Corrigé bac 2023 : la correction en un coup d’œil
Tout d’abord, ce corrigé bac 2023 porte sur l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 en Amérique du Nord (jour 2), dont chaque question est corrigée et justifiée. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants. De plus, on y mobilise surtout la fonction exponentielle, la convexité, la fonction logarithme népérien et la géométrie dans l’espace. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 60 minutes par exercice, relecture comprise. Par conséquent, la correction sert autant à contrôler un résultat qu’à apprendre la rédaction attendue le jour de l’examen.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Partie A
1. Les variations de \(f\) se lisent sur le signe de \(f^{\prime}\), c’est-à-dire sur la position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses. La courbe est au-dessus de l’axe jusqu’à environ \(x\approx 0{,}4\), en dessous entre \(0{,}4\) et environ \(2{,}6\), puis de nouveau au-dessus. Donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,0{,}4]\), décroissante sur \([0{,}4\,;\,2{,}6]\) et croissante sur \([2{,}6\,;\,+\infty[\) (valeurs approchées).
2. Une fonction dérivable est convexe là où sa dérivée est croissante. Sur le graphique, \(f^{\prime}\) monte jusqu’à son maximum en \(x=-1\), descend jusqu’à son minimum en \(x=2\), puis remonte. Donc \(f\) semble convexe sur \(]-\infty\,;\,-1]\) et sur \([2\,;\,+\infty[\) (et concave entre \(-1\) et 2).
Partie B
1. a. Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), le trinôme \(x^2-5x+6\) se comporte comme son terme de plus haut degré \(x^2\), donc tend vers \(+\infty\) ; de plus \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{e}^x=+\infty\). Par produit, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
b. En \(-\infty\), on a une forme indéterminée « \(+\infty\times 0\) ». On développe : \(f(x)=x^2\text{e}^x-5x\text{e}^x+6\text{e}^x\). Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2\text{e}^x=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\text{e}^x=0\), et bien sûr \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\text{e}^x=0\). Par somme, \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0\) : l’axe des abscisses est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}\) en \(-\infty\).
2. \(f\) est le produit \(u\times v\) avec \(u(x)=x^2-5x+6\), \(u^{\prime}(x)=2x-5\), et \(v(x)=\text{e}^x=v^{\prime}(x)\). Avec \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\) :
\[f^{\prime}(x)=(2x-5)\text{e}^x+(x^2-5x+6)\text{e}^x=(x^2-5x+6+2x-5)\text{e}^x=(x^2-3x+1)\text{e}^x.\]
On retrouve bien \(f^{\prime}(x)=(x^2-3x+1)\text{e}^x\).
3. Comme \(\text{e}^x\gt 0\) pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe du trinôme \(x^2-3x+1\). Son discriminant vaut \(\Delta=(-3)^2-4\times 1\times 1=5\gt 0\), il a donc deux racines :
\[x_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0{,}38\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\approx 2{,}62.\]
Le coefficient de \(x^2\) est positif, donc le trinôme est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles :
| \(x\) | \(-\infty\) … \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) | \(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) … \(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) | \(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) … \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime}(x)\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) |
| variations de \(f\) | croissante | décroissante | croissante |
Conclusion : \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}]\), décroissante sur \([\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\,;\,\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}]\) et croissante sur \([\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\,;\,+\infty[\), ce qui confirme les valeurs approchées 0,4 et 2,6 lues dans la partie A.
Exercice 1 du corrigé bac 2023, partie B : questions 4 à 5
4. L’équation de la tangente au point d’abscisse 0 est \(y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)\). Or \(f(0)=(0-0+6)\text{e}^0=6\) et \(f^{\prime}(0)=(0-0+1)\text{e}^0=1\). Donc \((\mathcal{T})\ :\ y=x+6\).
