Contrôle de maths Terminale : continuité et valeurs intermédiaires

Exercice 1 : Continuité d’une fonction définie par morceaux (4 points)

Calculatrice autorisée.

Soit \(a\) et \(m\) deux réels. On considère :

• la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{x^2 – 4}{x – 2}\) si \(x \neq 2\), et \(f(2) = a\) ;
• la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = e^x + m\) si \(x < 0\), et \(g(x) = x^2 + 3\) si \(x \geq\, 0\).

1. Simplifier \(f(x)\) pour \(x \neq 2\), puis déterminer \(\lim_{x \to 2} f(x)\). (1 point)
2. Pour quelle valeur de \(a\) la fonction \(f\) est-elle continue en 2 ? (1 point)
3. Déterminer la limite de \(g(x)\) quand \(x\) tend vers 0 par valeurs inférieures, et la valeur de \(g(0)\). En déduire la valeur de \(m\) pour laquelle \(g\) est continue en 0. (1,5 point)
4. Pour cette valeur de \(m\), justifier que \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\). (0,5 point)

Exercice 2 : Lire un tableau de variations (3 points)

Une fonction \(f\) continue sur \([-3 \,;\, 5]\) a le tableau de variations suivant (les flèches indiquent que \(f\) est strictement monotone sur chaque intervalle).

Dans chaque cas, donner le nombre de solutions de l’équation sur \([-3 \,;\, 5]\), en justifiant, et préciser dans quel intervalle se trouve chacune d’elles.

1. \(f(x) = 0\). (1 point)
2. \(f(x) = 3\). (1 point)
3. \(f(x) = 6\). (1 point)

Exercice 3 : Une solution unique et son encadrement (5 points)

On s’intéresse à l’équation \(x^3 + x = 3\). On note \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = x^3 + x\). Sa courbe \(\mathcal{C}_g\) et la droite d’équation \(y = 3\) sont tracées ci-dessous.

1. Calculer \(g^{\prime}(x)\) et en déduire les variations de \(g\) sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
2. Déterminer les limites de \(g\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\). (0,5 point)
3. Démontrer que l’équation \(g(x) = 3\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\), et que \(1 < \alpha < 2\). (1,5 point)
4. Par balayage à la calculatrice, donner un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(10^{-1}\), puis d’amplitude \(10^{-2}\). (1 point)
5. En déduire le signe de \(g(x) – 3\) selon les valeurs du réel \(x\). (1 point)

Exercice 4 : Méthode de dichotomie en Python (4 points)

On considère la fonction \(h\) définie sur \([0 \,;\, 1]\) par \(h(x) = e^x + x – 2\).

1. Démontrer que l’équation \(h(x) = 0\) admet une unique solution \(\beta\) dans \([0 \,;\, 1]\). (1,5 point)
2. La fonction Python ci-dessous doit renvoyer un encadrement de \(\beta\) d’amplitude inférieure ou égale à \(p\) par la méthode de dichotomie. Recopier et compléter les trois lignes pointillées. (1,5 point)

   from math import exp
   
   def h(x):
       return exp(x) + x - 2
   
   def dichotomie(p):
       a = 0
       b = 1
       while ............ :
           m = (a + b) / 2
           if ............ :
               a = m
           else:
               ............
       return a, b

3. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en exécutant à la main les trois premiers passages dans la boucle (valeurs de \(h(m)\) arrondies au millième). Quel encadrement de \(\beta\) obtient-on alors ? (1 point)
   

   Passage	\(a\)	\(b\)	\(m\)	\(h(m)\)	nouvel intervalle
   1	0	1
   2
   3

Exercice 5 : La vitesse d’un parachutiste (4 points)

Lors d’un saut, avant l’ouverture du parachute, la vitesse de Nadia, en mètres par seconde, est modélisée \(t\) secondes après le départ par la fonction \(v\) définie sur \([0 \,;\, +\infty[\) par \(v(t) = 50(1 – e^{-0{,}2t})\).

1. Calculer \(v^{\prime}(t)\) et en déduire les variations de \(v\) sur \([0 \,;\, +\infty[\). (1 point)
2. Déterminer \(\lim_{t \to +\infty} v(t)\) et interpréter ce résultat. (0,5 point)
3. Démontrer qu’il existe un unique instant \(t_0\) auquel la vitesse de Nadia atteint \(40\) m/s. (1,5 point)
4. Donner un encadrement de \(t_0\) d’amplitude \(10^{-2}\). (0,5 point)
5. Nadia peut-elle atteindre la vitesse de \(50\) m/s ? Justifier. (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : continuité et valeurs intermédiaires

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Fonction continue » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés continuité et théorème des valeurs intermédiaires.

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