Corrigé du bac de maths 2023 en Amérique du Nord (jour 2)

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. Les variations de \(f\) se lisent sur le signe de \(f^{\prime}\), c’est-à-dire sur la position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses. La courbe est au-dessus de l’axe jusqu’à environ \(x\approx 0{,}4\), en dessous entre \(0{,}4\) et environ \(2{,}6\), puis de nouveau au-dessus. Donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,0{,}4]\), décroissante sur \([0{,}4\,;\,2{,}6]\) et croissante sur \([2{,}6\,;\,+\infty[\) (valeurs approchées).

2. Une fonction dérivable est convexe là où sa dérivée est croissante. Sur le graphique, \(f^{\prime}\) monte jusqu’à son maximum en \(x=-1\), descend jusqu’à son minimum en \(x=2\), puis remonte. Donc \(f\) semble convexe sur \(]-\infty\,;\,-1]\) et sur \([2\,;\,+\infty[\) (et concave entre \(-1\) et 2).

Partie B

1. a. Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), le trinôme \(x^2-5x+6\) se comporte comme son terme de plus haut degré \(x^2\), donc tend vers \(+\infty\) ; de plus \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{e}^x=+\infty\). Par produit, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

b. En \(-\infty\), on a une forme indéterminée « \(+\infty\times 0\) ». On développe : \(f(x)=x^2\text{e}^x-5x\text{e}^x+6\text{e}^x\). Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2\text{e}^x=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\text{e}^x=0\), et bien sûr \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\text{e}^x=0\). Par somme, \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0\) : l’axe des abscisses est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}\) en \(-\infty\).

2. \(f\) est le produit \(u\times v\) avec \(u(x)=x^2-5x+6\), \(u^{\prime}(x)=2x-5\), et \(v(x)=\text{e}^x=v^{\prime}(x)\). Avec \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\) :

\[f^{\prime}(x)=(2x-5)\text{e}^x+(x^2-5x+6)\text{e}^x=(x^2-5x+6+2x-5)\text{e}^x=(x^2-3x+1)\text{e}^x.\]

On retrouve bien \(f^{\prime}(x)=(x^2-3x+1)\text{e}^x\).

3. Comme \(\text{e}^x\gt 0\) pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe du trinôme \(x^2-3x+1\). Son discriminant vaut \(\Delta=(-3)^2-4\times 1\times 1=5\gt 0\), il a donc deux racines :

\[x_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0{,}38\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\approx 2{,}62.\]

Le coefficient de \(x^2\) est positif, donc le trinôme est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles :

Conclusion : \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}]\), décroissante sur \([\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\,;\,\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}]\) et croissante sur \([\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\,;\,+\infty[\), ce qui confirme les valeurs approchées 0,4 et 2,6 lues dans la partie A.

4. L’équation de la tangente au point d’abscisse 0 est \(y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)\). Or \(f(0)=(0-0+6)\text{e}^0=6\) et \(f^{\prime}(0)=(0-0+1)\text{e}^0=1\). Donc \((\mathcal{T})\ :\ y=x+6\).

5. a. La convexité est donnée par le signe de \(f^{\prime\prime}(x)=(x+1)(x-2)\text{e}^x\). L’exponentielle est strictement positive ; le produit \((x+1)(x-2)\) est un trinôme de coefficient dominant positif, de racines \(-1\) et 2, donc positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles.

\(f\) est convexe sur \(]-\infty\,;\,-1]\) et sur \([2\,;\,+\infty[\), concave sur \([-1\,;\,2]\) ; la courbe \(\mathcal{C}\) admet deux points d’inflexion, d’abscisses \(-1\) et 2 (où \(f^{\prime\prime}\) s’annule en changeant de signe). C’est cohérent avec la lecture graphique de la partie A.

b. Sur l’intervalle \([-1\,;\,2]\), \(f\) est concave : sa courbe est donc située en dessous de chacune de ses tangentes en un point de cet intervalle. Le point d’abscisse 0 appartient à \([-1\,;\,2]\), et la tangente en ce point est la droite \((\mathcal{T})\) d’équation \(y=x+6\). Ainsi, pour tout \(x\in[-1\,;\,2]\), le point de \(\mathcal{C}\) d’abscisse \(x\) est sous \((\mathcal{T})\), c’est-à-dire \(f(x)\leq\, x+6\).