5. a. La convexité est donnée par le signe de \(f^{\prime\prime}(x)=(x+1)(x-2)\text{e}^x\). L’exponentielle est strictement positive ; le produit \((x+1)(x-2)\) est un trinôme de coefficient dominant positif, de racines \(-1\) et 2, donc positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles.
| \(x\) | \(-\infty\) … \(-1\) | \(-1\) … \(2\) | \(2\) … \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime\prime}(x)\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) |
| \(f\) | convexe | concave | convexe |
\(f\) est convexe sur \(]-\infty\,;\,-1]\) et sur \([2\,;\,+\infty[\), concave sur \([-1\,;\,2]\) ; la courbe \(\mathcal{C}\) admet deux points d’inflexion, d’abscisses \(-1\) et 2 (où \(f^{\prime\prime}\) s’annule en changeant de signe). C’est cohérent avec la lecture graphique de la partie A.
b. Sur l’intervalle \([-1\,;\,2]\), \(f\) est concave : sa courbe est donc située en dessous de chacune de ses tangentes en un point de cet intervalle. Le point d’abscisse 0 appartient à \([-1\,;\,2]\), et la tangente en ce point est la droite \((\mathcal{T})\) d’équation \(y=x+6\). Ainsi, pour tout \(x\in[-1\,;\,2]\), le point de \(\mathcal{C}\) d’abscisse \(x\) est sous \((\mathcal{T})\), c’est-à-dire \(f(x)\leq\, x+6\).
Exercice 2 :
1. Entre 2023 et 2024, le club A perd 15 % de ses 1 700 membres, soit \(0{,}15\times 1\,700=255\) sportifs, et reçoit 10 % des 1 300 membres du club B, soit \(0{,}10\times 1\,300=130\) sportifs. Donc \(a_1=1\,700-255+130=1\,575\). De même \(b_1=1\,300-130+255=1\,425\). En 2024, le club A compte 1 575 membres et le club B 1 425 membres.
2. Aucun sportif ne quitte le groupe et chacun est dans l’un des deux clubs : l’effectif total reste égal à 3 000. Donc, pour tout entier naturel \(n\), \(a_n+b_n=3\,000\).
3. Chaque année, le club A garde 85 % de ses membres et récupère 10 % de ceux du club B : \(a_{n+1}=0{,}85\,a_n+0{,}1\,b_n\). D’après la question 2, \(b_n=3\,000-a_n\), d’où :
\[a_{n+1}=0{,}85\,a_n+0{,}1(3\,000-a_n)=0{,}85\,a_n-0{,}1\,a_n+300=0{,}75\,a_n+300.\]
4. a. Pour tout entier naturel \(n\), notons \(P(n)\) la propriété : « \(1\,200\leq\, a_{n+1}\leq\, a_n\leq\, 1\,700\) ».
Initialisation. \(a_0=1\,700\) et \(a_1=1\,575\) : on a bien \(1\,200\leq\, 1\,575\leq\, 1\,700\leq\, 1\,700\), donc \(P(0)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(P(n)\) est vraie : \(1\,200\leq\, a_{n+1}\leq\, a_n\leq\, 1\,700\). La fonction \(g : x\mapsto 0{,}75x+300\) est croissante (coefficient directeur positif), donc elle conserve l’ordre :
\[g(1\,200)\leq\, g(a_{n+1})\leq\, g(a_n)\leq\, g(1\,700),\quad\text{soit}\quad 1\,200\leq\, a_{n+2}\leq\, a_{n+1}\leq\, 1\,575.\]
Comme \(1\,575\leq\, 1\,700\), on obtient \(1\,200\leq\, a_{n+2}\leq\, a_{n+1}\leq\, 1\,700\) : \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion. \(P(0)\) est vraie et la propriété est héréditaire ; par le principe de récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(1\,200\leq\, a_{n+1}\leq\, a_n\leq\, 1\,700\).
