Contrôle de maths Terminale : raisonnement par récurrence et suites

Exercice 1 : Une formule explicite (3 points)

Calculatrice autorisée.

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 2\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 3u_n – 2\).

1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\). (0,5 point)
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = 3^n + 1\). (2,5 points)

Exercice 2 : Une inégalité avec les puissances de 2 (4 points)

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(2^n \geq\, n + 1\). (3 points)
2. En déduire que la suite \((2^n)\) n’est pas majorée : on pourra montrer que, pour tout réel \(M\), il existe un entier \(n\) tel que \(2^n > M\). (1 point)

Exercice 3 : Suite définie par une fonction (6 points)

Soit \(f\) la fonction définie sur \([0\,;+\infty[\) par \(f(x) = \sqrt{2x + 3}\). On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = f(u_n)\).

On a tracé ci-dessous, dans un repère orthonormé, la courbe \(\mathcal{C}_f\) de \(f\) et la droite d’équation \(y = x\).

1. Sur la figure, construire sur l’axe des abscisses les termes \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\) sans les calculer, en laissant les traits de construction. Quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation de \((u_n)\) ? (1,5 point)
2. Démontrer que la fonction \(f\) est croissante sur \([0\,;+\infty[\) et calculer \(f(3)\). (1 point)
3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 3\). (2,5 points)
4. En déduire le sens de variation de la suite \((u_n)\) et justifier qu’elle est bornée. (1 point)

Exercice 4 : Vrai ou faux sur les suites (3 points)

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Affirmation 1 : la suite \((a_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(a_n = (-1)^n + 2\) est bornée. (1 point)
2. Affirmation 2 : toute suite \((b_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) et croissante est minorée. (1 point)
3. Affirmation 3 : la suite \((w_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(w_n = n^2 – 6n + 1\) est décroissante. (1 point)

Exercice 5 : Les carrés de tuiles de Maëlys (4 points)

Maëlys assemble des tuiles carrées identiques. À l’étape 0, elle pose une seule tuile. Pour passer de l’étape \(n\) à l’étape \(n + 1\), elle ajoute \(2n + 3\) tuiles (en rouge sur la figure). On note \(u_n\) le nombre total de tuiles à l’étape \(n\) : ainsi \(u_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = u_n + 2n + 3\).

1. Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\), puis conjecturer une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\). (1 point)
2. Démontrer cette conjecture par récurrence. (2 points)
3. Maëlys dispose de 2 026 tuiles. Quelle est la dernière étape qu’elle peut réaliser entièrement ? Justifier. (1 point)

Réviser avant le contrôle : raisonnement par récurrence et suites

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Le raisonnement par récurrence » en Terminale et « Les suites numériques » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés la récurrence, suites numériques.

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