Exercice 2 :

1. Entre 2023 et 2024, le club A perd 15 % de ses 1 700 membres, soit \(0{,}15\times 1\,700=255\) sportifs, et reçoit 10 % des 1 300 membres du club B, soit \(0{,}10\times 1\,300=130\) sportifs. Donc \(a_1=1\,700-255+130=1\,575\). De même \(b_1=1\,300-130+255=1\,425\). En 2024, le club A compte 1 575 membres et le club B 1 425 membres.

2. Aucun sportif ne quitte le groupe et chacun est dans l’un des deux clubs : l’effectif total reste égal à 3 000. Donc, pour tout entier naturel \(n\), \(a_n+b_n=3\,000\).

3. Chaque année, le club A garde 85 % de ses membres et récupère 10 % de ceux du club B : \(a_{n+1}=0{,}85\,a_n+0{,}1\,b_n\). D’après la question 2, \(b_n=3\,000-a_n\), d’où :

\[a_{n+1}=0{,}85\,a_n+0{,}1(3\,000-a_n)=0{,}85\,a_n-0{,}1\,a_n+300=0{,}75\,a_n+300.\]

4. a. Pour tout entier naturel \(n\), notons \(P(n)\) la propriété : « \(1\,200\leq\, a_{n+1}\leq\, a_n\leq\, 1\,700\) ».

Initialisation. \(a_0=1\,700\) et \(a_1=1\,575\) : on a bien \(1\,200\leq\, 1\,575\leq\, 1\,700\leq\, 1\,700\), donc \(P(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(P(n)\) est vraie : \(1\,200\leq\, a_{n+1}\leq\, a_n\leq\, 1\,700\). La fonction \(g : x\mapsto 0{,}75x+300\) est croissante (coefficient directeur positif), donc elle conserve l’ordre :

\[g(1\,200)\leq\, g(a_{n+1})\leq\, g(a_n)\leq\, g(1\,700),\quad\text{soit}\quad 1\,200\leq\, a_{n+2}\leq\, a_{n+1}\leq\, 1\,575.\]

Comme \(1\,575\leq\, 1\,700\), on obtient \(1\,200\leq\, a_{n+2}\leq\, a_{n+1}\leq\, 1\,700\) : \(P(n+1)\) est vraie.

Conclusion. \(P(0)\) est vraie et la propriété est héréditaire ; par le principe de récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(1\,200\leq\, a_{n+1}\leq\, a_n\leq\, 1\,700\).

b. L’inégalité \(a_{n+1}\leq\, a_n\) pour tout \(n\) montre que \((a_n)\) est décroissante, et \(a_n\geq\, 1\,200\) montre qu’elle est minorée par 1 200. D’après le théorème de convergence monotone, une suite décroissante et minorée converge : la suite \((a_n)\) est convergente.

5. a. Pour tout entier naturel \(n\) :

\[v_{n+1}=a_{n+1}-1\,200=0{,}75\,a_n+300-1\,200=0{,}75\,a_n-900=0{,}75(a_n-1\,200)=0{,}75\,v_n.\]

De plus \(v_0=a_0-1\,200=500\). La suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}75\) et de premier terme \(v_0=500\).

b. Par la formule du terme général d’une suite géométrique : \(v_n=500\times 0{,}75^n\) pour tout entier naturel \(n\).

c. Puisque \(v_n=a_n-1\,200\), on a \(a_n=v_n+1\,200\), donc \(a_n=500\times 0{,}75^n+1\,200\).

6. a. Comme \(0\lt 0{,}75\lt 1\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}0{,}75^n=0\), donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}500\times 0{,}75^n=0\) et, par somme, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_n=1\,200\).

b. Sur le long terme, le nombre de membres du club A va se stabiliser autour de 1 200, et comme l’effectif total reste de 3 000, le club B va se stabiliser autour de 1 800 membres.

7. a. La boucle doit continuer tant que le nombre de membres du club A n’est pas strictement inférieur à 1 280, c’est-à-dire tant que \(A\geq\, 1\,280\). À chaque tour, on passe à l’année suivante et on applique la relation de récurrence ; à la sortie, on renvoie le rang \(n\) :

def seuil() :
    n = 0
    A = 1700
    while A >= 1280 :
        n=n+1
        A = 0.75*A + 300
    return n

b. On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(a_n\lt 1\,280\) :

\[500\times 0{,}75^n+1\,200\lt 1\,280\iff 0{,}75^n\lt \dfrac{80}{500}=0{,}16\iff n\ln(0{,}75)\lt \ln(0{,}16)\iff n\gt \dfrac{\ln(0{,}16)}{\ln(0{,}75)}.\]

On a changé le sens de l’inégalité car \(\ln(0{,}75)\lt 0\). Or \(\dfrac{\ln(0{,}16)}{\ln(0{,}75)}\approx 6{,}37\). Vérification : \(a_6\approx 1\,289\) et \(a_7\approx 1\,267\). La fonction seuil renvoie 7 : c’est en 2030 que le club A passe pour la première fois sous les 1 280 membres.