Exercice 2 du corrigé bac 2023 : questions 5 à 7
b. L’inégalité \(a_{n+1}\leq\, a_n\) pour tout \(n\) montre que \((a_n)\) est décroissante, et \(a_n\geq\, 1\,200\) montre qu’elle est minorée par 1 200. D’après le théorème de convergence monotone, une suite décroissante et minorée converge : la suite \((a_n)\) est convergente.
5. a. Pour tout entier naturel \(n\) :
\[v_{n+1}=a_{n+1}-1\,200=0{,}75\,a_n+300-1\,200=0{,}75\,a_n-900=0{,}75(a_n-1\,200)=0{,}75\,v_n.\]
De plus \(v_0=a_0-1\,200=500\). La suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}75\) et de premier terme \(v_0=500\).
b. Par la formule du terme général d’une suite géométrique : \(v_n=500\times 0{,}75^n\) pour tout entier naturel \(n\).
c. Puisque \(v_n=a_n-1\,200\), on a \(a_n=v_n+1\,200\), donc \(a_n=500\times 0{,}75^n+1\,200\).
6. a. Comme \(0\lt 0{,}75\lt 1\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}0{,}75^n=0\), donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}500\times 0{,}75^n=0\) et, par somme, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_n=1\,200\).
b. Sur le long terme, le nombre de membres du club A va se stabiliser autour de 1 200, et comme l’effectif total reste de 3 000, le club B va se stabiliser autour de 1 800 membres.
7. a. La boucle doit continuer tant que le nombre de membres du club A n’est pas strictement inférieur à 1 280, c’est-à-dire tant que \(A\geq\, 1\,280\). À chaque tour, on passe à l’année suivante et on applique la relation de récurrence ; à la sortie, on renvoie le rang \(n\) :
def seuil() :
n = 0
A = 1700
while A >= 1280 :
n=n+1
A = 0.75*A + 300
return n
b. On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(a_n\lt 1\,280\) :
\[500\times 0{,}75^n+1\,200\lt 1\,280\iff 0{,}75^n\lt \dfrac{80}{500}=0{,}16\iff n\ln(0{,}75)\lt \ln(0{,}16)\iff n\gt \dfrac{\ln(0{,}16)}{\ln(0{,}75)}.\]
On a changé le sens de l’inégalité car \(\ln(0{,}75)\lt 0\). Or \(\dfrac{\ln(0{,}16)}{\ln(0{,}75)}\approx 6{,}37\). Vérification : \(a_6\approx 1\,289\) et \(a_7\approx 1\,267\). La fonction seuil renvoie 7 : c’est en 2030 que le club A passe pour la première fois sous les 1 280 membres.
Exercice 3 :
1. a. On soustrait les coordonnées de l’origine à celles de l’extrémité :
\[\vec{\text{EF}}\begin{pmatrix}-1-3\\2-(-2)\\1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\4\\2\end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad\vec{\text{FG}}\begin{pmatrix}3-(-1)\\2-2\\-3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}.\]
b. Si les vecteurs étaient colinéaires, il existerait un réel \(k\) tel que \(\vec{\text{EF}}=k\,\vec{\text{FG}}\). La deuxième coordonnée donnerait \(4=k\times 0=0\), ce qui est impossible. Les vecteurs \(\vec{\text{EF}}\) et \(\vec{\text{FG}}\) ne sont donc pas colinéaires : les points E, F et G ne sont pas alignés (ils définissent donc un plan).
2. a. La droite (FG) passe par F\((-1\,;\,2\,;\,1)\) et est dirigée par \(\vec{\text{FG}}\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}\). Une représentation paramétrique est :
\[(\text{FG})\ :\ \{\begin{array}{l}x=-1+4t\\y=2\\z=1-4t\end{array}.\qquad t\in\mathbb{R}.\]
b. Deux conditions sont à vérifier : H appartient à (FG), et \(\vec{\text{EH}}\) est orthogonal à \(\vec{\text{FG}}\).
Appartenance : avec \(t=\dfrac{3}{4}\), on obtient \(x=-1+3=2\), \(y=2\) et \(z=1-3=-2\) : ce sont les coordonnées de H, donc H \(\in\) (FG).
