est l’ensemble des diviseurs de .
Quel que soit l’entier c>0, $PGCD(ac,bc)=c\,\times \,PGCD(a,b)$ .

3.Nombres premiers entre eux.

Définition 2 :

Dire que deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux signifie que leur PGCD est égal à 1.

Théorème 4 : caractérisation du PGCD.

a et b sont deux entiers naturels non nuls

$\Delta$ est le équivaut à il existe deux entiers naturels a’ et b’ tels que : $a=\Delta\,a'$ , $b=\Delta\,b'$ et .

Cette publication est également disponible en : English (Anglais) Español (Espagnol) العربية (Arabe)

Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «pGCD de deux entiers naturels : cours de maths en terminale en PDF.» au format PDF.

D'autres fiches dans la section cours de maths en terminale S

Télécharger nos applications gratuites avec tous les cours et exercices corrigés.

D'autres fiches similaires à pGCD de deux entiers naturels : cours de maths en terminale en PDF..

Arithmétique : cours de maths en terminale spécialité.
89
L'arithmétique dans un cours de maths en terminale spécialité. Ce cours fait intervenir les notions de divisibilité, multiples, diviseurs, congruences, les nombres premiers et la décomposition en facteur premier d'un nombre entier. Egalement la division Euclidienne, le théorème de Bézout et le théorème de Gauss. I. Divisibilité. Définition : Soient…
Divisibilité et congruences : cours de maths en terminale spécialité en PDF.
89
Un cours d'arithmétique en terminale spécialité sur la divisibilité et les congruences.Dans cette leçon, nous aborderons la divisibilité dans et la division euclidienne dans et ainsi que les entiers congrus modulo n et les propriétés des congruences. I. Divisibilité et division euclidienne. 1.Divisibilité dans Z. Définition : a et b sont deux entiers…
Les probabilités conditionnelles : cours de maths en terminale en PDF.
88
Cours sur les probabilités conditionnelles. Dans cette leçon, désigne un univers, A et B deux événements de et P une probabilité sur . I. Probabilités conditionnelles et arbres pondérés. 1. Probabilités conditionnelles. Définition : Si , la probabilité de B sachant A, notée , est définie par :. 2.Application aux…

Les dernières fiches mises à jour.

Voici les dernières ressources similaires à pGCD de deux entiers naturels : cours de maths en terminale en PDF. mis à jour sur Mathovore (des cours, exercices, des contrôles et autres), rédigées par notre équipe d'enseignants.

Mathovore c'est 13 624 650 cours et exercices de maths téléchargés en PDF.