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La continuité d’une fonction numérique dans un cours de maths faisant intervenir le théorème des valeurs intermédiaires. Nous terminerons cette leçon par l’interprétation graphique et les propriétés de la continuité.
Remarque :
Les programmes limitent la continuité à une approche intuitive qui est de considérer qu’une fonction est continue sur un intervalle I si sa courbe représentative sur I peut être tracée entièrement sans lever le crayon.
I. Notion de continuité d’une fonction.
- Les fonctions usuelles (affines, carré, inverse, racine carrée, valeur absolue) sont continues
sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition. - Toute fonction construite algébriquement (par somme, produit, inverse ou composée) à
partir de fonctions usuelles est continue sur tout intervalle de son ensemble de définition. - On convient qu’une flèche oblique dans un tableau de variation traduit la continuité et la
stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré. - Une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.
Remarque :
Attention, la réciproque de cette dernière propriété est fausse.
Par exemple, la fonction valeur absolue 
est continue en 0 mais non dérivable en 0.
Méthode : interpréter graphiquement la continuité d’une fonction.
Par convention, une fonction est continue là où elle est tracée. S’il n’y a pas continuité en :
- le symbole bille rouge indique le point de la courbe de coordonnées ( ; f ()) ;
- le symbole bille rose vide indique un point qui n’appartient pas à la courbe mais dont l’ordonnée est égale à la limite à gauche ou à droite en .
Exercice d’application :
Déterminer graphiquement les intervalles sur lesquels f est continue.
1) Soit la fonction partie entière f : .
2) Soit la fonction f représentée ci-dessous.
II. Théorème des valeurs intermédiaires.
Si f est continue sur [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), il existe au moins
un réel c appartenant à [a ; b] tel que f (c) = k.
Remarque :
f prend au moins une fois toute valeur intermédiaire entre f (a) et f (b).
Autrement dit, l’équation f (x) = k a au moins une solution dans [a ; b] et, sur [a ; b], la
courbe représentative de f coupe la droite d’équation y = k en un point au moins.
Exemple :
Soit f la fonction définie sur [0 ; 6] par .
On dresse le tableau de variation de f . f admet pour minimum −3 et pour maximum 6.
f est continue sur [0 ; 6].
Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, f prend toutes les valeurs de [−3 ; 6]. En particulier, l’équation f (x) = 0 a au moins une solution dans [0 ; 6].
Si f est continue et strictement monotone sur [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f (a)
et f (b), il existe un unique réel c appartenant à [a ; b] tel que f (c) = k.