Orthogonalité : \(\vec{\text{EH}}\begin{pmatrix}2-3\\2+2\\-2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{EH}}\cdot\vec{\text{FG}}=(-1)\times 4+4\times 0+(-1)\times (-4)=0\).
Donc H est bien le projeté orthogonal de E sur la droite (FG).
c. D’après b., le segment [EH] est la hauteur du triangle EFG issue de E, relative à la base [FG]. On calcule les longueurs :
\[\text{EH}=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\qquad\text{et}\qquad\text{FG}=\sqrt{4^2+0^2+(-4)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.\]
L’aire vaut alors \(\dfrac{\text{FG}\times \text{EH}}{2}=\dfrac{4\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{12\times 2}{2}=12\). L’aire du triangle EFG est bien de \(12\ \text{cm}^2\).
Exercice 3 du corrigé bac 2023 : questions 3 à 4
3. a. Un vecteur est normal à un plan s’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. On utilise \(\vec{\text{EF}}\) et \(\vec{\text{FG}}\), non colinéaires d’après la question 1.b :
\[\vec{n}\cdot\vec{\text{EF}}=2\times (-4)+1\times 4+2\times 2=0\qquad\text{et}\qquad\vec{n}\cdot\vec{\text{FG}}=2\times 4+1\times 0+2\times (-4)=0.\]
\(\vec{n}\) est donc un vecteur normal au plan (EFG).
b. Le plan (EFG) admet une équation de la forme \(2x+y+2z+d=0\). Il contient E\((3\,;\,-2\,;\,-1)\), donc \(6-2-2+d=0\), soit \(d=-2\). Une équation cartésienne de (EFG) est \(2x+y+2z-2=0\). (Contrôle avec F : \(-2+2+2-2=0\) ; avec G : \(6+2-6-2=0\).)
c. La droite \((d)\), orthogonale au plan (EFG), a pour vecteur directeur le vecteur normal \(\vec{n}\), et elle passe par D\((3\,;\,1\,;\,5)\) :
\[(d)\ :\ \{\begin{array}{l}x=3+2t\\y=1+t\\z=5+2t\end{array}.\qquad t\in\mathbb{R}.\]
d. Le point K est le point d’intersection de la droite \((d)\) avec le plan (EFG). On remplace \(x\), \(y\) et \(z\) de la représentation de \((d)\) dans l’équation du plan :
\[2(3+2t)+(1+t)+2(5+2t)-2=0\iff 9t+15=0\iff t=-\dfrac{5}{3}.\]
On en déduit \(x_K=3-\dfrac{10}{3}=-\dfrac{1}{3}\), \(y_K=1-\dfrac{5}{3}=-\dfrac{2}{3}\) et \(z_K=5-\dfrac{10}{3}=\dfrac{5}{3}\). K a pour coordonnées \((-\dfrac{1}{3}\,;\,-\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{5}{3})\).
4. a. \(\vec{\text{DK}}\) a pour coordonnées \((-\dfrac{10}{3}\,;\,-\dfrac{5}{3}\,;\,-\dfrac{10}{3})\), c’est-à-dire \(-\dfrac{5}{3}\vec{n}\). Donc :
\[\text{DK}=\sqrt{\dfrac{100}{9}+\dfrac{25}{9}+\dfrac{100}{9}}=\sqrt{\dfrac{225}{9}}=\sqrt{25}=5.\]
La distance DK est bien égale à 5 cm.
b. Dans le tétraèdre DEFG, prenons pour base le triangle EFG, d’aire 12 cm². Comme K est le projeté orthogonal de D sur le plan (EFG), la hauteur associée est DK = 5 cm. Le volume d’une pyramide est \(\dfrac{1}{3}\times \text{aire de la base}\times \text{hauteur}\) :
\[V=\dfrac{1}{3}\times 12\times 5=20.\]
Le volume du tétraèdre DEFG est de \(20\ \text{cm}^3\).