Exercice 3 :

1. a. On soustrait les coordonnées de l’origine à celles de l’extrémité :

\[\vec{\text{EF}}\begin{pmatrix}-1-3\\2-(-2)\\1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\4\\2\end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad\vec{\text{FG}}\begin{pmatrix}3-(-1)\\2-2\\-3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}.\]

b. Si les vecteurs étaient colinéaires, il existerait un réel \(k\) tel que \(\vec{\text{EF}}=k\,\vec{\text{FG}}\). La deuxième coordonnée donnerait \(4=k\times 0=0\), ce qui est impossible. Les vecteurs \(\vec{\text{EF}}\) et \(\vec{\text{FG}}\) ne sont donc pas colinéaires : les points E, F et G ne sont pas alignés (ils définissent donc un plan).

2. a. La droite (FG) passe par F\((-1\,;\,2\,;\,1)\) et est dirigée par \(\vec{\text{FG}}\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}\). Une représentation paramétrique est :

\[(\text{FG})\ :\ \{\begin{array}{l}x=-1+4t\\y=2\\z=1-4t\end{array}.\qquad t\in\mathbb{R}.\]

b. Deux conditions sont à vérifier : H appartient à (FG), et \(\vec{\text{EH}}\) est orthogonal à \(\vec{\text{FG}}\).

Appartenance : avec \(t=\dfrac{3}{4}\), on obtient \(x=-1+3=2\), \(y=2\) et \(z=1-3=-2\) : ce sont les coordonnées de H, donc H \(\in\) (FG).

Orthogonalité : \(\vec{\text{EH}}\begin{pmatrix}2-3\\2+2\\-2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{EH}}\cdot\vec{\text{FG}}=(-1)\times 4+4\times 0+(-1)\times (-4)=0\).

Donc H est bien le projeté orthogonal de E sur la droite (FG).

c. D’après b., le segment [EH] est la hauteur du triangle EFG issue de E, relative à la base [FG]. On calcule les longueurs :

\[\text{EH}=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\qquad\text{et}\qquad\text{FG}=\sqrt{4^2+0^2+(-4)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.\]

L’aire vaut alors \(\dfrac{\text{FG}\times \text{EH}}{2}=\dfrac{4\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{12\times 2}{2}=12\). L’aire du triangle EFG est bien de \(12\ \text{cm}^2\).

3. a. Un vecteur est normal à un plan s’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. On utilise \(\vec{\text{EF}}\) et \(\vec{\text{FG}}\), non colinéaires d’après la question 1.b :

\[\vec{n}\cdot\vec{\text{EF}}=2\times (-4)+1\times 4+2\times 2=0\qquad\text{et}\qquad\vec{n}\cdot\vec{\text{FG}}=2\times 4+1\times 0+2\times (-4)=0.\]

\(\vec{n}\) est donc un vecteur normal au plan (EFG).

b. Le plan (EFG) admet une équation de la forme \(2x+y+2z+d=0\). Il contient E\((3\,;\,-2\,;\,-1)\), donc \(6-2-2+d=0\), soit \(d=-2\). Une équation cartésienne de (EFG) est \(2x+y+2z-2=0\). (Contrôle avec F : \(-2+2+2-2=0\) ; avec G : \(6+2-6-2=0\).)

c. La droite \((d)\), orthogonale au plan (EFG), a pour vecteur directeur le vecteur normal \(\vec{n}\), et elle passe par D\((3\,;\,1\,;\,5)\) :

\[(d)\ :\ \{\begin{array}{l}x=3+2t\\y=1+t\\z=5+2t\end{array}.\qquad t\in\mathbb{R}.\]

d. Le point K est le point d’intersection de la droite \((d)\) avec le plan (EFG). On remplace \(x\), \(y\) et \(z\) de la représentation de \((d)\) dans l’équation du plan :

\[2(3+2t)+(1+t)+2(5+2t)-2=0\iff 9t+15=0\iff t=-\dfrac{5}{3}.\]

On en déduit \(x_K=3-\dfrac{10}{3}=-\dfrac{1}{3}\), \(y_K=1-\dfrac{5}{3}=-\dfrac{2}{3}\) et \(z_K=5-\dfrac{10}{3}=\dfrac{5}{3}\). K a pour coordonnées \((-\dfrac{1}{3}\,;\,-\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{5}{3})\).

