Sujet Calédonie 2023 : maths en Nouvelle-Calédonie (jour 2)

Sommaire

Par ailleurs, Voici le sujet de mathématiques du bac 2023 en Nouvelle-Calédonie, deuxième jour de l’épreuve de spécialité, passé le 29 août 2023. De plus, il s’ouvre sur un cube d’arête 1 dans lequel on calcule le volume du tétraèdre FGCK, une équation du plan (CFK) et la distance de G à ce plan, pour en déduire l’aire d’un triangle. On étudie ensuite la fonction \(x \mapsto x\text{e}^{-x}\) : asymptote, variations, convexité et ordonnée à l’origine de ses tangentes. En outre, le troisième exercice porte sur une suite homographique (script Python, récurrence, suite auxiliaire arithmétique) et le dernier est un QCM de probabilités (tableau croisé d’un club sportif, pannes de bus et de train, lancers de pièce). Ensuite, chaque question est reprise dans le corrigé détaillé placé sous l’énoncé.

L’essentiel : Corrigé du bac de maths 2023 en Nouvelle-Calédonie (jour 2) : chaque question est résolue avec les calculs et la méthode attendue. Idéal pour réviser l’examen en se corrigeant ; corrigé gratuit en PDF.

Par ailleurs, le corrigé détaillé de ce sujet est sur une page dédiée : Corrigé du bac de maths 2023 en Nouvelle-Calédonie (jour 2).

De plus, ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

Sujet Calédonie 2023 : organisation de l’épreuve

Avant tout, précisons que ce sujet Calédonie 2023 reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 en Nouvelle-Calédonie (jour 2) dans sa version intégrale. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser la géométrie dans l’espace, la fonction exponentielle, la convexité et l’algorithmique en Python. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — SESSION 2023
Nouvelle-Calédonie — 29 août 2023 — Jour 2
Épreuve d’enseignement de spécialité mathématiques — Durée : 4 heures

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
Le sujet propose 4 exercices.

Exercice 1 (5 points)

On considère le cube ABCDEFGH d’arête 1 représenté ci-dessous.

Ensuite, on note K le milieu du segment [HG].

On se place dans le repère orthonormé \((\text{A} ; \vec{\text{AD}}, \vec{\text{AB}}, \vec{\text{AE}})\).

1. Justifier que les points C, F et K définissent un plan.

2. a. Donner, sans justifier, les longueurs KG, GF et GC.

b. Calculer l’aire du triangle FGC.

c. Calculer le volume du tétraèdre FGCK.

On rappelle que le volume \(V\) d’un tétraèdre est donné par :

\[V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B} \times h,\]

où \(\mathcal{B}\) est l’aire d’une base et \(h\) la hauteur correspondante.

3. a. On note \(\vec{n}\) le vecteur de coordonnées \(\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\).

Démontrer que \(\vec{n}\) est normal au plan (CFK).

b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (CFK) est :

\[x + 2y + z – 3 = 0.\]

4. On note \(\Delta\) la droite passant par le point G et orthogonale au plan (CFK).

Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) est :

\[\{\begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 1 + t \end{array}. \quad (t \in \mathbb{R}))\]

5. Soit L le point d’intersection entre la droite \(\Delta\) et le plan (CFK).

a. Déterminer les coordonnées du point L.

b. En déduire que \(\text{LG} = \dfrac{\sqrt{6}}{6}\).

6. En utilisant la question 2., déterminer la valeur exacte de l’aire du triangle CFK.

Exercice 2 (5 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur \([0 ; +\infty[\) par :

\[f(x) = x\text{e}^{-x}.\]

On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

Par ailleurs, on admet que \(f\) est deux fois dérivable sur \([0 ; +\infty[\).

On note \(f^{\prime}\) sa dérivée et \(f^{\prime\prime}\) sa dérivée seconde.

1. En remarquant que pour tout \(x\) dans \([0 ; +\infty[\), on a

\[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x},\]

démontrer que la courbe \(\mathcal{C}_f\) possède une asymptote en \(+\infty\) dont on donnera une équation.

2. Démontrer que pour tout réel \(x\) appartenant à \([0 ; +\infty[\) :

\[f^{\prime}(x) = (1 – x)\text{e}^{-x}.\]

3. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([0 ; +\infty[\), sur lequel on fera figurer les valeurs aux bornes ainsi que la valeur exacte de l’extremum.

4. Déterminer, sur l’intervalle \([0 ; +\infty[\), le nombre de solutions de l’équation

\[f(x) = \dfrac{367}{1000}.\]

5. On admet que pour tout \(x\) appartenant à \([0 ; +\infty[\) :

\[f^{\prime\prime}(x) = \text{e}^{-x}(x – 2).\]

Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([0 ; +\infty[\).

6. Soit \(a\) un réel appartenant à \([0 ; +\infty[\) et A le point de la courbe \(\mathcal{C}_f\) d’abscisse \(a\).

On note \(T_a\) la tangente à \(\mathcal{C}_f\) en A.

De plus, on note \(\text{H}_a\) le point d’intersection de la droite \(T_a\) et de l’axe des ordonnées.

On note \(g(a)\) l’ordonnée de \(\text{H}_a\).