Exercice 4 :
1. Réponse b. Pour \(x\gt 1\), on écrit \(\dfrac{\ln x}{x-1}=\dfrac{\ln x}{x}\times \dfrac{x}{x-1}\). Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\), et \(\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1}{1-\frac{1}{x}}\) tend vers 1. Le quotient tend donc vers 0 et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0{,}05\).
2. Réponse c. \(h\) est continue sur \([1\,;\,3]\), avec \(h(3)=-1\) et \(h(1)=4\) ; le réel 1 est compris entre \(-1\) et 4, donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel \(a\in[1\,;\,3]\) tel que \(h(a)=1\). Les autres affirmations ne sont pas garanties : trois valeurs ne disent rien des variations ni du signe entre ces points (a et b), et on sait seulement qu’il y a au moins une solution sur \([-1\,;\,1]\) et au moins une sur \([1\,;\,3]\), rien n’empêche d’en avoir davantage (d).
3. Réponse b. \((v_n)\) tend vers 0 et \((u_n)\) tend vers \(+\infty\), donc par quotient \(\dfrac{v_n}{u_n}\) tend vers 0 : la suite converge. La a est fausse car \(\dfrac{1}{v_n}\) tend vers \(+\infty\) (les \(v_n\) sont positifs). La c est fausse : une suite peut tendre vers \(+\infty\) sans être croissante, par exemple \(u_n=n+(-1)^n\). La d est fausse : \((-u_n)^n\) change de signe selon la parité de \(n\), elle n’a pas de limite.
Exercice 4 : questions 4 à 5
4. Réponse d. Notons \(G\) le gain algébrique du joueur (gain moins mise). Avec un dé équilibré : obtenir 1 a une probabilité \(\dfrac{1}{6}\) et donne \(G=12-4=8\) ; obtenir 2, 4 ou 6 a une probabilité \(\dfrac{3}{6}\) et donne \(G=3-4=-1\) ; obtenir 3 ou 5 a une probabilité \(\dfrac{2}{6}\) et donne \(G=-4\).
\[E(G)=8\times \dfrac{1}{6}+(-1)\times \dfrac{3}{6}+(-4)\times \dfrac{2}{6}=\dfrac{8-3-8}{6}=-\dfrac{1}{2}.\]
En moyenne, le joueur perd 0,50 € par partie.
5. Réponse c. Pour la loi \(\mathcal{B}(3\,;\,p)\), \(P(X=0)=(1-p)^3\). Donc \((1-p)^3=\dfrac{1}{125}=(\dfrac{1}{5})^3\), d’où \(1-p=\dfrac{1}{5}\) (la fonction cube est strictement croissante) et \(p=\dfrac{4}{5}\). On peut vérifier que b et d sont fausses : \(P(X=1)=3\times \dfrac{4}{5}\times (\dfrac{1}{5})^2=\dfrac{12}{125}\).
Corrigé bac 2023 : conseils de révision
D’abord, ouvrez l’énoncé du sujet et traitez un exercice entier sans aide, comme le jour de l’épreuve. Ensuite, comparez votre copie avec la correction ligne par ligne : au-delà du résultat final, regardez surtout la justification attendue. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment la fonction exponentielle ou la convexité, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. En complément, l’article fonction exponentielle de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.
Points de vigilance
- Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
- La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde, pas sur celui de la dérivée : c’est une confusion très courante.
- Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.
Corrigé bac 2023 : questions fréquentes
Où trouver l’énoncé complet ? Il se trouve sur la page du sujet ; ainsi, vous pouvez chercher chaque exercice avant de lire la correction.
Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, la fonction exponentielle, la convexité et la fonction logarithme népérien, mais aussi la géométrie dans l’espace.
Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.
De plus, Retour à l’énoncé : Bac de maths 2023 en Amérique du Nord (jour 2) : sujet et corrigé.