4. a. \(\vec{\text{DK}}\) a pour coordonnées \((-\dfrac{10}{3}\,;\,-\dfrac{5}{3}\,;\,-\dfrac{10}{3})\), c’est-à-dire \(-\dfrac{5}{3}\vec{n}\). Donc :

\[\text{DK}=\sqrt{\dfrac{100}{9}+\dfrac{25}{9}+\dfrac{100}{9}}=\sqrt{\dfrac{225}{9}}=\sqrt{25}=5.\]

La distance DK est bien égale à 5 cm.

b. Dans le tétraèdre DEFG, prenons pour base le triangle EFG, d’aire 12 cm². Comme K est le projeté orthogonal de D sur le plan (EFG), la hauteur associée est DK = 5 cm. Le volume d’une pyramide est \(\dfrac{1}{3}\times \text{aire de la base}\times \text{hauteur}\) :

\[V=\dfrac{1}{3}\times 12\times 5=20.\]

Le volume du tétraèdre DEFG est de \(20\ \text{cm}^3\).

Exercice 4 :

1. Réponse b. Pour \(x\gt 1\), on écrit \(\dfrac{\ln x}{x-1}=\dfrac{\ln x}{x}\times \dfrac{x}{x-1}\). Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\), et \(\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1}{1-\frac{1}{x}}\) tend vers 1. Le quotient tend donc vers 0 et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0{,}05\).

2. Réponse c. \(h\) est continue sur \([1\,;\,3]\), avec \(h(3)=-1\) et \(h(1)=4\) ; le réel 1 est compris entre \(-1\) et 4, donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel \(a\in[1\,;\,3]\) tel que \(h(a)=1\). Les autres affirmations ne sont pas garanties : trois valeurs ne disent rien des variations ni du signe entre ces points (a et b), et on sait seulement qu’il y a au moins une solution sur \([-1\,;\,1]\) et au moins une sur \([1\,;\,3]\), rien n’empêche d’en avoir davantage (d).

3. Réponse b. \((v_n)\) tend vers 0 et \((u_n)\) tend vers \(+\infty\), donc par quotient \(\dfrac{v_n}{u_n}\) tend vers 0 : la suite converge. La a est fausse car \(\dfrac{1}{v_n}\) tend vers \(+\infty\) (les \(v_n\) sont positifs). La c est fausse : une suite peut tendre vers \(+\infty\) sans être croissante, par exemple \(u_n=n+(-1)^n\). La d est fausse : \((-u_n)^n\) change de signe selon la parité de \(n\), elle n’a pas de limite.

4. Réponse d. Notons \(G\) le gain algébrique du joueur (gain moins mise). Avec un dé équilibré : obtenir 1 a une probabilité \(\dfrac{1}{6}\) et donne \(G=12-4=8\) ; obtenir 2, 4 ou 6 a une probabilité \(\dfrac{3}{6}\) et donne \(G=3-4=-1\) ; obtenir 3 ou 5 a une probabilité \(\dfrac{2}{6}\) et donne \(G=-4\).

\[E(G)=8\times \dfrac{1}{6}+(-1)\times \dfrac{3}{6}+(-4)\times \dfrac{2}{6}=\dfrac{8-3-8}{6}=-\dfrac{1}{2}.\]

En moyenne, le joueur perd 0,50 € par partie.

5. Réponse c. Pour la loi \(\mathcal{B}(3\,;\,p)\), \(P(X=0)=(1-p)^3\). Donc \((1-p)^3=\dfrac{1}{125}=(\dfrac{1}{5})^3\), d’où \(1-p=\dfrac{1}{5}\) (la fonction cube est strictement croissante) et \(p=\dfrac{4}{5}\). On peut vérifier que b et d sont fausses : \(P(X=1)=3\times \dfrac{4}{5}\times (\dfrac{1}{5})^2=\dfrac{12}{125}\).

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