La situation est représentée sur la figure ci-dessous.

a. Démontrer qu’une équation réduite de la tangente \(T_a\) est :

\[y = [(1 – a)\text{e}^{-a}]x + a^2\text{e}^{-a}.\]

b. En déduire l’expression de \(g(a)\).

c. Démontrer que \(g(a)\) est maximum lorsque A est un point d’inflexion de la courbe \(\mathcal{C}_f\).

Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 3 (5 points)

On considère la suite \((u_n)\) telle que \(u_0 = 0\) et pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_{n+1} = \dfrac{-u_n – 4}{u_n + 3}.\]

On admet que \(u_n\) est défini pour tout entier naturel \(n\).

1. Calculer les valeurs exactes de \(u_1\) et \(u_2\).

2. On considère la fonction terme ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python :

def terme (n) :
    u = ...
    for i in range(n):
        u = ...
    return(u)

On rappelle qu’en langage Python, « i in range (n) » signifie que \(i\) varie de 0 à \(n – 1\).

Recopier et compléter le cadre ci-dessus de sorte que, pour tout entier naturel \(n\), l’instruction terme (n) renvoie la valeur de \(u_n\).

3. Soit la fonction \(f\) définie sur \(]-3 ; +\infty[\) par :

\[f(x) = \dfrac{-x – 4}{x + 3}.\]

Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_{n+1} = f(u_n)\).

Démontrer que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(]-3 ; +\infty[\).

4. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) :

\[-2 \lt u_{n+1} \leq\, u_n.\]

5. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

6. Soit la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[v_n = \dfrac{1}{u_n + 2}.\]

a. Donner \(v_0\).

b. Démontrer que la suite \((v_n)\) est arithmétique de raison 1.

c. En déduire que pour tout entier naturel \(n \geq\, 1\) :

\[u_n = \dfrac{1}{n + 0{,}5} – 2.\]

d. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

Exercice 4 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n’enlève de point.

L’énoncé ci-dessous est commun aux questions 1. et 2.

Les 200 adhérents d’un club sont des filles ou des garçons. Ces adhérents pratiquent l’aviron ou le basket selon la répartition figurant dans le tableau ci-dessous.

	Aviron	Basket	Total
Filles	25	80	105
Garçons	50	45	95
Total	75	125	200

On choisit un adhérent au hasard et on considère les évènements suivants :

\(F\) : l’adhérent est une fille ;
\(A\) : l’adhérent pratique l’aviron.

1. La probabilité de \(F\) sachant \(A\) est égale à :

a.	b.	c.	d.
\(\dfrac{25}{100}\)	\(\dfrac{25}{75}\)	\(\dfrac{25}{105}\)	\(\dfrac{75}{105}\)

2. La probabilité de l’évènement \(A \cup F\) est égale à :

a.	b.	c.	d.
\(\dfrac{9}{10}\)	\(\dfrac{1}{8}\)	\(\dfrac{31}{40}\)	\(\dfrac{5}{36}\)

L’énoncé ci-dessous est commun aux questions 3. et 4.

Pour se rendre à son travail, Albert peut utiliser au choix le bus ou le train.

La probabilité que le bus soit en panne est égale à \(b\).

La probabilité que le train soit en panne est égale à \(t\).

Les pannes de bus et de train surviennent de façon indépendante.

Exercice 4 du sujet Calédonie 2023 : questions 3 à 5

3. La probabilité \(p_1\) que le bus ou le train soient en panne est égale à :

a.	b.	c.	d.
\(p_1 = bt\)	\(p_1 = 1 – bt\)	\(p_1 = b + t\)	\(p_1 = b + t – bt\)

4. La probabilité \(p_2\) que Albert puisse se rendre à son travail est égale à :

a.	b.	c.	d.
\(p_2 = bt\)	\(p_2 = 1 – bt\)	\(p_2 = b + t\)	\(p_2 = b + t – bt\)

5. On considère une pièce de monnaie pour laquelle la probabilité d’obtenir FACE est égale à \(x\).

On lance la pièce \(n\) fois. Les lancers sont indépendants.

La probabilité \(p\) d’obtenir au moins une fois FACE sur les \(n\) lancers est égale à :

a.	b.	c.	d.
\(p = x^n\)	\(p = (1 – x)^n\)	\(p = 1 – x^n\)	\(p = 1 – (1 – x)^n\)

Comment réviser avec ce sujet Calédonie 2023

D’abord, imprimez le sujet ou gardez-le à l’écran et traitez les exercices dans l’ordre qui vous convient, en temps limité. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment la géométrie dans l’espace ou la fonction exponentielle, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur géométrie dans l’espace.

Les pièges classiques

En géométrie dans l’espace, ne confondez pas le vecteur normal d’un plan et le vecteur directeur d’une droite.
Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde, pas sur celui de la dérivée : c’est une confusion très courante.

Sujet Calédonie 2023 : questions fréquentes

Où se trouve la correction ? Elle est rédigée sur une page dédiée ; de cette façon, vous pouvez chercher le sujet sans voir les réponses par accident.

Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, la géométrie dans l’espace, la fonction exponentielle et la convexité, mais aussi l’algorithmique en Python.

Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.

Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2023 en Nouvelle-Calédonie (jour 2)

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